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$m(a+b+c)=$;
$x(x+1)=$;
$(m-5)(m+5)=$。
(2)等式具有对称性,请根据等式的对称性填空:
$ma+mb+mc=($$)×($$)$①;
$x^{2}+x=( )×( )$②;
$m^{2}-25=( )×( )$③。
(3)观察①②③式的右边,它们有什么特点?
Ⅱ.观察以上(1)(2)中的整式乘法和因式分解,它们之间有什么联系和区别?
$x(x+1)=$;
$(m-5)(m+5)=$。
(2)等式具有对称性,请根据等式的对称性填空:
$ma+mb+mc=($$)×($$)$①;
$x^{2}+x=( )×( )$②;
$m^{2}-25=( )×( )$③。
(3)观察①②③式的右边,它们有什么特点?
Ⅱ.观察以上(1)(2)中的整式乘法和因式分解,它们之间有什么联系和区别?
答案
Ⅰ.(1)ma+mb+mc x²+x m²-25
(2)m a+b+c x x+1 m+5 m-5
(3)几个整式的积的形式。
Ⅱ.整式乘法和因式分解是可逆的。整式乘法是将多项式的
乘积计算出来,结果是和的形式,而因式分解是把一个多
项式化成了几个整式的积的形式,结果是积的形式。
(2)m a+b+c x x+1 m+5 m-5
(3)几个整式的积的形式。
Ⅱ.整式乘法和因式分解是可逆的。整式乘法是将多项式的
乘积计算出来,结果是和的形式,而因式分解是把一个多
项式化成了几个整式的积的形式,结果是积的形式。
解析
【分析】
首先来看Ⅰ部分：(1)是整式乘法计算，需回忆单项式乘多项式的乘法分配律和平方差公式，用对应法则计算出结果；(2)利用等式对称性，将(1)的乘法等式左右互换，即可得到因式分解的形式；(3)直接观察①②③右边的形式，总结其特点。再看Ⅱ部分，对比(1)的整式乘法（从积到和）与(2)的因式分解（从和到积），分析两者的联系和区别，联系是互逆过程，区别在于运算方向和结果形式不同。
【解析】
Ⅰ.(1)
根据单项式乘多项式的乘法分配律：
$m(a+b+c)=ma+mb+mc$；
$x(x+1)=x· x + x·1=x^2+x$；
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，代入$a=m$，$b=5$可得：
$(m-5)(m+5)=m^2-5^2=m^2-25$。
(2)
依据等式的对称性，将(1)中的等式左右两边互换：
①$ma+mb+mc=m×(a+b+c)$；
②$x^2+x=x×(x+1)$；
③$m^2-25=(m+5)×(m-5)$。
(3)
观察①②③式的右边，可知它们都是几个整式的积的形式。
Ⅱ.
联系：整式乘法和因式分解是互逆的运算过程。
区别：整式乘法是把几个整式的积转化为多项式的和的形式，是从“积”到“和”的运算；而因式分解是把一个多项式转化为几个整式的积的形式，是从“和”到“积”的运算。
【答案】
Ⅰ.(1)$ma+mb+mc$；$x^2+x$；$m^2-25$
(2)$m$；$a+b+c$；$x$；$x+1$；$m+5$；$m-5$
(3)几个整式的积的形式。
Ⅱ.整式乘法和因式分解是可逆的。整式乘法是将多项式的乘积计算出来，结果是和的形式，而因式分解是把一个多项式化成了几个整式的积的形式，结果是积的形式。
【知识点】
1. 整式乘法运算
2. 因式分解
3. 平方差公式
【点评】
本题通过对比整式乘法与因式分解的运算过程，帮助理解两者的互逆关系，同时考查了单项式乘多项式、平方差公式的应用，要求学生熟练掌握整式乘法法则和因式分解的概念，明确两种运算的方向差异。
【难度系数】
0.7
首先来看Ⅰ部分：(1)是整式乘法计算，需回忆单项式乘多项式的乘法分配律和平方差公式，用对应法则计算出结果；(2)利用等式对称性，将(1)的乘法等式左右互换，即可得到因式分解的形式；(3)直接观察①②③右边的形式，总结其特点。再看Ⅱ部分，对比(1)的整式乘法（从积到和）与(2)的因式分解（从和到积），分析两者的联系和区别，联系是互逆过程，区别在于运算方向和结果形式不同。
【解析】
Ⅰ.(1)
根据单项式乘多项式的乘法分配律：
$m(a+b+c)=ma+mb+mc$；
$x(x+1)=x· x + x·1=x^2+x$；
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，代入$a=m$，$b=5$可得：
$(m-5)(m+5)=m^2-5^2=m^2-25$。
(2)
依据等式的对称性，将(1)中的等式左右两边互换：
①$ma+mb+mc=m×(a+b+c)$；
②$x^2+x=x×(x+1)$；
③$m^2-25=(m+5)×(m-5)$。
(3)
观察①②③式的右边，可知它们都是几个整式的积的形式。
Ⅱ.
