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8. 用因式分解法解方程$x^2 - px -6=0$，若将左边分解后有一个因式是$x+3$，则$p$的值是（
A.5
B.$-5$
C.$-1$
D.1
C
）A.5
B.$-5$
C.$-1$
D.1
答案
8. C
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程时，方程左边的二次三项式会分解为两个一次因式的乘积。已知其中一个因式是$x+3$，因原式二次项系数为1，可设另一个因式为$x+a$，通过多项式乘法展开后和原式对比对应项系数，即可求出$p$；也可利用因式的性质：若$x+3$是多项式的因式，则$x=-3$时多项式值为0，代入方程直接求$p$。
【解析】
方法一：设左边分解后的另一个因式为$x+a$，可得：
$(x+3)(x+a) = x^2 - px -6$
展开左边得：$x^2 + (3+a)x + 3a = x^2 - px -6$
根据多项式恒等对应项系数相等：
常数项：$3a=-6$，解得$a=-2$
一次项系数：$3+a=-p$，代入$a=-2$得$1=-p$，即$p=-1$。
方法二：因为$x+3$是$x^2 - px -6$的因式，所以$x=-3$是方程的根，代入得：
$(-3)^2 - p×(-3) -6 = 0$
计算得$9+3p-6=0$，化简为$3+3p=0$，解得$p=-1$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的意义；多项式恒等性质；一元二次方程根的定义
【点评】
本题考查因式分解与多项式乘法的互逆关系，也可通过方程根的性质快速求解，属于基础题型，选择熟悉的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
用因式分解法解一元二次方程时，方程左边的二次三项式会分解为两个一次因式的乘积。已知其中一个因式是$x+3$，因原式二次项系数为1，可设另一个因式为$x+a$，通过多项式乘法展开后和原式对比对应项系数，即可求出$p$；也可利用因式的性质：若$x+3$是多项式的因式，则$x=-3$时多项式值为0，代入方程直接求$p$。
【解析】
方法一：设左边分解后的另一个因式为$x+a$，可得：
$(x+3)(x+a) = x^2 - px -6$
展开左边得：$x^2 + (3+a)x + 3a = x^2 - px -6$
根据多项式恒等对应项系数相等：
常数项：$3a=-6$，解得$a=-2$
一次项系数：$3+a=-p$，代入$a=-2$得$1=-p$，即$p=-1$。
方法二：因为$x+3$是$x^2 - px -6$的因式，所以$x=-3$是方程的根，代入得：
$(-3)^2 - p×(-3) -6 = 0$
计算得$9+3p-6=0$，化简为$3+3p=0$，解得$p=-1$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的意义；多项式恒等性质；一元二次方程根的定义
【点评】
本题考查因式分解与多项式乘法的互逆关系，也可通过方程根的性质快速求解，属于基础题型，选择熟悉的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. (2024·凉山州)已知$y^2 - x = 0$，$x^2 - 3y^2 + x - 3 = 0$，则$x$的值为
3
。答案
9. 3
解析
【分析】
解题思路为代入消元法：首先从第一个方程得到y²与x的关系，再代入第二个方程消去y，得到仅含x的一元二次方程，求解后结合平方的非负性舍去不符合条件的解即可。第一步先整理第一个方程，得到y²=x，且由平方数的非负性可知x≥0；第二步将y²=x代入第二个方程，把二元方程转化为一元二次方程；第三步解一元二次方程，再结合x≥0的隐含条件筛选出正确的解。
【解析】
由$y^2 - x = 0$可得：$y^2 = x$，根据平方的非负性可知$x≥0$。
将$y^2 = x$代入$x^2 - 3y^2 + x - 3 = 0$，得：
$x^2 - 3x + x - 3 = 0$
合并同类项得：$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
因为$x≥0$，所以$x=-1$不符合条件，舍去。
故$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
代入消元法、解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题是二元方程组与一元二次方程的结合题型，核心是通过代入消元实现降次，解题时需注意平方数非负这个隐含条件，避免求出增根。
【难度系数】
0.7
解题思路为代入消元法：首先从第一个方程得到y²与x的关系，再代入第二个方程消去y，得到仅含x的一元二次方程，求解后结合平方的非负性舍去不符合条件的解即可。第一步先整理第一个方程，得到y²=x，且由平方数的非负性可知x≥0；第二步将y²=x代入第二个方程，把二元方程转化为一元二次方程；第三步解一元二次方程，再结合x≥0的隐含条件筛选出正确的解。
【解析】
由$y^2 - x = 0$可得：$y^2 = x$，根据平方的非负性可知$x≥0$。
将$y^2 = x$代入$x^2 - 3y^2 + x - 3 = 0$，得：
$x^2 - 3x + x - 3 = 0$
