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19.已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - a ≥ 0, \\3 - 2x ＞ -1\end{cases}$的整数解共有5个，求$a$的取值范围。
答案
19. 解:解原不等式组得$a≤ x＜2$,又因为该不等式组的整数解共有5个,所以其整数解必为1,0,-1,-2,-3.所以$-4＜a≤-3$.
解析
【分析】
解题时先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，合并得到不等式组的解集；再结合“整数解共有5个”的条件，找出所有对应整数解；最后结合解集的范围推导参数a的取值，注意验证边界值是否符合要求，避免多算或漏算整数解。
【解析】
1. 分别求解两个不等式：
解不等式$x - a ≥ 0$，移项可得$x ≥ a$；
解不等式$3 - 2x ＞ -1$，先移项得$-2x ＞ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＜ 2$。
因此原不等式组的解集为$a ≤ x ＜ 2$。
2. 确定整数解：
已知不等式组共有5个整数解，小于2的整数从大到小依次为1、0、-1、-2、-3，恰好5个，即该不等式组的整数解为1、0、-1、-2、-3。
3. 推导a的取值范围：
若$a ≤ -4$，则$x ≥ a$会包含整数$-4$，整数解变为6个，不符合要求；若$a ＞ -3$，则$x ≥ a$无法包含整数$-3$，整数解不足5个，不符合要求；当$a=-3$时，$x ≥ -3$，整数解仍为上述5个，符合要求。因此a的取值范围为$-4 ＜ a ≤ -3$。
【答案】
$-4 ＜ a ≤ -3$
【知识点】
解一元一次不等式组；不等式组的整数解应用
【点评】
本题考查一元一次不等式组的解法及根据整数解个数确定参数范围，解题关键是先求出不等式组的解集，再结合整数解的个数判断参数的边界，需特别注意端点值的取舍，避免边界错误。
【难度系数】
0.6
解题时先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，合并得到不等式组的解集；再结合“整数解共有5个”的条件，找出所有对应整数解；最后结合解集的范围推导参数a的取值，注意验证边界值是否符合要求，避免多算或漏算整数解。
【解析】
1. 分别求解两个不等式：
解不等式$x - a ≥ 0$，移项可得$x ≥ a$；
解不等式$3 - 2x ＞ -1$，先移项得$-2x ＞ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＜ 2$。
因此原不等式组的解集为$a ≤ x ＜ 2$。
2. 确定整数解：
已知不等式组共有5个整数解，小于2的整数从大到小依次为1、0、-1、-2、-3，恰好5个，即该不等式组的整数解为1、0、-1、-2、-3。
3. 推导a的取值范围：
若$a ≤ -4$，则$x ≥ a$会包含整数$-4$，整数解变为6个，不符合要求；若$a ＞ -3$，则$x ≥ a$无法包含整数$-3$，整数解不足5个，不符合要求；当$a=-3$时，$x ≥ -3$，整数解仍为上述5个，符合要求。因此a的取值范围为$-4 ＜ a ≤ -3$。
【答案】
$-4 ＜ a ≤ -3$
【知识点】
解一元一次不等式组；不等式组的整数解应用
【点评】
本题考查一元一次不等式组的解法及根据整数解个数确定参数范围，解题关键是先求出不等式组的解集，再结合整数解的个数判断参数的边界，需特别注意端点值的取舍，避免边界错误。
【难度系数】
0.6
20. 为倡导读书风尚，打造书香校园，学校计划购买一批图书.若同时购进A种图书8本和B种图书5本，共需301元；若同时购进A种图书4本和B种图书3本，共需163元.
(1)求A，B两种图书的单价各是多少元.
(2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且A种图书的数量少于B种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1420元，请问学校共有哪几种购买方案？
(1)求A，B两种图书的单价各是多少元.
(2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且A种图书的数量少于B种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1420元，请问学校共有哪几种购买方案？
答案
20. 解:(1)设A种图书的单价是$x$元,B种图书的单价是$y$元,根据题意得$\begin{cases}8x+5y=301,\\4x+3y=163,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=22,\\y=25.\end{cases}$
答:A种图书的单价是22元,B种图书的单价是25元.
(2)设购买A种图书$n$本,则购买B种图书$(60-n)$本.根据题意得$\begin{cases}n＜60-n,\\22n+25(60-n)≤1420,\end{cases}$解得$\dfrac{80}{3}≤ n＜30$.$\because n$为正整数,$\therefore n$可取27,28,29.$\therefore60-n=33$或32或31,共有三种购买方案:方案一:购买A种图书27本,购买B种图书33本;方案二:购买A种图书28本,购买B种图书32本;方案三:购买A种图书29本,购买B种图书31本.
答:A种图书的单价是22元,B种图书的单价是25元.
