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5. 如图,已知$△ ABC$。
(1)画出$△ ABC$的高BD;
(2)画出$△ ABC$的角平分线AE。
(1)画出$△ ABC$的高BD;
(2)画出$△ ABC$的角平分线AE。
答案
5.解:(1)如图,线段BD即为所求;
(2)如图,线段AE即为所求。
第5题图
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心概念：
1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段即为三角形的高。所以画△ABC的高BD时，需从顶点B向AC所在直线作垂线，确定垂足D后连接BD即可。
2. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，该角的顶点和交点之间的线段就是角平分线。所以画△ABC的角平分线AE时，需先平分∠BAC，使AE将∠BAC分成两个相等的角，且AE与BC交于点E，再连接AE。
【解析】
(1) 作高BD的步骤：
① 根据AC的长度，若需要则延长AC所在直线；
② 过点B作AC所在直线的垂线，垂足为D；
③ 连接BD，线段BD即为△ABC的高。
(2) 作角平分线AE的步骤：
① 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于两点；
② 分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；
③ 过点A和该交点作射线，交BC于点E；
④ 连接AE，线段AE即为△ABC的角平分线。
【答案】
如图,线段BD即为所求;
如图,线段AE即为所求。
第5题图
【知识点】
三角形的高、三角形的角平分线
【点评】
本题考查三角形的高和角平分线的尺规作图，解题关键是准确理解三角形高与角平分线的定义，熟练掌握尺规作图的基本操作，这是几何作图的基础内容，需扎实掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确两个核心概念：
1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段即为三角形的高。所以画△ABC的高BD时，需从顶点B向AC所在直线作垂线，确定垂足D后连接BD即可。
2. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，该角的顶点和交点之间的线段就是角平分线。所以画△ABC的角平分线AE时，需先平分∠BAC，使AE将∠BAC分成两个相等的角，且AE与BC交于点E，再连接AE。
【解析】
(1) 作高BD的步骤：
① 根据AC的长度，若需要则延长AC所在直线；
② 过点B作AC所在直线的垂线，垂足为D；
③ 连接BD，线段BD即为△ABC的高。
(2) 作角平分线AE的步骤：
① 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于两点；
② 分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；
③ 过点A和该交点作射线，交BC于点E；
④ 连接AE，线段AE即为△ABC的角平分线。
【答案】
如图,线段BD即为所求;
如图,线段AE即为所求。
第5题图
【知识点】
三角形的高、三角形的角平分线
【点评】
本题考查三角形的高和角平分线的尺规作图，解题关键是准确理解三角形高与角平分线的定义，熟练掌握尺规作图的基本操作，这是几何作图的基础内容，需扎实掌握。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在$△ ABC$中,AD为BC边上的高,CE平分$∠ ACD$交AD于点E,若$∠ BAC:∠ CAD=3:2$,$∠ DCE=35°.$
(1)求$∠ CAD$的度数;
(2)求$∠ B$的度数。
(1)求$∠ CAD$的度数;
(2)求$∠ B$的度数。
答案
6.解:(1)因为CE平分∠ACD,
所以∠DCA=2∠DCE,
因为∠DCE=35°,
所以∠DCA=2∠DCE=2×35°=70°,
因为AD为BC边上的高,
所以∠ADB=90°,
所以∠CAD=90°−∠DCA=20°;
(2)因为∠BAC:∠CAD=3:2,∠CAD=20°,
所以∠BAC=30°,
所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=20°+30°=50°,
所以∠B=90°−∠BAD=90°−50°=40°。
所以∠DCA=2∠DCE,
因为∠DCE=35°,
所以∠DCA=2∠DCE=2×35°=70°,
因为AD为BC边上的高,
所以∠ADB=90°,
所以∠CAD=90°−∠DCA=20°;
(2)因为∠BAC:∠CAD=3:2,∠CAD=20°,
所以∠BAC=30°,
所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=20°+30°=50°,
所以∠B=90°−∠BAD=90°−50°=40°。
