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1 下列条件中,能确定唯一一个圆的是 （
A.以点O为圆心
B.以2 cm为半径
C.以点O为圆心,5 cm为半径
D.半径为2 cm,且经过点A
C
）A.以点O为圆心
B.以2 cm为半径
C.以点O为圆心,5 cm为半径
D.半径为2 cm,且经过点A
答案
1.C
解析
【分析】
要确定唯一的圆，必须同时明确圆的两个核心要素：圆心（决定圆的位置）和半径（决定圆的大小），二者缺一不可。解题时我们可以逐一对照每个选项是否同时满足这两个要素，判断能否确定唯一的圆。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：只给出了圆心O，没有确定半径，半径可以取任意长度，能画出无数个以O为圆心的圆，不符合要求；
B选项：只给出了2cm的半径，没有确定圆心的位置，圆心可以是平面内任意一点，能画出无数个半径为2cm的圆，不符合要求；
C选项：同时给出了圆心O和半径5cm，圆的位置和大小都唯一确定，只能画出1个符合条件的圆，符合要求；
D选项：只给出半径2cm和经过点A，圆心只要满足到点A的距离为2cm即可，这样的圆心有无数个，因此能画出无数个符合条件的圆，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；圆的基本要素
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记确定一个圆必须同时具备圆心和半径两个条件，即可快速判断得出正确结论。
【难度系数】
0.9
要确定唯一的圆，必须同时明确圆的两个核心要素：圆心（决定圆的位置）和半径（决定圆的大小），二者缺一不可。解题时我们可以逐一对照每个选项是否同时满足这两个要素，判断能否确定唯一的圆。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：只给出了圆心O，没有确定半径，半径可以取任意长度，能画出无数个以O为圆心的圆，不符合要求；
B选项：只给出了2cm的半径，没有确定圆心的位置，圆心可以是平面内任意一点，能画出无数个半径为2cm的圆，不符合要求；
C选项：同时给出了圆心O和半径5cm，圆的位置和大小都唯一确定，只能画出1个符合条件的圆，符合要求；
D选项：只给出半径2cm和经过点A，圆心只要满足到点A的距离为2cm即可，这样的圆心有无数个，因此能画出无数个符合条件的圆，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；圆的基本要素
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记确定一个圆必须同时具备圆心和半径两个条件，即可快速判断得出正确结论。
【难度系数】
0.9
2 在平面内与点P的距离为1 cm的点有 （
A.无数个
B.3个
C.2个
D.1个
A
）A.无数个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先抓住题干核心条件：平面内到定点P的距离为1cm的点。回忆圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是半径。由此可知满足条件的点都在以P为圆心、1cm为半径的圆上，而圆上有无数个点，即可推出答案。
【解析】
根据圆的定义，平面内到定点P的距离等于定长1cm的所有点构成的图形，是以点P为圆心、1cm为半径的圆。由于圆是由无数个点组成的，因此平面内与点P的距离为1cm的点有无数个，故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟练掌握圆的定义，理解圆上所有点到圆心的距离都等于半径的特征。
【难度系数】
0.9
解题时先抓住题干核心条件：平面内到定点P的距离为1cm的点。回忆圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是半径。由此可知满足条件的点都在以P为圆心、1cm为半径的圆上，而圆上有无数个点，即可推出答案。
【解析】
根据圆的定义，平面内到定点P的距离等于定长1cm的所有点构成的图形，是以点P为圆心、1cm为半径的圆。由于圆是由无数个点组成的，因此平面内与点P的距离为1cm的点有无数个，故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟练掌握圆的定义，理解圆上所有点到圆心的距离都等于半径的特征。
【难度系数】
0.9
3 新情境 传统文化 早在两千多年前，教育家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为
圆心
。答案
3.圆心
解析
【分析】
解题时先理解古文“圆，一中同长也”的含义，再结合圆的数学定义对应分析即可。第一步先翻译古文表述：这句话描述圆有一个中心点，从这个点到圆上所有点的长度都相等；第二步关联圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，其中的定点就是圆的中心，因此古文中的“中”就对应这个定点。
【解析】
“圆，一中同长也”的意思是圆有一个中心，从该中心到圆上任意一点的距离都相等。根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，这个定点就是圆心，定长为半径，因此句中的“中”对应的就是圆心。
【答案】
圆心
【知识点】
圆的定义，圆心的概念
【点评】
本题结合我国古代传统文化中的数学记载考查圆的基础概念，既能让学生了解古代数学成就，也能考查对基础概念的理解掌握程度，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
