登录
1.已知过$n$边形的一个顶点有6条对角线，一个$m$边形的内角和是$540°$，则$m+n$的值为（
A.11
B.12
C.13
D.14
D
）A.11
B.12
C.13
D.14
答案
1.D
解析
【分析】
解题时可分两步分别求出n和m的值，再计算m+n即可：①回忆多边形对角线规律：从n边形的一个顶点出发，除了自身和相邻的两个顶点外，可与其余顶点连接形成对角线，因此过一个顶点的对角线条数为n-3，结合题干给出的6条对角线即可列等式求出n；②回忆多边形内角和公式：m边形内角和为(m-2)×180°，结合已知的内角和540°即可列等式求出m，最后将两个值相加得到结果。
【解析】
1. 求n的值：
根据过n边形一个顶点的对角线条数公式：条数 = n-3，已知条数为6，可得：
$n - 3 = 6$
解得：$n = 9$
2. 求m的值：
根据多边形内角和公式：m边形内角和=$(m-2)×180°$，已知内角和为$540°$，可得：
$(m - 2)×180° = 540°$
两边同时除以$180°$得：$m - 2 = 3$
解得：$m = 5$
3. 计算m+n：
$m + n = 5 + 9 = 14$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
多边形对角线条数规律、多边形内角和公式、代数式求值
【点评】
本题属于多边形基础知识点的综合考察题型，核心是牢记多边形对角线和内角和的相关公式，计算难度低，是多边形章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步分别求出n和m的值，再计算m+n即可：①回忆多边形对角线规律：从n边形的一个顶点出发，除了自身和相邻的两个顶点外，可与其余顶点连接形成对角线，因此过一个顶点的对角线条数为n-3，结合题干给出的6条对角线即可列等式求出n；②回忆多边形内角和公式：m边形内角和为(m-2)×180°，结合已知的内角和540°即可列等式求出m，最后将两个值相加得到结果。
【解析】
1. 求n的值：
根据过n边形一个顶点的对角线条数公式：条数 = n-3，已知条数为6，可得：
$n - 3 = 6$
解得：$n = 9$
2. 求m的值：
根据多边形内角和公式：m边形内角和=$(m-2)×180°$，已知内角和为$540°$，可得：
$(m - 2)×180° = 540°$
两边同时除以$180°$得：$m - 2 = 3$
解得：$m = 5$
3. 计算m+n：
$m + n = 5 + 9 = 14$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
多边形对角线条数规律、多边形内角和公式、代数式求值
【点评】
本题属于多边形基础知识点的综合考察题型，核心是牢记多边形对角线和内角和的相关公式，计算难度低，是多边形章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.8
2.图1是一张矩形纸片ABCD，AD=10 cm，将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F。若BE=6 cm，则CD的长为（
A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
A
）A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
答案
2.A
解析
【分析】
这是一道矩形结合折叠的几何计算题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 先利用矩形的性质，得到对边AD=BC，已知AD长度即可求出BC的长，结合已知的BE长度，就能算出CE的长度；2. 回忆折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，对应边、对应角相等，可得CE=FE，且折叠后得到的∠DFE是直角；3. 结合矩形的角都是直角的性质，可判断四边形ABEF是矩形，得到FE=AB，再根据矩形对边AB=CD，即可推出CD和CE相等，代入CE的数值就能得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10cm，AB=CD，∠A=∠B=∠C=90°，
∵将纸片沿DE折叠，点C的对应点为点F，
∴△DCE≌△DFE，
∴CE=FE，∠DFE=∠C=90°，
∴∠AFE=180°-∠DFE=90°，
∴四边形ABEF中，∠A=∠B=∠AFE=90°，即四边形ABEF是矩形，
∴FE=AB，
又
∵AB=CD，
∴CD=FE=CE，
∵CE=BC-BE=10cm-6cm=4cm，
∴CD=4cm，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 矩形的性质
2. 折叠的性质
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心是结合矩形和折叠的性质推导边长的等量关系，解题的关键是熟练掌握折叠前后对应边相等、矩形对边相等的性质，整体思路清晰，属于几何部分的常规考点题型。
【难度系数】
0.8
这是一道矩形结合折叠的几何计算题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 先利用矩形的性质，得到对边AD=BC，已知AD长度即可求出BC的长，结合已知的BE长度，就能算出CE的长度；2. 回忆折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，对应边、对应角相等，可得CE=FE，且折叠后得到的∠DFE是直角；3. 结合矩形的角都是直角的性质，可判断四边形ABEF是矩形，得到FE=AB，再根据矩形对边AB=CD，即可推出CD和CE相等，代入CE的数值就能得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10cm，AB=CD，∠A=∠B=∠C=90°，
∵将纸片沿DE折叠，点C的对应点为点F，
∴△DCE≌△DFE，
∴CE=FE，∠DFE=∠C=90°，
∴∠AFE=180°-∠DFE=90°，
∴四边形ABEF中，∠A=∠B=∠AFE=90°，即四边形ABEF是矩形，
∴FE=AB，
又
∵AB=CD，
∴CD=FE=CE，
∵CE=BC-BE=10cm-6cm=4cm，
