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14.(7分)如图所示,置于水平桌面上的甲、乙两个完全相同的薄壁柱形容器,容器高0.8 m,重力为5 N,底面积为$1×10^{-2}\ \mathrm{m}^2$,甲容器中盛有深度为0.6 m的水,乙容器中盛有深度为0.4 m的某种液体。(水的密度为$1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)
(1)求甲容器中水对容器底部的压强$p_{\mathrm{水}}$。
(2)若乙容器中液体的重力为35 N,求乙容器对水平桌面的压强$p_{\mathrm{容乙}}$。
(3)现将一个实心物块浸没在乙容器的液体中,能使甲、乙两容器底部所受液体压强相等,求乙容器中液体密度$\rho_{\mathrm{液}}$的范围。
(1)求甲容器中水对容器底部的压强$p_{\mathrm{水}}$。
(2)若乙容器中液体的重力为35 N,求乙容器对水平桌面的压强$p_{\mathrm{容乙}}$。
(3)现将一个实心物块浸没在乙容器的液体中,能使甲、乙两容器底部所受液体压强相等,求乙容器中液体密度$\rho_{\mathrm{液}}$的范围。
答案
14.(1)6 000 Pa
(2)4 000 Pa
(3)$0.75×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ≤ \rho_{\mathrm{液}} ≤ 1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
解析 (1)甲容器中水对容器底部的压强 $p_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}\ gh_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×10\ \mathrm{N/kg}×0.6\ \mathrm{m}=6\ 000\ \mathrm{Pa}$；
(2)水平面上的物体对水平面的压力大小等于自身的重力大小，所以乙容器对水平桌面的压力：$F=G_{\mathrm{总}}=35\ \mathrm{N}+5\ \mathrm{N}=40\ \mathrm{N}$；
所以乙容器对水平桌面的压强：$p_{\mathrm{容乙}}=\frac{F}{S}=\frac{40\ \mathrm{N}}{1×10^{-2}\ \mathrm{m}^2}=4\ 000\ \mathrm{Pa}$；
(3)要使甲、乙两容器底部所受液体压强相等，即 $p_{\mathrm{水}}=p_{\mathrm{液}}=6\ 000\ \mathrm{Pa}$；
若不放入物体，此时乙容器中液体深度最小，由 $p=\rho gh$ 可知，乙容器中液体的密度最大，则乙容器中液体密度最大
$\rho_{\mathrm{大}}=\frac{p_{\mathrm{液}}}{gh}=\frac{6\ 000\ \mathrm{Pa}}{10\ \mathrm{N/kg}×0.4\ \mathrm{m}}=1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；
若放入物体后液面恰好与容器口相平，此时乙容器中液体深度最大，由 $p=\rho gh$ 可知，乙容器中液体的密度最小，则乙容器中液体密度最小
$\rho_{\mathrm{小}}=\frac{p_{\mathrm{液}}}{gh'}=\frac{6\ 000\ \mathrm{Pa}}{10\ \mathrm{N/kg}×0.8\ \mathrm{m}}=0.75×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；
所以乙容器中液体密度的范围为 $0.75×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ∼ 1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(2)4 000 Pa
(3)$0.75×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ≤ \rho_{\mathrm{液}} ≤ 1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
解析 (1)甲容器中水对容器底部的压强 $p_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}\ gh_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ×10\ \mathrm{N/kg}×0.6\ \mathrm{m}=6\ 000\ \mathrm{Pa}$；
(2)水平面上的物体对水平面的压力大小等于自身的重力大小，所以乙容器对水平桌面的压力：$F=G_{\mathrm{总}}=35\ \mathrm{N}+5\ \mathrm{N}=40\ \mathrm{N}$；
所以乙容器对水平桌面的压强：$p_{\mathrm{容乙}}=\frac{F}{S}=\frac{40\ \mathrm{N}}{1×10^{-2}\ \mathrm{m}^2}=4\ 000\ \mathrm{Pa}$；
(3)要使甲、乙两容器底部所受液体压强相等，即 $p_{\mathrm{水}}=p_{\mathrm{液}}=6\ 000\ \mathrm{Pa}$；
若不放入物体，此时乙容器中液体深度最小，由 $p=\rho gh$ 可知，乙容器中液体的密度最大，则乙容器中液体密度最大
$\rho_{\mathrm{大}}=\frac{p_{\mathrm{液}}}{gh}=\frac{6\ 000\ \mathrm{Pa}}{10\ \mathrm{N/kg}×0.4\ \mathrm{m}}=1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；
若放入物体后液面恰好与容器口相平，此时乙容器中液体深度最大，由 $p=\rho gh$ 可知，乙容器中液体的密度最小，则乙容器中液体密度最小
$\rho_{\mathrm{小}}=\frac{p_{\mathrm{液}}}{gh'}=\frac{6\ 000\ \mathrm{Pa}}{10\ \mathrm{N/kg}×0.8\ \mathrm{m}}=0.75×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；
所以乙容器中液体密度的范围为 $0.75×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ∼ 1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