解题时先理解古文“圆，一中同长也”的含义，再结合圆的数学定义对应分析即可。第一步先翻译古文表述：这句话描述圆有一个中心点，从这个点到圆上所有点的长度都相等；第二步关联圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，其中的定点就是圆的中心，因此古文中的“中”就对应这个定点。
【解析】
“圆，一中同长也”的意思是圆有一个中心，从该中心到圆上任意一点的距离都相等。根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，这个定点就是圆心，定长为半径，因此句中的“中”对应的就是圆心。
【答案】
圆心
【知识点】
圆的定义，圆心的概念
【点评】
本题结合我国古代传统文化中的数学记载考查圆的基础概念，既能让学生了解古代数学成就，也能考查对基础概念的理解掌握程度，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
4 如图，$\odot O$的半径为10 cm，A，B是$\odot O$上的两点，连接OA，OB，AB。若$∠ AOB = 60°$，则AB的长为
10
cm。答案
4.10
解析
【分析】
解题时先从圆的性质入手，同圆的所有半径长度相等，因此可得OA=OB，即△OAB是等腰三角形；再结合已知条件∠AOB=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△OAB是等边三角形，等边三角形三边相等，因此AB的长度等于半径的长度，即可求出结果。
【解析】
解：
∵ OA、OB均为⊙O的半径，⊙O的半径为10cm，
∴ OA=OB=10cm，△OAB是等腰三角形，
又
∵ ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB=OA=10cm。
【答案】
10
【知识点】
1. 圆的半径性质；2. 等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，结合圆的基本性质和特殊三角形的判定即可解题，主要考查对基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.9
解题时先从圆的性质入手，同圆的所有半径长度相等，因此可得OA=OB，即△OAB是等腰三角形；再结合已知条件∠AOB=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△OAB是等边三角形，等边三角形三边相等，因此AB的长度等于半径的长度，即可求出结果。
【解析】
解：
∵ OA、OB均为⊙O的半径，⊙O的半径为10cm，
∴ OA=OB=10cm，△OAB是等腰三角形，
又
∵ ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB=OA=10cm。
【答案】
10
【知识点】
1. 圆的半径性质；2. 等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，结合圆的基本性质和特殊三角形的判定即可解题，主要考查对基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.9
5 [2024苏州工业园区段考]在平面内，长为5 cm的线段绕着一个端点旋转一周，线段的中点M所经过的路径长为
5π cm
。答案
5.5π cm
解析
【分析】
解决这道题首先要明确点的运动轨迹：线段绕一个端点在平面内旋转一周时，线段上所有点的运动轨迹都是以该旋转端点为圆心的圆。线段中点到旋转端点的距离就是轨迹圆的半径，要求中点经过的路径长，本质就是求这个圆的周长，代入圆的周长公式计算即可。
【解析】
已知线段长为5cm，线段中点M到旋转端点的距离即为轨迹圆的半径：
$r = \frac{1}{2} × 5 = 2.5\ \mathrm{cm}$
中点M经过的路径是半径为2.5cm的圆，根据圆的周长公式$C = 2π r$，代入半径计算：
$C = 2π × 2.5 = 5π\ \mathrm{cm}$
（注：经核查题干对应知识点，参考答案5.5π应为输入笔误，正确结果为5π cm）
【答案】
5π cm
【知识点】
圆的定义，圆的周长计算
【点评】
这道题属于基础题，核心是理解旋转时点的轨迹特征，准确找到轨迹圆的半径，再结合周长公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确点的运动轨迹：线段绕一个端点在平面内旋转一周时，线段上所有点的运动轨迹都是以该旋转端点为圆心的圆。线段中点到旋转端点的距离就是轨迹圆的半径，要求中点经过的路径长，本质就是求这个圆的周长，代入圆的周长公式计算即可。
【解析】
已知线段长为5cm，线段中点M到旋转端点的距离即为轨迹圆的半径：
$r = \frac{1}{2} × 5 = 2.5\ \mathrm{cm}$
中点M经过的路径是半径为2.5cm的圆，根据圆的周长公式$C = 2π r$，代入半径计算：
$C = 2π × 2.5 = 5π\ \mathrm{cm}$
（注：经核查题干对应知识点，参考答案5.5π应为输入笔误，正确结果为5π cm）
【答案】
5π cm
【知识点】
圆的定义，圆的周长计算
【点评】
这道题属于基础题，核心是理解旋转时点的轨迹特征，准确找到轨迹圆的半径，再结合周长公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
6 如图，线段AB的长为3 cm.请按下列要求作图：
（1）到点A的距离等于1 cm的点的集合；
（2）到点B的距离等于2 cm的点的集合；
（3）到点A的距离等于1 cm，且到点B的距离等于2 cm的点.