∴CD=4cm，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 矩形的性质
2. 折叠的性质
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心是结合矩形和折叠的性质推导边长的等量关系，解题的关键是熟练掌握折叠前后对应边相等、矩形对边相等的性质，整体思路清晰，属于几何部分的常规考点题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别等于8和6，将BD沿CB的方向平移，使点D与点A重合，点B与CB延长线上的点E重合，则四边形AECD的面积为（
A.36
B.48
C.72
D.96
A
）A.36
B.48
C.72
D.96
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先从菱形性质入手，首先利用菱形对角线乘积的一半求出菱形面积，再由勾股定理算出菱形的边长；接着根据平移的性质可知平移后对应线段平行且相等，可判定四边形AEBD是平行四边形，得到EB与AD相等，结合菱形四边相等可求出梯形AECD的下底EC长度；再由菱形面积公式求出菱形的高，也就是梯形AECD的高，最后代入梯形面积公式即可求解。
【解析】
解：1. 计算菱形ABCD的面积和边长
菱形的面积等于对角线乘积的一半，因此
$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×8×6=24$
菱形对角线互相垂直平分，两条对角线的一半分别为$\frac{8}{2}=4$、$\frac{6}{2}=3$，由勾股定理得菱形边长：
$AD=BC=CD=\sqrt{3^2+4^2}=5$
2. 分析平移后的线段关系
由平移的性质可得$AE// BD$且$AE=BD$，$AD// EB$且$AD=EB$，因此四边形AEBD是平行四边形，可得$EB=AD=5$，则：
$EC=EB+BC=5+5=10$
3. 计算四边形AECD的面积
因为$AD// EC$，所以四边形AECD是梯形。设菱形BC边上的高为$h$，由菱形面积公式$S_{菱形ABCD}=BC×h$，代入数值得$5h=24$，解得$h=\frac{24}{5}$，即梯形AECD的高为$\frac{24}{5}$。
代入梯形面积公式：
$S_{AECD}=\frac{1}{2}×(AD+EC)×h=\frac{1}{2}×(5+10)×\frac{24}{5}=36$
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；平移的性质；梯形面积计算
【点评】
本题综合考查了图形平移、菱形和梯形的相关计算，解题的核心是通过平移性质得到平行四边形，进而求出梯形的上下底长度，再结合菱形面积的两种计算方法求出高，最终求出目标图形的面积。
【难度系数】
0.6
解题时先从菱形性质入手，首先利用菱形对角线乘积的一半求出菱形面积，再由勾股定理算出菱形的边长；接着根据平移的性质可知平移后对应线段平行且相等，可判定四边形AEBD是平行四边形，得到EB与AD相等，结合菱形四边相等可求出梯形AECD的下底EC长度；再由菱形面积公式求出菱形的高，也就是梯形AECD的高，最后代入梯形面积公式即可求解。
【解析】
解：1. 计算菱形ABCD的面积和边长
菱形的面积等于对角线乘积的一半，因此
$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×8×6=24$
菱形对角线互相垂直平分，两条对角线的一半分别为$\frac{8}{2}=4$、$\frac{6}{2}=3$，由勾股定理得菱形边长：
$AD=BC=CD=\sqrt{3^2+4^2}=5$
2. 分析平移后的线段关系
由平移的性质可得$AE// BD$且$AE=BD$，$AD// EB$且$AD=EB$，因此四边形AEBD是平行四边形，可得$EB=AD=5$，则：
$EC=EB+BC=5+5=10$
3. 计算四边形AECD的面积
因为$AD// EC$，所以四边形AECD是梯形。设菱形BC边上的高为$h$，由菱形面积公式$S_{菱形ABCD}=BC×h$，代入数值得$5h=24$，解得$h=\frac{24}{5}$，即梯形AECD的高为$\frac{24}{5}$。
代入梯形面积公式：
$S_{AECD}=\frac{1}{2}×(AD+EC)×h=\frac{1}{2}×(5+10)×\frac{24}{5}=36$
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；平移的性质；梯形面积计算
【点评】
本题综合考查了图形平移、菱形和梯形的相关计算，解题的核心是通过平移性质得到平行四边形，进而求出梯形的上下底长度，再结合菱形面积的两种计算方法求出高，最终求出目标图形的面积。
【难度系数】
0.6
4.在四边形$ABCD$中，$AB// CD$，$AB=3$，当$CD=$
3
时，这个四边形是平行四边形。答案
4.3
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的判定定理，其中有一条是“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”。题目已经给出四边形ABCD中AB//CD，要让该四边形为平行四边形，只需让这组平行的对边长度相等即可，已知AB的长度，就能直接求出CD的取值。
【解析】
根据平行四边形的判定规则：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
已知$AB// CD$，要使四边形ABCD是平行四边形，需满足$AB=CD$，
又因为$AB=3$，因此$CD=AB=3$。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题是基础概念类题目，直接考查平行四边形的判定条件，牢记相关判定定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
首先回忆平行四边形的判定定理，其中有一条是“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”。题目已经给出四边形ABCD中AB//CD，要让该四边形为平行四边形，只需让这组平行的对边长度相等即可，已知AB的长度，就能直接求出CD的取值。
【解析】
根据平行四边形的判定规则：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