合并同类项得：$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
因为$x≥0$，所以$x=-1$不符合条件，舍去。
故$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
代入消元法、解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题是二元方程组与一元二次方程的结合题型，核心是通过代入消元实现降次，解题时需注意平方数非负这个隐含条件，避免求出增根。
【难度系数】
0.7
10. 若规定两数$a,b$，通过运算“△”可得$3ab$，即$a△b=3ab$，如$2△6=3×2×6=36$ 若$x△x+2△x−2△4=0$，则$x$的值为
-4或2
。答案
10. -4或2
解析
【分析】
解题首先需要准确理解新定义运算“△”的规则：$a△b=3ab$，接下来将方程中所有含“△”的项按照规则转化为常规的代数表达式，整理得到一元二次方程，再选用合适的方法解一元二次方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据新定义运算$a△b=3ab$，分别化简方程中的各项：
1. $x△x = 3 · x · x = 3x^2$
2. $2△x = 3 × 2 · x = 6x$
3. $2△4 = 3 × 2 × 4 = 24$
将上述结果代入原方程$x△x + 2△x - 2△4 = 0$，可得：
$3x^2 + 6x - 24 = 0$
两边同时除以3化简方程：
$x^2 + 2x - 8 = 0$
对左边因式分解得：
$(x + 4)(x - 2) = 0$
则$x + 4 = 0$或$x - 2 = 0$，
解得$x_1 = -4$，$x_2 = 2$。
【答案】
-4或2
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】
本题是新定义类基础题，解题核心是正确将新运算转化为熟悉的代数运算，再按照一元二次方程的求解步骤计算即可，注意化简方程时不要出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解题首先需要准确理解新定义运算“△”的规则：$a△b=3ab$，接下来将方程中所有含“△”的项按照规则转化为常规的代数表达式，整理得到一元二次方程，再选用合适的方法解一元二次方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据新定义运算$a△b=3ab$，分别化简方程中的各项：
1. $x△x = 3 · x · x = 3x^2$
2. $2△x = 3 × 2 · x = 6x$
3. $2△4 = 3 × 2 × 4 = 24$
将上述结果代入原方程$x△x + 2△x - 2△4 = 0$，可得：
$3x^2 + 6x - 24 = 0$
两边同时除以3化简方程：
$x^2 + 2x - 8 = 0$
对左边因式分解得：
$(x + 4)(x - 2) = 0$
则$x + 4 = 0$或$x - 2 = 0$，
解得$x_1 = -4$，$x_2 = 2$。
【答案】
-4或2
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】
本题是新定义类基础题，解题核心是正确将新运算转化为熟悉的代数运算，再按照一元二次方程的求解步骤计算即可，注意化简方程时不要出现计算错误。
【难度系数】
0.7
11. 由多项式乘法法则可得$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$。
示例：分解因式：$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$。
（1）分解因式：$x^2+6x+5=(x+\_\_\_\_\_\_)(x+\_\_\_\_\_\_)$。
（2）尝试应用：请用上述方法解下列方程：
① $x^2+2x-15=0$； ② $x^2-7x=-12$； ③ $2x^2-x-6=0$。
（3）一元三次方程$x^3+x^2-2x=0$，可以通过因式分解把它转化为$x(x^2+x-2)=0$，解方程$x=0$和$x^2+x-2=0$，可得方程$x^3+x^2-2x=0$的解。则方程$x^3+x^2-2x=0$的解是$x_1=\_\_\_\_\_\_,x_2=\_\_\_\_\_\_,x_3=\_\_\_\_\_\_$。
示例：分解因式：$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$。
（1）分解因式：$x^2+6x+5=(x+\_\_\_\_\_\_)(x+\_\_\_\_\_\_)$。
（2）尝试应用：请用上述方法解下列方程：
① $x^2+2x-15=0$； ② $x^2-7x=-12$； ③ $2x^2-x-6=0$。
（3）一元三次方程$x^3+x^2-2x=0$，可以通过因式分解把它转化为$x(x^2+x-2)=0$，解方程$x=0$和$x^2+x-2=0$，可得方程$x^3+x^2-2x=0$的解。则方程$x^3+x^2-2x=0$的解是$x_1=\_\_\_\_\_\_,x_2=\_\_\_\_\_\_,x_3=\_\_\_\_\_\_$。
答案
11. (1) 5,1 (2) ①$x_1=-5,x_2=3$;②$x_1=4,x_2=3$;③$x_1=-\frac{3}{2},x_2=2$; (3) 0,-2,1.