(2)设购买A种图书$n$本,则购买B种图书$(60-n)$本.根据题意得$\begin{cases}n＜60-n,\\22n+25(60-n)≤1420,\end{cases}$解得$\dfrac{80}{3}≤ n＜30$.$\because n$为正整数,$\therefore n$可取27,28,29.$\therefore60-n=33$或32或31,共有三种购买方案:方案一:购买A种图书27本,购买B种图书33本;方案二:购买A种图书28本,购买B种图书32本;方案三:购买A种图书29本,购买B种图书31本.
解析
【分析】
(1) 第一问求两种图书的单价，存在两个未知量，可根据题干给出的两组购买总费用的等量关系，设两个未知数列二元一次方程组求解：先设A、B两种图书单价分别为x元、y元，依据“8本A图书费用+5本B图书费用=301元，4本A图书费用+3本B图书费用=163元”列方程组，再用消元法求解即可得到单价。
(2) 第二问为方案设计问题，已知总购买数量，可设购买A种图书n本，则B种图书为(60-n)本，根据两个限制条件“A种图书数量少于B种图书数量”“购买总金额不超过1420元”列一元一次不等式组，解出n的取值范围，再结合n为正整数的实际意义，筛选出符合条件的n值，对应得到所有购买方案。
【解析】
(1) 设A种图书的单价是$x$元，B种图书的单价是$y$元，根据题意得：
$\begin{cases}8x+5y=301\\4x+3y=163\end{cases}$
将第二个方程两边乘2得$8x+6y=326$，减去第一个方程得$y=25$，将$y=25$代入$4x+3y=163$，解得$x=22$。
答：A种图书的单价是22元，B种图书的单价是25元。
(2) 设购买A种图书$n$本，则购买B种图书$(60-n)$本，根据题意得：
$\begin{cases}n＜60-n\\22n+25(60-n)≤1420\end{cases}$
解第一个不等式得$n＜30$，解第二个不等式：$22n+1500-25n≤1420$，整理得$-3n≤-80$，解得$n≥\frac{80}{3}$，因此不等式组的解集为$\dfrac{80}{3}≤ n＜30$。
$\because n$为正整数，$\therefore n$可取27、28、29，对应$60-n$为33、32、31，共有三种购买方案：
方案一：购买A种图书27本，购买B种图书33本；
方案二：购买A种图书28本，购买B种图书32本；
方案三：购买A种图书29本，购买B种图书31本。
【答案】
(1) A种图书的单价是22元，B种图书的单价是25元；
(2) 共有三种购买方案：方案一：购买A种图书27本，B种图书33本；方案二：购买A种图书28本，B种图书32本；方案三：购买A种图书29本，B种图书31本。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，方案设计
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系和不等关系，列对应的方程、不等式求解，需注意未知数的取值要符合实际意义，这类题型能够有效考查信息提取能力和运算能力，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求两种图书的单价，存在两个未知量，可根据题干给出的两组购买总费用的等量关系，设两个未知数列二元一次方程组求解：先设A、B两种图书单价分别为x元、y元，依据“8本A图书费用+5本B图书费用=301元，4本A图书费用+3本B图书费用=163元”列方程组，再用消元法求解即可得到单价。
(2) 第二问为方案设计问题，已知总购买数量，可设购买A种图书n本，则B种图书为(60-n)本，根据两个限制条件“A种图书数量少于B种图书数量”“购买总金额不超过1420元”列一元一次不等式组，解出n的取值范围，再结合n为正整数的实际意义，筛选出符合条件的n值，对应得到所有购买方案。
【解析】
(1) 设A种图书的单价是$x$元，B种图书的单价是$y$元，根据题意得：
$\begin{cases}8x+5y=301\\4x+3y=163\end{cases}$
将第二个方程两边乘2得$8x+6y=326$，减去第一个方程得$y=25$，将$y=25$代入$4x+3y=163$，解得$x=22$。
答：A种图书的单价是22元，B种图书的单价是25元。
(2) 设购买A种图书$n$本，则购买B种图书$(60-n)$本，根据题意得：
$\begin{cases}n＜60-n\\22n+25(60-n)≤1420\end{cases}$
解第一个不等式得$n＜30$，解第二个不等式：$22n+1500-25n≤1420$，整理得$-3n≤-80$，解得$n≥\frac{80}{3}$，因此不等式组的解集为$\dfrac{80}{3}≤ n＜30$。
$\because n$为正整数，$\therefore n$可取27、28、29，对应$60-n$为33、32、31，共有三种购买方案：
方案一：购买A种图书27本，购买B种图书33本；
方案二：购买A种图书28本，购买B种图书32本；
方案三：购买A种图书29本，购买B种图书31本。
【答案】
(1) A种图书的单价是22元，B种图书的单价是25元；
(2) 共有三种购买方案：方案一：购买A种图书27本，B种图书33本；方案二：购买A种图书28本，B种图书32本；方案三：购买A种图书29本，B种图书31本。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，方案设计
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系和不等关系，列对应的方程、不等式求解，需注意未知数的取值要符合实际意义，这类题型能够有效考查信息提取能力和运算能力，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