已知$AB// CD$，要使四边形ABCD是平行四边形，需满足$AB=CD$，
又因为$AB=3$，因此$CD=AB=3$。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题是基础概念类题目，直接考查平行四边形的判定条件，牢记相关判定定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是斜边AB的中点,DE⊥AC,垂足为E.若DE=2,CD=2√5,则BE的长为
4√2
.答案
5.4√2
解析
【分析】
解题时先结合直角三角形斜边中线的性质得到CD与AD相等，再根据DE和BC都垂直于AC推出DE是△ABC的中位线，得到BC的长度以及E是AC中点的结论；随后在直角三角形CDE中用勾股定理求出CE的长度；最后在直角三角形BCE中利用勾股定理计算BE的长度即可。
【解析】
1. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得CD=AD=2√5。
2.
∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴DE//BC，又D是AB中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×2=4，且E为AC的中点，即CE=AE。
3. 在Rt△CDE中，∠DEC=90°，CD=2√5，DE=2，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4$
4. 在Rt△BCE中，∠ACB=90°，BC=4，CE=4，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的关键是推导得出DE为三角形中位线，明确各线段的数量关系，再结合勾股定理逐步计算即可得到结果，解题时要注意勾股定理的适用条件是直角三角形。
【难度系数】
0.7
解题时先结合直角三角形斜边中线的性质得到CD与AD相等，再根据DE和BC都垂直于AC推出DE是△ABC的中位线，得到BC的长度以及E是AC中点的结论；随后在直角三角形CDE中用勾股定理求出CE的长度；最后在直角三角形BCE中利用勾股定理计算BE的长度即可。
【解析】
1. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得CD=AD=2√5。
2.
∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴DE//BC，又D是AB中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×2=4，且E为AC的中点，即CE=AE。
3. 在Rt△CDE中，∠DEC=90°，CD=2√5，DE=2，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4$
4. 在Rt△BCE中，∠ACB=90°，BC=4，CE=4，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的关键是推导得出DE为三角形中位线，明确各线段的数量关系，再结合勾股定理逐步计算即可得到结果，解题时要注意勾股定理的适用条件是直角三角形。
【难度系数】
0.7
6.如图4,在周长为20的平行四边形ABCD中,AB＜AD,AC与BD交于点O,OE⊥BD,交AD于点E,则△ABE的周长为
10
.答案
6.10
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手，平行四边形对角线互相平分，可得O是BD的中点，结合OE⊥BD，可知OE是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可推出BE=DE，由此可将△ABE的周长转化为平行四边形一组邻边的和，再结合平行四边形的周长即可求出结果。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，且平行四边形对边相等，因此AB+AD=平行四边形周长÷2=20÷2=10。
∵OE⊥BD，OB=OD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BE=DE。
∴△ABE的周长=AB + AE + BE = AB + AE + DE = AB + AD = 10。
【答案】
10
【知识点】
平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等量代换
【点评】
本题是几何基础应用题，核心是通过垂直平分线的性质实现线段的等量转换，将所求三角形周长转化为平行四边形邻边之和，简化了计算过程，熟练掌握相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从平行四边形的性质入手，平行四边形对角线互相平分，可得O是BD的中点，结合OE⊥BD，可知OE是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可推出BE=DE，由此可将△ABE的周长转化为平行四边形一组邻边的和，再结合平行四边形的周长即可求出结果。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，且平行四边形对边相等，因此AB+AD=平行四边形周长÷2=20÷2=10。
∵OE⊥BD，OB=OD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BE=DE。
∴△ABE的周长=AB + AE + BE = AB + AE + DE = AB + AD = 10。
【答案】
10
【知识点】
平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等量代换
【点评】
本题是几何基础应用题，核心是通过垂直平分线的性质实现线段的等量转换，将所求三角形周长转化为平行四边形邻边之和，简化了计算过程，熟练掌握相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7.如图5,在四边形ABCD中,AD//BC,AE⊥AD,交BD于点E,CF⊥BC,交BD于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
答案
7.提示:证△ADE≌△CBF.