解析
【分析】
(1) 要计算$∠ CAD$的度数，首先观察到AD是BC边上的高，可知$△ ACD$是直角三角形，$∠ ADC=90°$，因此$∠ CAD=90°-∠ ACD$。已知CE平分$∠ ACD$且$∠ DCE=35°$，根据角平分线的定义可先求出$∠ ACD$的度数，进而算出$∠ CAD$。
(2) 要计算$∠ B$的度数，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=90°-∠ BAD$，所以需要先求出$∠ BAD$。已知$∠ BAC:∠ CAD=3:2$，结合已求出的$∠ CAD$的度数，可先算出$∠ BAC$，再通过$∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD$求出$∠ BAD$，最后计算$∠ B$。
【解析】
(1) 因为CE平分$∠ ACD$，
所以$∠ DCA=2∠ DCE$（角平分线的定义），
又因为$∠ DCE=35°$，
所以$∠ DCA=2×35°=70°$，
因为AD为BC边上的高，
所以$∠ ADC=90°$（高的定义），
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=90°-∠ DCA=90°-70°=20°$；
(2) 因为$∠ BAC:∠ CAD=3:2$，$∠ CAD=20°$，
设$∠ BAC=3x$，$∠ CAD=2x$，则$2x=20°$，解得$x=10°$，
所以$∠ BAC=3×10°=30°$，
则$∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=30°+20°=50°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=90°-∠ BAD=90°-50°=40°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ CAD=20°}$；
(2) $\boldsymbol{∠ B=40°}$。
【知识点】
角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，角度比例计算
【点评】
本题主要考查角平分线的定义和直角三角形的性质，解题关键是理清图形中各角的数量关系，利用角平分线性质和直角三角形两锐角互余的性质逐步推导角度，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 要计算$∠ CAD$的度数，首先观察到AD是BC边上的高，可知$△ ACD$是直角三角形，$∠ ADC=90°$，因此$∠ CAD=90°-∠ ACD$。已知CE平分$∠ ACD$且$∠ DCE=35°$，根据角平分线的定义可先求出$∠ ACD$的度数，进而算出$∠ CAD$。
(2) 要计算$∠ B$的度数，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=90°-∠ BAD$，所以需要先求出$∠ BAD$。已知$∠ BAC:∠ CAD=3:2$，结合已求出的$∠ CAD$的度数，可先算出$∠ BAC$，再通过$∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD$求出$∠ BAD$，最后计算$∠ B$。
【解析】
(1) 因为CE平分$∠ ACD$，
所以$∠ DCA=2∠ DCE$（角平分线的定义），
又因为$∠ DCE=35°$，
所以$∠ DCA=2×35°=70°$，
因为AD为BC边上的高，
所以$∠ ADC=90°$（高的定义），
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=90°-∠ DCA=90°-70°=20°$；
(2) 因为$∠ BAC:∠ CAD=3:2$，$∠ CAD=20°$，
设$∠ BAC=3x$，$∠ CAD=2x$，则$2x=20°$，解得$x=10°$，
所以$∠ BAC=3×10°=30°$，
则$∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=30°+20°=50°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=90°-∠ BAD=90°-50°=40°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ CAD=20°}$；
(2) $\boldsymbol{∠ B=40°}$。
【知识点】
角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，角度比例计算
【点评】
本题主要考查角平分线的定义和直角三角形的性质，解题关键是理清图形中各角的数量关系，利用角平分线性质和直角三角形两锐角互余的性质逐步推导角度，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
7. 如图,AD,AF分别是$△ ABC$的中线和高,BE是$△ ABD$的角平分线.
