一、选择题
1. 如图所示,在4×4正方形网格中以AB为一边作Rt△ABC,要求点C也在格点上,这样的Rt△ABC能作().


A.2个
B.3个
C.4个
D.6个

1. D

【分析】
要解决这个问题，我们需要分三类情况讨论直角顶点的位置，避免漏解：
1. 当直角顶点为A时：过点A作AB的垂线，在网格格点上寻找满足条件的点C；
2. 当直角顶点为B时：过点B作AB的垂线，在网格格点上寻找满足条件的点C；
3. 当直角顶点为C时：以AB为斜边，利用勾股定理，在网格中寻找满足AC²+BC²=AB²的格点C。
分别统计三种情况的点C数量，再求和即可得到总个数。
【解析】
步骤1：计算AB的平方：
由网格可知，AB横向跨度为3格，纵向跨度为1格，根据勾股定理，$AB^2=3^2+1^2=10$。
步骤2：分情况寻找格点C：
① 直角在A点：
过A作AB的垂线，在网格中可找到2个格点C，使得$∠ BAC=90°$；
② 直角在B点：
过B作AB的垂线，在网格中可找到2个格点C，使得$∠ ABC=90°$；
③ 直角在C点：
此时AB为斜边，需满足$AC^2+BC^2=AB^2=10$。在网格中，满足条件的格点C有2个（因为$1+9=10$，对应网格中符合平方和为10的格点）。
步骤3：统计总数：
$2+2+2=6$，即这样的$Rt△ ABC$能作6个。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，直角三角形判定，网格格点定位
【点评】
本题考查直角三角形的构造，需要通过分类讨论直角顶点的位置来避免漏解，同时结合勾股定理在网格中的应用，考验学生的空间想象能力和分类讨论思想。
【难度系数】
0.6

2. 如图所示,已知AB=10,点P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边三角形APC和等边三角形BPD,则线段CD的长的最小值为().

A.4
B.5
C.6
D.5(√5-1)

2. B

解：设 $ AP = x $，则 $ PB = 10 - x $。
过点 $ C $ 作 $ CE ⊥ AB $ 于 $ E $，过点 $ D $ 作 $ DF ⊥ AB $ 于 $ F $。
因为 $ △ APC $ 和 $ △ BPD $ 是等边三角形，
所以 $ CE = \frac{\sqrt{3}}{2}x $，$ AE = \frac{x}{2} $，$ DF = \frac{\sqrt{3}}{2}(10 - x) $，$ BF = \frac{10 - x}{2} $。
则 $ EF = AB - AE - BF = 10 - \frac{x}{2} - \frac{10 - x}{2} = 5 $。
$ CD^2 = EF^2 + (CE - DF)^2 = 5^2 + ( \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}(10 - x) )^2 $
$ = 25 + ( \sqrt{3}x - 5\sqrt{3} )^2 $。
当 $ x = 5 $ 时，$ CD^2 $ 最小，最小值为 25，所以 $ CD $ 的最小值为 5。
答案：B

3. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的四边形,其中三边长分别为2，4，3,则原直角三角形纸片的斜边长是().

A.10
B.4√5
C.10或4√5
D.10或2√17

3. C

情况一：
设原直角三角形两直角边为 $a$、$b$，斜边中点为 $O$。
若剪去的三角形对应直角边剩余部分为 $2$ 和 $3$，斜边剩余部分为 $4$，则：
$\begin{cases}\frac{a}{2} - 2 = \frac{b}{2} \\frac{b}{2} - 3 = \frac{a}{2} - 4\end{cases}$
解得 $a=6$，$b=8$，斜边长为 $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$。
情况二：
若剪去的三角形对应直角边剩余部分为 $2$ 和 $4$，斜边剩余部分为 $3$，则：
$\begin{cases}\frac{a}{2} - 2 = \frac{b}{2} - 4 \\frac{b}{2} = 3 + \frac{a}{2}\end{cases}$
解得 $a=4$，$b=8$，斜边长为 $\sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}$。
原直角三角形纸片的斜边长是 $10$ 或 $4\sqrt{5}$。
C

二、填空题
4. 如图所示,将△ABC放在正方形网格中(每个小正方形的边长均为1),点A，B，C恰好在格点上,那么边BC上的高是.

4. $\frac{\sqrt{10}}{2}$

解：设网格中小正方形边长为1，建立平面直角坐标系，设点$A(1,1)$，$B(2,3)$，$C(4,0)$。
$\begin{aligned}BC&=\sqrt{(4 - 2)^2+(0 - 3)^2}=\sqrt{4 + 9}=\sqrt{13}\\S_{△ ABC}&=3×3-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×3=\frac{13}{2}\end{aligned}$
设$BC$边上的高为$h$，则$\frac{1}{2}×\sqrt{13}× h=\frac{13}{2}$，解得$h=\sqrt{13}$。
1

5. 如图所示,长为5 m的梯子AB斜靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为2 m.现将梯子的底端A向外移动1 m到A',同时梯子的顶端B下降到B',那么BB'的长度应① 等于1 m；② 大于1 m；③ 小于1 m.其中正确的是(填序号).

5. ③

解：在Rt△AOB中，OA=2m，AB=5m，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt{5^{2}-2^{2}}=\sqrt{21}\,m$
移动后，OA'=OA+1=3m，A'B'=AB=5m，在Rt△A'OB'中，由勾股定理得：
$OB'=\sqrt{A'B'^{2}-OA'^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4\,m$
$BB'=OB - OB'=\sqrt{21}-4$
因为$\sqrt{21}\approx4.583$，所以$BB'\approx4.583 - 4=0.583\,m＜1m$
故正确的是③。

6. 已知三角形的两边长分别是8和6,且第三边长是一元二次方程x²-16x+60=0的一个根,则该三角形的面积为.

6. 24 或 $8\sqrt{5}$

解方程$x^2 - 16x + 60 = 0$，得$x_1 = 6$，$x_2 = 10$。
当第三边为6时，三角形三边长为6，6，8。作底边上的高$h$，由勾股定理得$h = \sqrt{6^2 - 4^2} = 2\sqrt{5}$，面积为$\frac{1}{2} × 8 × 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$。
当第三边为10时，三角形三边长为6，8，10，满足$6^2 + 8^2 = 10^2$，是直角三角形，面积为$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
该三角形的面积为24或$8\sqrt{5}$。