联系：整式乘法和因式分解是互逆的运算过程。
区别：整式乘法是把几个整式的积转化为多项式的和的形式，是从“积”到“和”的运算；而因式分解是把一个多项式转化为几个整式的积的形式，是从“和”到“积”的运算。
【答案】
Ⅰ.(1)$ma+mb+mc$；$x^2+x$；$m^2-25$
(2)$m$；$a+b+c$；$x$；$x+1$；$m+5$；$m-5$
(3)几个整式的积的形式。
Ⅱ.整式乘法和因式分解是可逆的。整式乘法是将多项式的乘积计算出来，结果是和的形式，而因式分解是把一个多项式化成了几个整式的积的形式，结果是积的形式。
【知识点】
1. 整式乘法运算
2. 因式分解
3. 平方差公式
【点评】
本题通过对比整式乘法与因式分解的运算过程，帮助理解两者的互逆关系，同时考查了单项式乘多项式、平方差公式的应用，要求学生熟练掌握整式乘法法则和因式分解的概念，明确两种运算的方向差异。
【难度系数】
0.7
1. 下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是(
A.$(a+2)(a-2)=a^{2}-4$
B.$ab+ac+d=a(b+c)+d$
C.$x^{2}-9=(x-3)^{2}$
D.$a^{2}b-ab^{2}=ab(a-b)$
D
)。A.$(a+2)(a-2)=a^{2}-4$
B.$ab+ac+d=a(b+c)+d$
C.$x^{2}-9=(x-3)^{2}$
D.$a^{2}b-ab^{2}=ab(a-b)$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，才属于因式分解。接下来我们逐个分析选项，判断是否符合这个核心要求：
1. 选项A是将整式的积转化为多项式，属于整式乘法，和因式分解的过程相反；
2. 选项B的结果是整式相加的形式，并非几个整式的积，不符合定义；
3. 选项C的变形结果展开后与左边多项式不相等，变形错误，不符合要求；
4. 选项D把多项式转化成了两个整式的积，完全符合因式分解的定义。
【解析】
根据因式分解的定义，对各选项逐一分析：
选项A：$(a+2)(a-2)=a^{2}-4$，这是整式乘法运算，是将整式的积化为多项式，不符合因式分解的定义，排除；
选项B：$ab+ac+d=a(b+c)+d$，右边是整式的和的形式，并非几个整式的积，不符合因式分解的定义，排除；
选项C：$(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$，与左边$x^{2}-9$不相等，变形错误，不符合因式分解的要求，排除；
选项D：$a^{2}b-ab^{2}=ab(a-b)$，将多项式化成了$ab$与$(a-b)$两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题重点考查因式分解的定义，解题的关键是准确把握因式分解的本质：将多项式转化为几个整式的乘积形式，同时要注意变形的正确性与等价性。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，才属于因式分解。接下来我们逐个分析选项，判断是否符合这个核心要求：
1. 选项A是将整式的积转化为多项式，属于整式乘法，和因式分解的过程相反；
2. 选项B的结果是整式相加的形式，并非几个整式的积，不符合定义；
3. 选项C的变形结果展开后与左边多项式不相等，变形错误，不符合要求；
4. 选项D把多项式转化成了两个整式的积，完全符合因式分解的定义。
【解析】
根据因式分解的定义，对各选项逐一分析：
选项A：$(a+2)(a-2)=a^{2}-4$，这是整式乘法运算，是将整式的积化为多项式，不符合因式分解的定义，排除；
选项B：$ab+ac+d=a(b+c)+d$，右边是整式的和的形式，并非几个整式的积，不符合因式分解的定义，排除；
选项C：$(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$，与左边$x^{2}-9$不相等，变形错误，不符合因式分解的要求，排除；
选项D：$a^{2}b-ab^{2}=ab(a-b)$，将多项式化成了$ab$与$(a-b)$两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题重点考查因式分解的定义，解题的关键是准确把握因式分解的本质：将多项式转化为几个整式的乘积形式，同时要注意变形的正确性与等价性。
【难度系数】
0.8
1. 下列从左边到右边的变形,属于因式分解的是(
A.$(x+2)(x-2)=x^{2}-4$
B.$x^{2}-2x-1=x(x-2)-1$
C.$a(x+y)=ax+ay$
D.$x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$
D
)。A.$(x+2)(x-2)=x^{2}-4$
B.$x^{2}-2x-1=x(x-2)-1$
C.$a(x+y)=ax+ay$
D.$x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个变形属于因式分解，首先需明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。接下来我们逐个分析选项，看哪个选项符合“多项式→整式积”的转化形式：
1. 选项A是把两个整式的积转化为多项式，属于整式乘法，和因式分解的过程相反，不符合；
2. 选项B的右边是整式乘积与常数的差，不是几个整式的积的形式，不符合；
3. 选项C是单项式乘多项式得到多项式，属于整式乘法，不符合；
4. 选项D是把多项式转化为两个相同整式的积，符合因式分解的定义。
【解析】
根据因式分解的定义（把多项式化为几个整式的积的形式），对各选项逐一判断：
选项A：$(x+2)(x-2)=x^{2}-4$，是整式乘法运算（从积到多项式），不属于因式分解；
选项B：$x^{2}-2x-1=x(x-2)-1$，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解；
选项C：$a(x+y)=ax+ay$，是单项式乘多项式的整式乘法运算，不属于因式分解；
选项D：$x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$，将多项式转化为$(x+1)$与$(x+1)$的积的形式，符合因式分解的定义。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题主要考查对因式分解定义的理解，关键要区分因式分解与整式乘法的区别：因式分解是“多项式→整式积”，整式乘法是“整式积→多项式”，判断时需紧扣定义，避免混淆。
