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三、解答题
7. 如图所示,点O为等边三角形ABC内一点,连接OA，OB，OC,以OB为一边作∠OBM=60°,且BO=BM，连接CM，OM.
(1) 判断AO与CM的数量关系,并证明；
(2) 若OA=8，OC=6，OB=10,判断△OMC的形状.
7. 如图所示,点O为等边三角形ABC内一点,连接OA，OB，OC,以OB为一边作∠OBM=60°,且BO=BM，连接CM，OM.
(1) 判断AO与CM的数量关系,并证明；
(2) 若OA=8，OC=6，OB=10,判断△OMC的形状.
答案
7. (1) $AO = CM$，证明略 提示：证明 $△ ABO ≌ △ CBM$ (2) 直角三角形
解析
(1) $AO=CM$，证明如下：
因为$△ ABC$是等边三角形，所以$AB=BC$，$∠ ABC=60°$。
因为$∠ OBM=60°$，$BO=BM$，所以$△ OBM$是等边三角形，所以$OB=OM$，$∠ OMB=60°$。
因为$∠ ABO+∠ OBC=60°$，$∠ CBM+∠ OBC=60°$，所以$∠ ABO=∠ CBM$。
在$△ ABO$和$△ CBM$中，$\{\begin{array}{l}AB=BC\\∠ ABO=∠ CBM\\BO=BM\end{array} $，所以$△ ABO≌△ CBM(\mathrm{SAS})$，所以$AO=CM$。
(2) 由(1)知$CM=AO=8$，$OM=OB=10$。
在$△ OMC$中，$OC=6$，$CM=8$，$OM=10$。
因为$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，即$OC^2 + CM^2 = OM^2$，所以$△ OMC$是直角三角形。
因为$△ ABC$是等边三角形，所以$AB=BC$，$∠ ABC=60°$。
因为$∠ OBM=60°$，$BO=BM$，所以$△ OBM$是等边三角形，所以$OB=OM$，$∠ OMB=60°$。
因为$∠ ABO+∠ OBC=60°$，$∠ CBM+∠ OBC=60°$，所以$∠ ABO=∠ CBM$。
在$△ ABO$和$△ CBM$中，$\{\begin{array}{l}AB=BC\\∠ ABO=∠ CBM\\BO=BM\end{array} $，所以$△ ABO≌△ CBM(\mathrm{SAS})$，所以$AO=CM$。
(2) 由(1)知$CM=AO=8$，$OM=OB=10$。
在$△ OMC$中，$OC=6$，$CM=8$，$OM=10$。
因为$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，即$OC^2 + CM^2 = OM^2$，所以$△ OMC$是直角三角形。
8. 如图所示,MN是沿南北方向的一条笔直的公路,某施工队在公路上的点A测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C,朝正北方向走了400 m到达点B后,测得别墅C在北偏西75°的方向上.如果要从别墅C修一条通向MN的最短小路,请你求出这条小路的长.(提示：过点B作BE⊥AC,点E为垂足,先求出AC的长)
答案
8. $100(\sqrt{3} + 1)\mathrm{ m}$ 提示：作 $CD ⊥ MN$ 于点 $D$，$CD$ 即为所求小路的长. $BE = 200\mathrm{ m}$，$AE = 200\sqrt{3}\mathrm{ m}$，$AC = (200 + 200\sqrt{3})\mathrm{ m}$. 在 $Rt△ ACD$ 中，$CD = \frac{1}{2}AC$
解析
解：过点$C$作$CD ⊥ MN$于点$D$，则$CD$为所求小路的长。过点$B$作$BE ⊥ AC$于点$E$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ BAE = 30°$，$AB = 400\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE = AB · \sin 30° = 400 × \frac{1}{2} = 200\ \mathrm{m}$，
$AE = AB · \cos 30° = 400 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC = 30°$，$∠ ABC = 180° - 75° = 105°$，
$\therefore ∠ ACB = 180° - 30° - 105° = 45°$。
在$Rt△ BEC$中，$∠ ACB = 45°$，$BE = 200\ \mathrm{m}$，
$\therefore CE = BE = 200\ \mathrm{m}$。
$\therefore AC = AE + CE = 200\sqrt{3} + 200 = 200(\sqrt{3} + 1)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD = 30°$，
$\therefore CD = AC · \sin 30° = 200(\sqrt{3} + 1) × \frac{1}{2} = 100(\sqrt{3} + 1)\ \mathrm{m}$。
答：这条小路的长为$100(\sqrt{3} + 1)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ BAE = 30°$，$AB = 400\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE = AB · \sin 30° = 400 × \frac{1}{2} = 200\ \mathrm{m}$，
$AE = AB · \cos 30° = 400 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 200\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC = 30°$，$∠ ABC = 180° - 75° = 105°$，
$\therefore ∠ ACB = 180° - 30° - 105° = 45°$。
在$Rt△ BEC$中，$∠ ACB = 45°$，$BE = 200\ \mathrm{m}$，
$\therefore CE = BE = 200\ \mathrm{m}$。
$\therefore AC = AE + CE = 200\sqrt{3} + 200 = 200(\sqrt{3} + 1)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD = 30°$，
$\therefore CD = AC · \sin 30° = 200(\sqrt{3} + 1) × \frac{1}{2} = 100(\sqrt{3} + 1)\ \mathrm{m}$。
答：这条小路的长为$100(\sqrt{3} + 1)\ \mathrm{m}$。
9. 如图所示,等腰三角形ABC的底边长为8 cm,腰长为5 cm,一动点P在底边上从点B向点C以0.25 cm/s的速度移动.当点P运动几秒时,点P与点A的连线PA与腰垂直?