(1)若$∠ BED=60°$,$∠ BAD=40°$,求$∠ BAF$的度数;
(2)若$AB=8$,$AC=6$,求中线AD长的取值范围。
(1)若$∠ BED=60°$,$∠ BAD=40°$,求$∠ BAF$的度数;
(2)若$AB=8$,$AC=6$,求中线AD长的取值范围。
答案
7.解:(1)因为∠BED=∠ABE+∠BAE,∠BED=60°,
∠BAD=40°,
所以∠ABE=60°−40°=20°,
因为BE平分∠ABC,
所以∠ABC=2∠ABE=40°,
因为AF为高,
所以∠AFB=90°,
所以∠BAF=90°−∠ABF=90°−40°=50°;
(2)延长AD至K,使AD=
DK,连接CK。
因为AD是△ABC的中线,
所以BD=CD,
因为∠ADB=∠CDK,
所以△ADB≅△KDC,
所以AB=CK=8,而AC=
6,
所以2＜AK＜14,
所以1＜AD＜7。
第7题图解析
【分析】
（1）首先，观察到∠BED是△ABE的外角，根据三角形外角的性质，可由已知的∠BED和∠BAD求出∠ABE；再结合BE是角平分线的定义，得到∠ABC的度数；因为AF是高，△ABF为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质就能算出∠BAF的度数。
（2）要求中线AD的取值范围，直接求解难度较大，故采用倍长中线法：延长AD至K使DK=AD，连接CK，通过证明△ADB≌△KDC，将AB转化为CK，把AD的2倍（即AK）放入△ACK中，再利用三角形三边关系求出AK的范围，进而得到AD的取值范围。
【解析】
(1) 因为∠BED是△ABE的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，可得∠BED=∠ABE+∠BAE，
已知∠BED=60°，∠BAD=40°，
所以∠ABE=∠BED - ∠BAE=60°−40°=20°，
因为BE平分∠ABC，所以∠ABC=2∠ABE=2×20°=40°，
因为AF为△ABC的高，所以∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，∠BAF=90°−∠ABF=90°−40°=50°；
(2) 延长AD至K，使AD=DK，连接CK。
因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD，
在△ADB和△KDC中：
$\{\begin{array}{l}AD=DK\\∠ADB=∠CDK\\BD=CD\end{array} $
所以△ADB≌△KDC（SAS），
因此AB=CK=8，
又因为AC=6，在△ACK中，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
CK - AC ＜ AK ＜ CK + AC，
即8 - 6 ＜ AK ＜ 8 + 6，也就是2＜AK＜14，
因为AK=2AD，所以2＜2AD＜14，
两边同时除以2得：1＜AD＜7。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$；(2) $\boldsymbol{1＜AD＜7}$
第7题图
【知识点】
三角形外角性质、全等三角形判定与性质、三角形三边关系
【点评】
本题综合考查三角形的核心性质，第一问是基础角度计算，融合了外角、角平分线和直角三角形的性质；第二问通过倍长中线构造全等，实现线段的转化，将未知线段的范围问题转化为三角形三边关系问题，充分体现了几何中的转化思想，是中线相关取值范围问题的经典解法。
【难度系数】
0.6
（1）首先，观察到∠BED是△ABE的外角，根据三角形外角的性质，可由已知的∠BED和∠BAD求出∠ABE；再结合BE是角平分线的定义，得到∠ABC的度数；因为AF是高，△ABF为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质就能算出∠BAF的度数。
（2）要求中线AD的取值范围，直接求解难度较大，故采用倍长中线法：延长AD至K使DK=AD，连接CK，通过证明△ADB≌△KDC，将AB转化为CK，把AD的2倍（即AK）放入△ACK中，再利用三角形三边关系求出AK的范围，进而得到AD的取值范围。
【解析】
(1) 因为∠BED是△ABE的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，可得∠BED=∠ABE+∠BAE，
已知∠BED=60°，∠BAD=40°，
所以∠ABE=∠BED - ∠BAE=60°−40°=20°，
因为BE平分∠ABC，所以∠ABC=2∠ABE=2×20°=40°，
因为AF为△ABC的高，所以∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，∠BAF=90°−∠ABF=90°−40°=50°；
(2) 延长AD至K，使AD=DK，连接CK。
因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD，
在△ADB和△KDC中：
$\{\begin{array}{l}AD=DK\\∠ADB=∠CDK\\BD=CD\end{array} $
所以△ADB≌△KDC（SAS），
因此AB=CK=8，
又因为AC=6，在△ACK中，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
CK - AC ＜ AK ＜ CK + AC，
即8 - 6 ＜ AK ＜ 8 + 6，也就是2＜AK＜14，
因为AK=2AD，所以2＜2AD＜14，
两边同时除以2得：1＜AD＜7。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$；(2) $\boldsymbol{1＜AD＜7}$
第7题图【知识点】
三角形外角性质、全等三角形判定与性质、三角形三边关系
【点评】
本题综合考查三角形的核心性质，第一问是基础角度计算，融合了外角、角平分线和直角三角形的性质；第二问通过倍长中线构造全等，实现线段的转化，将未知线段的范围问题转化为三角形三边关系问题，充分体现了几何中的转化思想，是中线相关取值范围问题的经典解法。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在$△ ABC$中,D,E分别是AB,BC边上的一点。$BD=2AD$,$BE=2CE$,AE,CD相交于点O。$△ ADO$的面积与$△ CEO$的面积是否相等?为什么?