解析
【分析】
本题围绕十字相乘法因式分解展开，解题思路如下：1. 第一问：对于二次项系数为1的二次三项式，找到两个数满足乘积等于常数项、和等于一次项系数，即可完成因式分解；2. 第二问解一元二次方程：先将方程整理为右边为0的形式，用十字相乘法将左边二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再令每个一次因式为0，即可得到方程的解，若二次项系数不为1，需同时拆分二次项系数和常数项，满足交叉相乘再相加的结果等于一次项系数；3. 第三问解三次方程：先提取公因式将三次方程降次为一次方程和二次方程，分别求解即可得到原三次方程的所有解。
【解析】
（1）对$x^2+6x+5$，找两个数满足和为6、积为5，可得这两个数为5和1，因此$x^2+6x+5=(x+5)(x+1)$。
（2）① 对$x^2+2x-15$，找两个数满足和为2、积为-15，得5和-3，原方程变形为$(x+5)(x-3)=0$，
令$x+5=0$，解得$x_1=-5$；令$x-3=0$，解得$x_2=3$。
② 先移项得$x^2-7x+12=0$，找两个数满足和为-7、积为12，得-3和-4，方程变形为$(x-4)(x-3)=0$，
令$x-4=0$，解得$x_1=4$；令$x-3=0$，解得$x_2=3$。
③ 对$2x^2-x-6=0$，拆分二次项系数2为$2×1$，常数项-6为$3×(-2)$，交叉相乘得$2×(-2)+1×3=-1$，恰好等于一次项系数，因此方程分解为$(2x+3)(x-2)=0$，
令$2x+3=0$，解得$x_1=-\frac{3}{2}$；令$x-2=0$，解得$x_2=2$。
（3）先对$x^3+x^2-2x=0$提取公因式$x$，得$x(x^2+x-2)=0$，再对$x^2+x-2$十字分解，找两个数满足和为1、积为-2，得2和-1，因此式子变形为$x(x+2)(x-1)=0$，
令$x=0$，得$x_1=0$；令$x+2=0$，得$x_2=-2$；令$x-1=0$，得$x_3=1$。
【答案】
(1) 5，1；(2) ①$x_1=-5,x_2=3$；②$x_1=4,x_2=3$；③$x_1=-\frac{3}{2},x_2=2$；(3) 0，-2，1
【知识点】
十字相乘法因式分解，因式分解法解一元二次方程，高次方程降次
【点评】
本题从基础因式分解到方程求解层层递进，重点考查十字相乘法的拆分规则和降次解方程的思想，熟练掌握十字相乘法的拆分技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题围绕十字相乘法因式分解展开，解题思路如下：1. 第一问：对于二次项系数为1的二次三项式，找到两个数满足乘积等于常数项、和等于一次项系数，即可完成因式分解；2. 第二问解一元二次方程：先将方程整理为右边为0的形式，用十字相乘法将左边二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再令每个一次因式为0，即可得到方程的解，若二次项系数不为1，需同时拆分二次项系数和常数项，满足交叉相乘再相加的结果等于一次项系数；3. 第三问解三次方程：先提取公因式将三次方程降次为一次方程和二次方程，分别求解即可得到原三次方程的所有解。
【解析】
（1）对$x^2+6x+5$，找两个数满足和为6、积为5，可得这两个数为5和1，因此$x^2+6x+5=(x+5)(x+1)$。
（2）① 对$x^2+2x-15$，找两个数满足和为2、积为-15，得5和-3，原方程变形为$(x+5)(x-3)=0$，
令$x+5=0$，解得$x_1=-5$；令$x-3=0$，解得$x_2=3$。
② 先移项得$x^2-7x+12=0$，找两个数满足和为-7、积为12，得-3和-4，方程变形为$(x-4)(x-3)=0$，
令$x-4=0$，解得$x_1=4$；令$x-3=0$，解得$x_2=3$。
③ 对$2x^2-x-6=0$，拆分二次项系数2为$2×1$，常数项-6为$3×(-2)$，交叉相乘得$2×(-2)+1×3=-1$，恰好等于一次项系数，因此方程分解为$(2x+3)(x-2)=0$，
令$2x+3=0$，解得$x_1=-\frac{3}{2}$；令$x-2=0$，解得$x_2=2$。
（3）先对$x^3+x^2-2x=0$提取公因式$x$，得$x(x^2+x-2)=0$，再对$x^2+x-2$十字分解，找两个数满足和为1、积为-2，得2和-1，因此式子变形为$x(x+2)(x-1)=0$，
令$x=0$，得$x_1=0$；令$x+2=0$，得$x_2=-2$；令$x-1=0$，得$x_3=1$。
【答案】
(1) 5，1；(2) ①$x_1=-5,x_2=3$；②$x_1=4,x_2=3$；③$x_1=-\frac{3}{2},x_2=2$；(3) 0，-2，1
【知识点】
十字相乘法因式分解，因式分解法解一元二次方程，高次方程降次
【点评】
本题从基础因式分解到方程求解层层递进，重点考查十字相乘法的拆分规则和降次解方程的思想，熟练掌握十字相乘法的拆分技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12. 阅读图例，解答问题：
例: 解方程$x^2 - |x - 1| - 1 = 0$.
