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【典例1】对于二次函数$y=x^2 - 2mx - 3$，若$x=4$与$x=2022$时的函数值相等，当$x=2026$时，则$y=$
-3
。答案
易知对称轴$x=1013$，
$\therefore x=0$与$x=2026$关于$x=1013$对称，
故$y=-3$。
$\therefore x=0$与$x=2026$关于$x=1013$对称，
故$y=-3$。
变式1.已知$A(m,n),B(m+8,n)$是抛物线$y=-(x-h)^2+2026$上两点,则$n=$
【方法】(1)纵坐标相等的点为对称点；
(2)结合$x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$求对称轴.
2010
.【方法】(1)纵坐标相等的点为对称点；
(2)结合$x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$求对称轴.
答案
对称轴为$x=m+4$，
$\therefore y=-(x-m-4)^2+2026$。
当$x=m$时，$y=n$，
$-(m-m-4)^2+2026=n$，
$n=2026-16=2010$。
$\therefore y=-(x-m-4)^2+2026$。
当$x=m$时，$y=n$，
$-(m-m-4)^2+2026=n$，
$n=2026-16=2010$。
变式2.已知二次函数$y=-2023x^2+2024x+2025$的图象上有两个点$A(a,2024),B(b,2024)$，当$x=a+b-1$时，则$y$的值为(
A.2022
B.2023
C.2025
D.2026
D
)A.2022
B.2023
C.2025
D.2026
答案
对称轴为$x=-\dfrac{2024}{-2×2023}=\dfrac{1012}{2023}=\dfrac{a+b}{2}$，
$\therefore a+b=\dfrac{2024}{2023}$，
$\therefore a+b-1=\dfrac{1}{2023}$，
代入得$y=2026$。
$\therefore a+b=\dfrac{2024}{2023}$，
$\therefore a+b-1=\dfrac{1}{2023}$，
代入得$y=2026$。
变式3.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$为实数，当$x=x_1$及$x=x_2+x_3+x_4+x_5$时(其中$x_1≠x_2+x_3+x_4+x_5$)，函数值均为5，当$x=x_1+x_2$时，函数值为$p$，当$x=x_3+x_4+x_5$时，函数值为$q$，则$p-q=$
0
.答案
对称轴$x=\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{2}$，
而$(x_1+x_2,p),(x_3+x_4+x_5,q)$是对称点，
$\therefore p-q=0$。
而$(x_1+x_2,p),(x_3+x_4+x_5,q)$是对称点，
$\therefore p-q=0$。
变式4.二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数，$a＜0)$的图象经过$A(-2,0),B(4,0)$两点，当$p＞0$时，关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=p$的根是整数，则$p$的可能取值的个数是(
A.3
B.2
C.1
D.0
A
)个.A.3
B.2
C.1
D.0
答案
解:对称轴$x=1$,$x$为整数只有$-1,0,1,2,3$.
①$x=1$时,有一个$p$;
②$x=-1$与$x=3$时,有一个$p$;
③$x=0$与$x=2$时,有一个$p$.
故$p$的取值个数为3.
【典例2】已知抛物线$y=x^2+bx+c$与$x$轴有唯一公共点，且过$(a,m),(a+n,m)$，则$m、n$的关系是
$m=\dfrac{n^2}{4}$
。答案
易知对称轴$x=a+\dfrac{n}{2}$，
$\therefore y=(x-a-\dfrac{n}{2})^2$，
当$x=a$时，$y=m$，
故$m=\dfrac{n^2}{4}$。
$\therefore y=(x-a-\dfrac{n}{2})^2$，
当$x=a$时，$y=m$，
故$m=\dfrac{n^2}{4}$。