【难度系数】
0.8
要判断哪个变形属于因式分解，首先需明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。接下来我们逐个分析选项，看哪个选项符合“多项式→整式积”的转化形式：
1. 选项A是把两个整式的积转化为多项式，属于整式乘法，和因式分解的过程相反，不符合；
2. 选项B的右边是整式乘积与常数的差，不是几个整式的积的形式，不符合；
3. 选项C是单项式乘多项式得到多项式，属于整式乘法，不符合；
4. 选项D是把多项式转化为两个相同整式的积，符合因式分解的定义。
【解析】
根据因式分解的定义（把多项式化为几个整式的积的形式），对各选项逐一判断：
选项A：$(x+2)(x-2)=x^{2}-4$，是整式乘法运算（从积到多项式），不属于因式分解；
选项B：$x^{2}-2x-1=x(x-2)-1$，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解；
选项C：$a(x+y)=ax+ay$，是单项式乘多项式的整式乘法运算，不属于因式分解；
选项D：$x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$，将多项式转化为$(x+1)$与$(x+1)$的积的形式，符合因式分解的定义。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题主要考查对因式分解定义的理解，关键要区分因式分解与整式乘法的区别：因式分解是“多项式→整式积”，整式乘法是“整式积→多项式”，判断时需紧扣定义，避免混淆。
【难度系数】
0.8
2. 如图,从边长为$m$的大正方形中剪掉一个边长为$n$的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形,根据图形的变化过程,写出一个正确的等式是(
A.$(m-n)^{2}=m^{2}-2mn+n^{2}$
B.$m^{2}-n^{2}=(m+n)(m-n)$
C.$(m-n)^{2}=m^{2}-n^{2}$
D.$m(m-n)=m^{2}-mn$
B
)。A.$(m-n)^{2}=m^{2}-2mn+n^{2}$
B.$m^{2}-n^{2}=(m+n)(m-n)$
C.$(m-n)^{2}=m^{2}-n^{2}$
D.$m(m-n)=m^{2}-mn$
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路是利用“图形割补前后阴影部分面积不变”来推导等式：
1. 先看左边图形：阴影部分是边长为$m$的大正方形减去边长为$n$的小正方形，根据正方形面积公式，阴影面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$m^2 - n^2$。
2. 再看右边图形：阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长是$m+n$，宽是$m-n$，根据长方形面积公式，面积为$(m+n)(m-n)$。
3. 因为割补前后阴影部分的面积相等，所以可以得到等式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，对应选项B。
【解析】
步骤1：计算左边阴影部分的面积
左边是边长为$m$的大正方形减去边长为$n$的小正方形，根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为边长），可得阴影面积：
$S_{阴影}=m^2 - n^2$
步骤2：计算右边长方形的面积
右边的长方形是由阴影部分剪开拼成的，其长为$m+n$，宽为$m-n$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得：
$S_{长方形}=(m+n)(m-n)$
步骤3：根据割补前后面积相等，得到等式
因为阴影部分的面积在割补前后不变，所以$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的几何意义
【点评】
本题通过图形割补的方式，利用“面积不变”的原理验证了平方差公式，体现了数形结合的数学思想，帮助学生直观理解代数公式的推导过程，加深对平方差公式的记忆与理解。
【难度系数】
0.8
解题思路是利用“图形割补前后阴影部分面积不变”来推导等式：
1. 先看左边图形：阴影部分是边长为$m$的大正方形减去边长为$n$的小正方形，根据正方形面积公式，阴影面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$m^2 - n^2$。
2. 再看右边图形：阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长是$m+n$，宽是$m-n$，根据长方形面积公式，面积为$(m+n)(m-n)$。
3. 因为割补前后阴影部分的面积相等，所以可以得到等式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，对应选项B。
【解析】
步骤1：计算左边阴影部分的面积
左边是边长为$m$的大正方形减去边长为$n$的小正方形，根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为边长），可得阴影面积：
$S_{阴影}=m^2 - n^2$
步骤2：计算右边长方形的面积
右边的长方形是由阴影部分剪开拼成的，其长为$m+n$，宽为$m-n$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得：
$S_{长方形}=(m+n)(m-n)$
步骤3：根据割补前后面积相等，得到等式
因为阴影部分的面积在割补前后不变，所以$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的几何意义
【点评】
本题通过图形割补的方式，利用“面积不变”的原理验证了平方差公式，体现了数形结合的数学思想，帮助学生直观理解代数公式的推导过程，加深对平方差公式的记忆与理解。
【难度系数】
0.8
