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1 如图，学校信管中心老师根据“○”中的三个数按照一定的规律设置学校Wi-Fi密码.请根据提供的信息，推断密码a是
（第1题）
082150
. （第1题）答案
1. 082150
【解析】因为3=1+2,7=3+4,11=9+2,所以8=3+5,即密码a最左边的两个数字为08.因为4=1×4,15=3×5,45=9×5,所以21=3×7,即密码a中间的两个数字为21.因为10=2×(1+4),32=4×(3+5),28=2×(9+5),所以50=5×(3+7),即密码a最右边的两个数字为50.所以密码a是082150.
【解析】因为3=1+2,7=3+4,11=9+2,所以8=3+5,即密码a最左边的两个数字为08.因为4=1×4,15=3×5,45=9×5,所以21=3×7,即密码a中间的两个数字为21.因为10=2×(1+4),32=4×(3+5),28=2×(9+5),所以50=5×(3+7),即密码a最右边的两个数字为50.所以密码a是082150.
解析
【分析】
观察可知每组密码均为6位数字，可将其拆分为前两位、中间两位、后两位三部分，分别对应三角形三个顶点数字的运算关系。接下来对照前三个三角形的顶点数字和对应密码，逐段验证运算规律：①先看前两位，对比前三个示例的运算结果，可得出前两位是三角形上方数字与左下角数字的和，结果不足两位时前面补0；②再看中间两位，对比运算结果可得出中间两位是上方数字与右下角数字的乘积，不足两位补0；③最后看后两位，对比运算结果可得出后两位是左下角数字乘上方与右下角数字的和。找到规律后，代入第四个三角形的三个数字分别计算三段密码，拼接即可得到a。
【解析】
将6位密码分为前两位、中间两位、后两位三部分分别推导规律：
1. 前两位规律：第一个三角形$1+2=3$，对应密码前两位03；第二个$3+4=7$，对应07；第三个$9+2=11$，对应11，即前两位为上方数字与左下角数字的和，不足两位补前导0。第四个三角形上方数字是3，左下角是5，$3+5=8$，因此前两位为08。
2. 中间两位规律：第一个$1×4=4$，对应中间两位04；第二个$3×5=15$，对应15；第三个$9×5=45$，对应45，即中间两位为上方数字与右下角数字的乘积，不足两位补前导0。第四个上方为3，右下角为7，$3×7=21$，因此中间两位为21。
3. 后两位规律：第一个$2×(1+4)=10$，对应后两位10；第二个$4×(3+5)=32$，对应32；第三个$2×(9+5)=28$，对应28，即后两位为左下角数字乘上方与右下角数字的和，不足两位补前导0。第四个左下角为5，$3+7=10$，$5×10=50$，因此后两位为50。
将三部分拼接得到密码a。
【答案】
082150
【知识点】
数字规律探究、有理数加法、有理数乘法
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要学生通过观察已知的对应关系，拆分密码分段验证运算规则，既考查观察归纳能力，也考查基础运算的准确性，细心推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
观察可知每组密码均为6位数字，可将其拆分为前两位、中间两位、后两位三部分，分别对应三角形三个顶点数字的运算关系。接下来对照前三个三角形的顶点数字和对应密码，逐段验证运算规律：①先看前两位，对比前三个示例的运算结果，可得出前两位是三角形上方数字与左下角数字的和，结果不足两位时前面补0；②再看中间两位，对比运算结果可得出中间两位是上方数字与右下角数字的乘积，不足两位补0；③最后看后两位，对比运算结果可得出后两位是左下角数字乘上方与右下角数字的和。找到规律后，代入第四个三角形的三个数字分别计算三段密码，拼接即可得到a。
【解析】
将6位密码分为前两位、中间两位、后两位三部分分别推导规律：
1. 前两位规律：第一个三角形$1+2=3$，对应密码前两位03；第二个$3+4=7$，对应07；第三个$9+2=11$，对应11，即前两位为上方数字与左下角数字的和，不足两位补前导0。第四个三角形上方数字是3，左下角是5，$3+5=8$，因此前两位为08。
2. 中间两位规律：第一个$1×4=4$，对应中间两位04；第二个$3×5=15$，对应15；第三个$9×5=45$，对应45，即中间两位为上方数字与右下角数字的乘积，不足两位补前导0。第四个上方为3，右下角为7，$3×7=21$，因此中间两位为21。
3. 后两位规律：第一个$2×(1+4)=10$，对应后两位10；第二个$4×(3+5)=32$，对应32；第三个$2×(9+5)=28$，对应28，即后两位为左下角数字乘上方与右下角数字的和，不足两位补前导0。第四个左下角为5，$3+7=10$，$5×10=50$，因此后两位为50。
将三部分拼接得到密码a。
【答案】
082150
【知识点】
数字规律探究、有理数加法、有理数乘法
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要学生通过观察已知的对应关系，拆分密码分段验证运算规则，既考查观察归纳能力，也考查基础运算的准确性，细心推导即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
2【阅读材料】
在生活中,密码的应用随处可见,如电子支付、电子门禁、密码认证等.如今,密码学已成为网络信息安全的核心,密码学的研究使用了越来越多的数学工具.有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘上的字母顺序排列,如Q,W,E,…,N,M,这26个字母依次对应1,2,3,…,25,26这26个自然数(如下表).设明文的任一字母所对应的自然数为x,通过某种规定的运算程序把x转换为对应的自然数$x'$,$x'$对应的字母为密文.