答案
9. $7\mathrm{ s}$ 或 $25\mathrm{ s}$ 提示：情况一，当点 $P$ 运动 $7\mathrm{ s}$ 时，点 $P$ 与点 $A$ 的连线 $PA$ 与腰 $AC$ 垂直；情况二，当点 $P$ 运动 $25\mathrm{ s}$ 时，点 $P$ 与点 $A$ 的连线 $PA$ 与腰 $AB$ 垂直
解析
解：过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，则$BD = DC=\frac{8}{2}=4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3\ \mathrm{cm}$。
设点$P$运动$t\ \mathrm{s}$时，$PA$与腰垂直。
情况一：$PA⊥ AC$
此时$BP = 0.25t\ \mathrm{cm}$，$PC=(8 - 0.25t)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，$PA^{2}+AC^{2}=PC^{2}$；在$\mathrm{Rt}△ APD$中，$PA^{2}=AD^{2}+PD^{2}=3^{2}+(0.25t - 4)^{2}$。
则$3^{2}+(0.25t - 4)^{2}+5^{2}=(8 - 0.25t)^{2}$，解得$t = 7$。
情况二：$PA⊥ AB$
同理，$BP = 0.25t\ \mathrm{cm}$，$PD=(0.25t - 4)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$PA^{2}+AB^{2}=BP^{2}$；在$\mathrm{Rt}△ APD$中，$PA^{2}=AD^{2}+PD^{2}=3^{2}+(4 - 0.25t)^{2}$。
则$3^{2}+(4 - 0.25t)^{2}+5^{2}=(0.25t)^{2}$，解得$t = 25$。
综上，当点$P$运动$7\ \mathrm{s}$或$25\ \mathrm{s}$时，$PA$与腰垂直。
答案：$7\ \mathrm{s}$或$25\ \mathrm{s}$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3\ \mathrm{cm}$。
设点$P$运动$t\ \mathrm{s}$时，$PA$与腰垂直。
情况一：$PA⊥ AC$
此时$BP = 0.25t\ \mathrm{cm}$，$PC=(8 - 0.25t)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，$PA^{2}+AC^{2}=PC^{2}$；在$\mathrm{Rt}△ APD$中，$PA^{2}=AD^{2}+PD^{2}=3^{2}+(0.25t - 4)^{2}$。
则$3^{2}+(0.25t - 4)^{2}+5^{2}=(8 - 0.25t)^{2}$，解得$t = 7$。
情况二：$PA⊥ AB$
同理，$BP = 0.25t\ \mathrm{cm}$，$PD=(0.25t - 4)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$PA^{2}+AB^{2}=BP^{2}$；在$\mathrm{Rt}△ APD$中，$PA^{2}=AD^{2}+PD^{2}=3^{2}+(4 - 0.25t)^{2}$。
则$3^{2}+(4 - 0.25t)^{2}+5^{2}=(0.25t)^{2}$，解得$t = 25$。
综上，当点$P$运动$7\ \mathrm{s}$或$25\ \mathrm{s}$时，$PA$与腰垂直。
答案：$7\ \mathrm{s}$或$25\ \mathrm{s}$