解析
【分析】
本题分三小问逐步求解：第(1)问是计算液体对容器底的压强，直接运用液体压强公式$p=\rho gh$，代入对应物理量即可；第(2)问是计算固体对水平桌面的压强，水平面上压力等于总重力，结合容器底面积用压强公式$p=\frac{F}{S}$计算；第(3)问需先确定乙容器需达到的压强等于甲容器的压强，再通过两种极端情况（不放入物块时的最小深度、放入物块后液面到容器口的最大深度）推导液体密度范围，需注意容器高度限制。
【解析】
(1) 甲容器中水对容器底部的压强，根据液体压强公式：
$p_{水}=\rho_{水}gh_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.6\ \mathrm{m}=6000\ \mathrm{Pa}$。
(2) 乙容器对水平桌面的压力等于容器和液体的总重力：
$F=G_{总}=G_{液}+G_{容}=35\ \mathrm{N}+5\ \mathrm{N}=40\ \mathrm{N}$，
乙容器对水平桌面的压强：
$p_{容乙}=\frac{F}{S}=\frac{40\ \mathrm{N}}{1×10^{-2}\ \mathrm{m}^2}=4000\ \mathrm{Pa}$。
(3) 要使甲、乙两容器底部所受液体压强相等，则乙容器底部压强$p_{液}=p_{水}=6000\ \mathrm{Pa}$。
① 不放入物块时，乙中液体深度最小（$h_{液}=0.4\ \mathrm{m}$），此时液体密度最大：
$\rho_{大}=\frac{p_{液}}{gh_{液}}=\frac{6000\ \mathrm{Pa}}{10\ \mathrm{N/kg}×0.4\ \mathrm{m}}=1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；
② 放入物块后液面恰好与容器口相平（最大深度$h'=0.8\ \mathrm{m}$），此时液体密度最小：
$\rho_{小}=\frac{p_{液}}{gh'}=\frac{6000\ \mathrm{Pa}}{10\ \mathrm{N/kg}×0.8\ \mathrm{m}}=0.75×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；
因此乙容器中液体密度的范围为：$0.75×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ≤ \rho_{液} ≤1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) $6000\ \mathrm{Pa}$；(2) $4000\ \mathrm{Pa}$；(3) $0.75×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ≤ \rho_{液} ≤1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
液体压强计算、固体压强计算、压强综合应用
【点评】
本题综合考查液体压强与固体压强的计算，前两问为基础压强计算，第(3)问需结合容器高度分析液面的最大深度，通过两种极端情况推导密度范围，对学生的综合分析能力有一定要求，是压强部分的典型应用题。
【难度系数】
0.6
本题分三小问逐步求解：第(1)问是计算液体对容器底的压强，直接运用液体压强公式$p=\rho gh$，代入对应物理量即可；第(2)问是计算固体对水平桌面的压强，水平面上压力等于总重力，结合容器底面积用压强公式$p=\frac{F}{S}$计算；第(3)问需先确定乙容器需达到的压强等于甲容器的压强，再通过两种极端情况（不放入物块时的最小深度、放入物块后液面到容器口的最大深度）推导液体密度范围，需注意容器高度限制。
【解析】
(1) 甲容器中水对容器底部的压强，根据液体压强公式：
$p_{水}=\rho_{水}gh_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.6\ \mathrm{m}=6000\ \mathrm{Pa}$。
(2) 乙容器对水平桌面的压力等于容器和液体的总重力：
$F=G_{总}=G_{液}+G_{容}=35\ \mathrm{N}+5\ \mathrm{N}=40\ \mathrm{N}$，
乙容器对水平桌面的压强：
$p_{容乙}=\frac{F}{S}=\frac{40\ \mathrm{N}}{1×10^{-2}\ \mathrm{m}^2}=4000\ \mathrm{Pa}$。
(3) 要使甲、乙两容器底部所受液体压强相等，则乙容器底部压强$p_{液}=p_{水}=6000\ \mathrm{Pa}$。
① 不放入物块时，乙中液体深度最小（$h_{液}=0.4\ \mathrm{m}$），此时液体密度最大：
$\rho_{大}=\frac{p_{液}}{gh_{液}}=\frac{6000\ \mathrm{Pa}}{10\ \mathrm{N/kg}×0.4\ \mathrm{m}}=1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；
② 放入物块后液面恰好与容器口相平（最大深度$h'=0.8\ \mathrm{m}$），此时液体密度最小：
$\rho_{小}=\frac{p_{液}}{gh'}=\frac{6000\ \mathrm{Pa}}{10\ \mathrm{N/kg}×0.8\ \mathrm{m}}=0.75×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；
因此乙容器中液体密度的范围为：$0.75×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ≤ \rho_{液} ≤1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) $6000\ \mathrm{Pa}$；(2) $4000\ \mathrm{Pa}$；(3) $0.75×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 ≤ \rho_{液} ≤1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
液体压强计算、固体压强计算、压强综合应用
【点评】
本题综合考查液体压强与固体压强的计算，前两问为基础压强计算，第(3)问需结合容器高度分析液面的最大深度，通过两种极端情况推导密度范围，对学生的综合分析能力有一定要求，是压强部分的典型应用题。
【难度系数】
0.6