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
8.S△ADO=S△COE。
理由:
因为BD=2AD,BE=2CE,
所以$\frac{BD}{AD}=\frac{BE}{EC}=\frac{1}{2}$。
所以$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ AEC}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{3}$。
所以S△ACD=S△ACE,
所以S△ACD−S△AOC=S△ACE−S△AOC,
所以S△ADO=S△COE。
第8题图解析
【分析】
要判断$△ADO$和$△CEO$的面积是否相等，可通过推导它们所在的较大三角形的面积关系来分析。已知$BD=2AD$，$BE=2CE$，可知$AD$是$AB$的$\frac{1}{3}$，$CE$是$BC$的$\frac{1}{3}$。根据“同高的三角形面积比等于底的比”，能得出$△ADC$和$△AEC$的面积均为$△ABC$面积的$\frac{1}{3}$，即这两个三角形面积相等。这两个三角形都包含公共部分$△AOC$，用它们的面积分别减去公共部分的面积，剩余部分的面积也相等，即可得到$△ADO$和$△CEO$的面积相等。
【解析】
$S_{△ADO}=S_{△COE}$，理由如下：
因为$BD=2AD$，$BE=2CE$，
所以$\frac{AD}{AB}=\frac{CE}{BC}=\frac{1}{3}$。
由于$△ADC$与$△ABC$同高，$△AEC$与$△ABC$同高，根据同高三角形面积比等于底的比，可得：
$\frac{S_{△ADC}}{S_{△ABC}}=\frac{1}{3}$，$\frac{S_{△AEC}}{S_{△ABC}}=\frac{1}{3}$，
因此$S_{△ACD}=S_{△ACE}$。
又因为$S_{△ACD}-S_{△AOC}=S_{△ACE}-S_{△AOC}$，
所以$S_{△ADO}=S_{△COE}$。
【答案】
$S_{△ADO}=S_{△COE}$。
第8题图
【知识点】
1. 同高三角形面积比
2. 等式的性质
【点评】
本题考查三角形面积的灵活应用，核心是利用“同高三角形面积与底成正比”的性质找到面积相等的大三角形，再通过减去公共部分推导目标三角形的面积关系，考验学生对三角形面积公式的理解与运用能力。
【难度系数】
0.6
要判断$△ADO$和$△CEO$的面积是否相等，可通过推导它们所在的较大三角形的面积关系来分析。已知$BD=2AD$，$BE=2CE$，可知$AD$是$AB$的$\frac{1}{3}$，$CE$是$BC$的$\frac{1}{3}$。根据“同高的三角形面积比等于底的比”，能得出$△ADC$和$△AEC$的面积均为$△ABC$面积的$\frac{1}{3}$，即这两个三角形面积相等。这两个三角形都包含公共部分$△AOC$，用它们的面积分别减去公共部分的面积，剩余部分的面积也相等，即可得到$△ADO$和$△CEO$的面积相等。
【解析】
$S_{△ADO}=S_{△COE}$，理由如下：
因为$BD=2AD$，$BE=2CE$，
所以$\frac{AD}{AB}=\frac{CE}{BC}=\frac{1}{3}$。
由于$△ADC$与$△ABC$同高，$△AEC$与$△ABC$同高，根据同高三角形面积比等于底的比，可得：
$\frac{S_{△ADC}}{S_{△ABC}}=\frac{1}{3}$，$\frac{S_{△AEC}}{S_{△ABC}}=\frac{1}{3}$，
因此$S_{△ACD}=S_{△ACE}$。
又因为$S_{△ACD}-S_{△AOC}=S_{△ACE}-S_{△AOC}$，
所以$S_{△ADO}=S_{△COE}$。
【答案】
$S_{△ADO}=S_{△COE}$。
第8题图【知识点】
1. 同高三角形面积比
2. 等式的性质
【点评】
本题考查三角形面积的灵活应用，核心是利用“同高三角形面积与底成正比”的性质找到面积相等的大三角形，再通过减去公共部分推导目标三角形的面积关系，考验学生对三角形面积公式的理解与运用能力。
【难度系数】
0.6