解析
【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，已知AD//BC，因此只需再证明AD=BC即可。要证AD=BC，可通过证明AD、BC所在的△ADE和△CBF全等来实现：由AD//BC可得内错角∠ADE=∠CBF，由AE⊥AD、CF⊥BC可得∠EAD=∠FCB=90°，再结合已知AE=CF，满足AAS全等判定条件，证得全等后即可得到AD=BC，进而结合平行条件完成平行四边形的证明。
【解析】
证明：
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF（两直线平行，内错角相等）。
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD=∠FCB=90°。
在△ADE和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}∠EAD=∠FCB \\∠ADE=∠CBF \\AE=CF\end{array} $
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AD=BC（全等三角形的对应边相等）。
又
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形ABCD是平行四边形，证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过证明三角形全等得到待证平行四边形的一组对边相等，结合已知的对边平行条件即可完成求证，侧重考察基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明四边形ABCD是平行四边形，已知AD//BC，因此只需再证明AD=BC即可。要证AD=BC，可通过证明AD、BC所在的△ADE和△CBF全等来实现：由AD//BC可得内错角∠ADE=∠CBF，由AE⊥AD、CF⊥BC可得∠EAD=∠FCB=90°，再结合已知AE=CF，满足AAS全等判定条件，证得全等后即可得到AD=BC，进而结合平行条件完成平行四边形的证明。
【解析】
证明：
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF（两直线平行，内错角相等）。
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD=∠FCB=90°。
在△ADE和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}∠EAD=∠FCB \\∠ADE=∠CBF \\AE=CF\end{array} $
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AD=BC（全等三角形的对应边相等）。
又
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形ABCD是平行四边形，证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过证明三角形全等得到待证平行四边形的一组对边相等，结合已知的对边平行条件即可完成求证，侧重考察基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
8.如图6,在$□ ABCD$中,用直尺和圆规作$∠ BAD$的平分线AG,交BC于点E.若BF=6,AB=5,则AE的长为 （
A.4
B.6
C.8
D.10
C
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先结合尺规作角平分线的特征，得出AB=AF、AE垂直平分BF的结论；再利用平行四边形对边平行的性质，推导得到∠BAE=∠BEA，进而得到AB=BE，判定四边形ABEF是菱形；最后利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
设AE与BF交于点G。
1. 由尺规作图可知，AG平分∠BAD，且AB=AF，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AG⊥BF，$BG=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}×6=3$，∠AGB=90°。
2.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA。
3. 又
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE。
4. 结合AF=AB、AF//BE，可得AF平行且等于BE，因此四边形ABEF是平行四边形；又AB=AF，故平行四边形ABEF是菱形，因此AE=2AG。
5. 在Rt△ABG中，AB=5，BG=3，由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，因此$AE=2×4=8$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图的含义、特殊四边形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的核心是通过角平分线和平行线的性质推导得到等腰三角形，进而判定菱形，是四边形章节的典型综合题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合尺规作角平分线的特征，得出AB=AF、AE垂直平分BF的结论；再利用平行四边形对边平行的性质，推导得到∠BAE=∠BEA，进而得到AB=BE，判定四边形ABEF是菱形；最后利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
设AE与BF交于点G。
1. 由尺规作图可知，AG平分∠BAD，且AB=AF，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AG⊥BF，$BG=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}×6=3$，∠AGB=90°。
2.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA。
3. 又
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE。
4. 结合AF=AB、AF//BE，可得AF平行且等于BE，因此四边形ABEF是平行四边形；又AB=AF，故平行四边形ABEF是菱形，因此AE=2AG。
5. 在Rt△ABG中，AB=5，BG=3，由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，因此$AE=2×4=8$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图的含义、特殊四边形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的核心是通过角平分线和平行线的性质推导得到等腰三角形，进而判定菱形，是四边形章节的典型综合题。
【难度系数】
0.7
