例2 写出二次函数$y=x^{2}$的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解 二次函数$y=x^{2}$的图像的开口向上,对称轴是$y$轴,顶点坐标是$(0,0)$.

解：
二次函数$y=x^{2}$的图像开口向上，
对称轴是y轴，
顶点坐标是$(0,0)$。

(1) 二次函数$y=x^{2}$的图像在对称轴的左边,随着$x$的增大,$y$的值,在对称轴的右边,随着$x$的增大,$y$的值;

解：二次函数$y=x^{2}$的对称轴是直线$x=0$（即y轴），
在对称轴的左边，随着$x$的增大，$y$的值减小；
在对称轴的右边，随着$x$的增大，$y$的值增大。

(2) 在二次函数$y=-x^{2}$的图像上,与点$A(1,-1)$关于对称轴对称的点的坐标是;

解：
二次函数$y=-x^{2}$的对称轴为直线$x=0$（即y轴）。
点$A(1,-1)$关于直线$x=0$对称的点，横坐标为$-1$，纵坐标不变，
故该点的坐标为$(-1,-1)$。

(3) 对于二次函数$y=x^{2}$,当$x=$时,$y$的值最小,最小值是.

解：对于二次函数$y=x^2$，其中$a=1＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值。
由二次函数顶点坐标公式，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$，
将$x=0$代入函数得$y=0^2=0$。
所以当$x=0$时，$y$的值最小，最小值是$0$。

2. 点$A(1,a)$、$B(b,9)$在二次函数$y=x^{2}$的图像上,求$a$、$b$的值.

解：
因为点$A(1,a)$在二次函数$y=x^{2}$的图像上，
将$x=1$代入$y=x^{2}$，得$a=1^{2}=1$。
因为点$B(b,9)$在二次函数$y=x^{2}$的图像上，
将$y=9$代入$y=x^{2}$，得$9=b^{2}$，
解得$b=3$或$b=-3$。
综上，$a=1$，$b=3$或$-3$。

3. 点$(x_{1},y_{1})$、$(x_{2},y_{2})$在二次函数$y=x^{2}$的图像上,当$x_{1}＞x_{2}＞0$时,比较$y_{1}$和$y_{2}$的大小.

解：
对于二次函数$y=x^2$，其图像开口向上，对称轴为y轴，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
因为$x_{1}＞x_{2}＞0$，
所以$y_{1}＞y_{2}$。

4. 画出二次函数$y=-x^{2}$的图像,指出它的图像与$x$轴的交点坐标.
(1) 分别写出当$x＞0$和$x＜0$时,$y$随着$x$的增大如何变化.
(2) 当$x$取什么值时,$y$的值最大？最大值是多少？
(3) 写出该图像的对称轴.

解：
1. 画二次函数$y=-x^2$的图像：
列表：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ |
描点：在平面直角坐标系中描出点$(-2,-4)$、$(-1,-1)$、$(0,0)$、$(1,-1)$、$(2,-4)$，
连线：用平滑的曲线连接这些点，得到$y=-x^2$的图像。
它的图像与$x$轴的交点坐标为$(0,0)$。
(1) 当$x＞0$时，$y$随着$x$的增大而减小；
当$x＜0$时，$y$随着$x$的增大而增大。
(2) 当$x=0$时，$y$的值最大，最大值是$0$。
(3) 该图像的对称轴是直线$x=0$（或$y$轴）。