若运算程序如图所示,则将明文M转换成密文:$M→26(26被4除余2)→\frac{26+2}{4}+12=19→L$,即M的密文为L;将密文P转换成明文:$P→10→(10-6)×4-1=15→G$,即P的明文为G.
【解决问题】
(1) 按照以上程序加密1次,明文I对应的密文为
(2) 按照以上程序加密1次的密文为CWXZ,则其对应的明文为
(3) 加密可以重复进行,按照以上程序加密2026次,明文V对应的密文为
在生活中,密码的应用随处可见,如电子支付、电子门禁、密码认证等.如今,密码学已成为网络信息安全的核心,密码学的研究使用了越来越多的数学工具.有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘上的字母顺序排列,如Q,W,E,…,N,M,这26个字母依次对应1,2,3,…,25,26这26个自然数(如下表).设明文的任一字母所对应的自然数为x,通过某种规定的运算程序把x转换为对应的自然数$x'$,$x'$对应的字母为密文.
若运算程序如图所示,则将明文M转换成密文:$M→26(26被4除余2)→\frac{26+2}{4}+12=19→L$,即M的密文为L;将密文P转换成明文:$P→10→(10-6)×4-1=15→G$,即P的明文为G.
【解决问题】
(1) 按照以上程序加密1次,明文I对应的密文为
W
,明文NLZF对应的密文为MATH
;(2) 按照以上程序加密1次的密文为CWXZ,则其对应的明文为
OITQ
;(3) 加密可以重复进行,按照以上程序加密2026次,明文V对应的密文为
U
.答案
2. (1) W MATH (2) OITQ (3) U
【解析】(1) 根据将明文转换成密文的计算方法可知,将明文I转换成密文:I→8(8被4整除)→$\frac{8}{4}=2$→W,所以明文I对应的密文为W.将明文N转换成密文:N→25(25被4除余1)→$\frac{25+3}{4}+19=26$→M;将明文L转换成密文:L→19(19被4除余3)→$\frac{19+1}{4}+6=11$→A;将明文Z转换成密文:Z→20(20被4整除)→$\frac{20}{4}=5$→T;将明文F转换成密文:F→14(14被4除余2)→$\frac{14+2}{4}+12=16$→H.所以明文NLZF对应的密文为MATH.
(2) 根据将密文转换成明文的计算方法可得,C→22→(22-19)×4-3=9→O,W→2→2×4=8→I,X→21→(21-19)×4-3=5→T,Z→20→(20-19)×4-3=1→Q.所以CWXZ对应的明文为OITQ.
(3) V→23(23被4除余3)→$\frac{23+1}{4}+6=12$→S,S→12(12被4整除)→$\frac{12}{4}=3$→E,E→3(3被4除余3)→$\frac{3+1}{4}+6=7$→U,U→7(7被4除余3)→$\frac{7+1}{4}+6=8$→I,I→8(8被4整除)→$\frac{8}{4}=2$→W,W→2(2被4除余2)→$\frac{2+2}{4}+12=13$→D,D→13(13被4除余1)→$\frac{13+3}{4}+19=23$→V,所以加密7次后,开始循环加密.因为2026÷7=289……3,所以按照以上程序加密2026次,明文V对应的密文为U.
【解析】(1) 根据将明文转换成密文的计算方法可知,将明文I转换成密文:I→8(8被4整除)→$\frac{8}{4}=2$→W,所以明文I对应的密文为W.将明文N转换成密文:N→25(25被4除余1)→$\frac{25+3}{4}+19=26$→M;将明文L转换成密文:L→19(19被4除余3)→$\frac{19+1}{4}+6=11$→A;将明文Z转换成密文:Z→20(20被4整除)→$\frac{20}{4}=5$→T;将明文F转换成密文:F→14(14被4除余2)→$\frac{14+2}{4}+12=16$→H.所以明文NLZF对应的密文为MATH.
(2) 根据将密文转换成明文的计算方法可得,C→22→(22-19)×4-3=9→O,W→2→2×4=8→I,X→21→(21-19)×4-3=5→T,Z→20→(20-19)×4-3=1→Q.所以CWXZ对应的明文为OITQ.
(3) V→23(23被4除余3)→$\frac{23+1}{4}+6=12$→S,S→12(12被4整除)→$\frac{12}{4}=3$→E,E→3(3被4除余3)→$\frac{3+1}{4}+6=7$→U,U→7(7被4除余3)→$\frac{7+1}{4}+6=8$→I,I→8(8被4整除)→$\frac{8}{4}=2$→W,W→2(2被4除余2)→$\frac{2+2}{4}+12=13$→D,D→13(13被4除余1)→$\frac{13+3}{4}+19=23$→V,所以加密7次后,开始循环加密.因为2026÷7=289……3,所以按照以上程序加密2026次,明文V对应的密文为U.