解:① 当$x - 1 ≥ 0$, 即$x ≥ 1$时,$x^2 - (x - 1) - 1 = 0$,$x^2 - x = 0$.
解得$x = 0$(不合题意,舍去),或$x = 1$.
② 当$x - 1 ＜ 0$, 即$x ＜ 1$时,$x^2 + (x - 1) - 1 = 0$,$x^2 + x - 2 = 0$.
解得$x = 1$(不合题意,舍去),或$x = -2$.
综上所述,原方程的解是$x_1 = 1$或$x_2 = -2$.
依照上例解法,解方程$x^2 + 2|x + 2| - 4 = 0$.
例: 解方程$x^2 - |x - 1| - 1 = 0$.
解:① 当$x - 1 ≥ 0$, 即$x ≥ 1$时,$x^2 - (x - 1) - 1 = 0$,$x^2 - x = 0$.
解得$x = 0$(不合题意,舍去),或$x = 1$.
② 当$x - 1 ＜ 0$, 即$x ＜ 1$时,$x^2 + (x - 1) - 1 = 0$,$x^2 + x - 2 = 0$.
解得$x = 1$(不合题意,舍去),或$x = -2$.
综上所述,原方程的解是$x_1 = 1$或$x_2 = -2$.
依照上例解法,解方程$x^2 + 2|x + 2| - 4 = 0$.
答案
12. ① 当$x+2≥0$,即$x≥-2$时,$x^2+2(x+2)-4=0$,$x^2+2x=0$,解得$x=0$或$x=-2$; ② 当$x+2＜0$,即$x＜-2$时,$x^2-2(x+2)-4=0$,$x^2-2x-8=0$,解得$x=4$或$x=-2$(不合题意,均舍去).综上所述,原方程的解是$x_1=0,x_2=-2.$
解析
【分析】
本题是含绝对值的一元二次方程，解题核心是利用绝对值的性质分类讨论：首先找到绝对值内表达式的分界点（令$x+2=0$，得分界点$x=-2$），分$x≥-2$和$x＜-2$两种情况，分别去掉绝对值符号将方程转化为普通一元二次方程求解，每类解出结果后要验证是否符合对应取值范围，舍去不符合的解，最后汇总所有有效解即可。
【解析】
解：① 当$x+2≥0$，即$x≥-2$时，$|x+2|=x+2$，代入原方程得：
$x^2+2(x+2)-4=0$
整理得$x^2+2x=0$，因式分解得$x(x+2)=0$
解得$x=0$或$x=-2$，均符合$x≥-2$的取值范围，保留；
② 当$x+2＜0$，即$x＜-2$时，$|x+2|=-(x+2)$，代入原方程得：
$x^2-2(x+2)-4=0$
整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$
解得$x=4$或$x=-2$，均不符合$x＜-2$的取值范围，全部舍去。
综上所述，原方程的解是$x_1=0$，$x_2=-2$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=-2$
【知识点】
绝对值的性质；一元二次方程解法；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题关键是根据绝对值内式子的正负性正确去绝对值符号，求解后需注意检验解是否符合对应分类的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
本题是含绝对值的一元二次方程，解题核心是利用绝对值的性质分类讨论：首先找到绝对值内表达式的分界点（令$x+2=0$，得分界点$x=-2$），分$x≥-2$和$x＜-2$两种情况，分别去掉绝对值符号将方程转化为普通一元二次方程求解，每类解出结果后要验证是否符合对应取值范围，舍去不符合的解，最后汇总所有有效解即可。
【解析】
解：① 当$x+2≥0$，即$x≥-2$时，$|x+2|=x+2$，代入原方程得：
$x^2+2(x+2)-4=0$
整理得$x^2+2x=0$，因式分解得$x(x+2)=0$
解得$x=0$或$x=-2$，均符合$x≥-2$的取值范围，保留；
② 当$x+2＜0$，即$x＜-2$时，$|x+2|=-(x+2)$，代入原方程得：
$x^2-2(x+2)-4=0$
整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$
解得$x=4$或$x=-2$，均不符合$x＜-2$的取值范围，全部舍去。
综上所述，原方程的解是$x_1=0$，$x_2=-2$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=-2$
【知识点】
绝对值的性质；一元二次方程解法；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题关键是根据绝对值内式子的正负性正确去绝对值符号，求解后需注意检验解是否符合对应分类的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
