活动主题
如何在矩形中折出黄金矩形
探究背景
宽与长之比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫作“黄金矩形”，两个兴趣小组开启数学探究之旅，探究如何在宽$AB=2$，长足够长的矩形纸片中折出黄金矩形.
探究过程
第一小组:步骤1:如图①,将纸片折叠,使得$AB$与$AD$重合,折痕为$AC$,展开;
步骤2:如图②,将纸片折叠,使得$AB$与$CD$重合,折痕为$EF$,展开;
步骤3:如图③,先折出折痕$DF$,再将矩形沿过点$F$的直线折叠,使得$FD$的对应边$FG$落在直线$BC$上,展开;
步骤4:如图④,过点$G$折出矩形$ABGH$,展开.

(1)图③中$DF=$,$CG=$;
(2)请写出图④中的黄金矩形:.
第二小组:我们小组的折叠步骤1、步骤2和第一小组相同,接下来的步骤不同.
步骤3:如图⑤,先折出折痕$EB$,再将纸片沿过点$E$的直线折叠,使得点$A$的对应点$G$落在$EB$上,展开;
步骤4:如图⑥,将纸片沿过点$B$的直线折叠,使$BA$的对应边落在$BE$上,点$G$与$AB$上的点$H$对应,展开;
步骤5:如图⑦,过点$H$折出矩形$AHPD$,展开.

(3)图⑦中的黄金矩形为.
(4)证明:请任意选择一个小组得到的图形,并证明其为黄金矩形.
证明

(1) $\sqrt{5}$，$\sqrt{5}-1$
(2) 四边形$DCGH$，四边形$ABGH$
(3) 四边形$BCPH$
(4) 解:答案不唯一.
选择第一小组得到的四边形$DCGH$.
证明:由题意可得 $AD=AB=2,∠ B=∠ BAD=∠ ADC=90°$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$为正方形,
$\therefore BC=DC=2$.
由折叠可得 $AE=ED=BF=CF=1$,
$\therefore DF=\sqrt{DC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,
$\therefore FG=DF=\sqrt{5},\therefore CG=\sqrt{5}-1$,
$\therefore \frac{CG}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
$\therefore$ 四边形$DCGH$ 为黄金矩形.