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心规则：①26个字母与1~26的自然数一一对应；②明文转密文的运算规则：先求明文对应数字x除以4的余数，按余数分类计算得到密文对应数字$x'$，再转成字母；密文转明文则是该运算的逆运算。
(1) 明文转密文，只需逐个提取明文每个字母对应的x，按x除以4的余数选择对应公式计算得到$x'$，再转换为密文字母即可；
(2) 密文转明文，逐个提取密文每个字母对应的$x'$，按逆运算规则求出原明文对应的x，再转换为明文字母即可；
(3) 多次加密时，先计算明文V多次加密的结果，找到循环周期，再用总加密次数除以周期得到余数，对应周期内的结果即为答案。
【解析】
(1) 明文I对应数字8，8被4整除，按规则计算$x'=\frac{8}{4}=2$，数字2对应字母W，故明文I的密文为W。
明文N对应数字25，25被4除余1，$x'=\frac{25+3}{4}+19=26$，对应字母M；
明文L对应数字19，19被4除余3，$x'=\frac{19+1}{4}+6=11$，对应字母A；
明文Z对应数字20，20被4整除，$x'=\frac{20}{4}=5$，对应字母T；
明文F对应数字14，14被4除余2，$x'=\frac{14+2}{4}+12=16$，对应字母H；
故明文NLZF的密文为MATH。
(2) 密文C对应数字22，逆运算得$x=(22-19)×4-3=9$，对应字母O；
密文W对应数字2，逆运算得$x=2×4=8$，对应字母I；
密文X对应数字21，逆运算得$x=(21-19)×4-3=5$，对应字母T；
密文Z对应数字20，逆运算得$x=(20-19)×4-3=1$，对应字母Q；
故密文CWXZ对应的明文为OITQ。
(3) 先计算明文V多次加密的结果：
V对应数字23→加密1次得12→S；
S对应12→加密2次得3→E；
E对应3→加密3次得7→U；
U对应7→加密4次得8→I；
I对应8→加密5次得2→W；
W对应2→加密6次得13→D；
D对应13→加密7次得23→V，即每7次加密为一个循环。
$2026÷7=289······3$，即加密2026次的结果和加密3次的结果相同，对应密文为U。
【答案】
(1) W；MATH (2) OITQ (3) U
【知识点】
代数式求值，周期规律探究，逆推运算
【点评】
本题结合生活中的密码应用场景，考查了规则理解、分类计算和规律探究能力，需要认真审题明确运算规则，耐心分步计算即可正确解答。
【难度系数】
0.65
解题首先要明确两个核心规则：①26个字母与1~26的自然数一一对应；②明文转密文的运算规则：先求明文对应数字x除以4的余数，按余数分类计算得到密文对应数字$x'$，再转成字母；密文转明文则是该运算的逆运算。
(1) 明文转密文，只需逐个提取明文每个字母对应的x，按x除以4的余数选择对应公式计算得到$x'$，再转换为密文字母即可；
(2) 密文转明文，逐个提取密文每个字母对应的$x'$，按逆运算规则求出原明文对应的x，再转换为明文字母即可；
(3) 多次加密时，先计算明文V多次加密的结果，找到循环周期，再用总加密次数除以周期得到余数，对应周期内的结果即为答案。
【解析】
(1) 明文I对应数字8，8被4整除，按规则计算$x'=\frac{8}{4}=2$，数字2对应字母W，故明文I的密文为W。
明文N对应数字25，25被4除余1，$x'=\frac{25+3}{4}+19=26$，对应字母M；
明文L对应数字19，19被4除余3，$x'=\frac{19+1}{4}+6=11$，对应字母A；
明文Z对应数字20，20被4整除，$x'=\frac{20}{4}=5$，对应字母T；
明文F对应数字14，14被4除余2，$x'=\frac{14+2}{4}+12=16$，对应字母H；
故明文NLZF的密文为MATH。
(2) 密文C对应数字22，逆运算得$x=(22-19)×4-3=9$，对应字母O；
密文W对应数字2，逆运算得$x=2×4=8$，对应字母I；
密文X对应数字21，逆运算得$x=(21-19)×4-3=5$，对应字母T；
密文Z对应数字20，逆运算得$x=(20-19)×4-3=1$，对应字母Q；
故密文CWXZ对应的明文为OITQ。
(3) 先计算明文V多次加密的结果：
V对应数字23→加密1次得12→S；
S对应12→加密2次得3→E；
E对应3→加密3次得7→U；
U对应7→加密4次得8→I；
I对应8→加密5次得2→W；
W对应2→加密6次得13→D；
D对应13→加密7次得23→V，即每7次加密为一个循环。
$2026÷7=289······3$，即加密2026次的结果和加密3次的结果相同，对应密文为U。
【答案】
(1) W；MATH (2) OITQ (3) U
【知识点】
代数式求值，周期规律探究，逆推运算
【点评】
本题结合生活中的密码应用场景，考查了规则理解、分类计算和规律探究能力，需要认真审题明确运算规则，耐心分步计算即可正确解答。
【难度系数】
0.65