（1）到点A的距离等于1 cm的点的集合；
（2）到点B的距离等于2 cm的点的集合；
（3）到点A的距离等于1 cm，且到点B的距离等于2 cm的点.
答案
6.（1）如图，⊙A即为所求作 （2）如图，⊙B即为所求作 （3）如图，点P即为所求作
解析
【分析】
解题时结合圆的定义展开思考：①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，其中定点是圆心，定长是半径，因此前两问分别以对应点为圆心、对应长度为半径作圆即可；②同时满足到两个点的距离分别为定值的点，是两个对应圆的公共点，再结合AB的总长度判断两圆的位置，就能确定公共点的数量和位置。
【解析】
（1）根据圆的定义，到定点A的距离等于定长1cm的点的集合，是以点A为圆心、1cm为半径的圆，作出该圆即为⊙A；
（2）同理，到定点B的距离等于定长2cm的点的集合，是以点B为圆心、2cm为半径的圆，作出该圆即为⊙B；
（3）同时满足到A距离为1cm、到B距离为2cm的点是⊙A和⊙B的公共点，已知AB=3cm=1cm+2cm，因此⊙A和⊙B外切，仅有1个公共点，即两圆的切点P，标出该点即可。
【答案】
6.（1）如图，⊙A即为所求作 （2）如图，⊙B即为所求作 （3）如图，点P即为所求作
【知识点】
圆的定义；两圆的位置关系
【点评】
本题是基础作图题，核心考查对圆的集合定义的理解，同时结合两圆外切的特征找公共点，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时结合圆的定义展开思考：①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，其中定点是圆心，定长是半径，因此前两问分别以对应点为圆心、对应长度为半径作圆即可；②同时满足到两个点的距离分别为定值的点，是两个对应圆的公共点，再结合AB的总长度判断两圆的位置，就能确定公共点的数量和位置。
【解析】
（1）根据圆的定义，到定点A的距离等于定长1cm的点的集合，是以点A为圆心、1cm为半径的圆，作出该圆即为⊙A；
（2）同理，到定点B的距离等于定长2cm的点的集合，是以点B为圆心、2cm为半径的圆，作出该圆即为⊙B；
（3）同时满足到A距离为1cm、到B距离为2cm的点是⊙A和⊙B的公共点，已知AB=3cm=1cm+2cm，因此⊙A和⊙B外切，仅有1个公共点，即两圆的切点P，标出该点即可。
【答案】
6.（1）如图，⊙A即为所求作 （2）如图，⊙B即为所求作 （3）如图，点P即为所求作
【知识点】
圆的定义；两圆的位置关系
【点评】
本题是基础作图题，核心考查对圆的集合定义的理解，同时结合两圆外切的特征找公共点，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7 由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（
A.$4π$
B.$9π$
C.$5π$
D.$13π$
C
）A.$4π$
B.$9π$
C.$5π$
D.$13π$
答案
7.C
解析
【分析】
首先回忆圆的定义：平面内到定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形叫做圆，其中O是圆心，r是半径。题目要求的是到O的距离大于等于2且小于等于3的点的集合，距离等于2的点构成半径为2的圆，距离等于3的点构成半径为3的圆，满足距离在2到3之间的点就是这两个圆之间的环形区域（即圆环），求该图形面积只需用半径为3的大圆面积减去半径为2的小圆面积即可。
【解析】
根据圆的定义可知：
1. 到点O距离等于2的点组成半径$ r=2 $的圆，面积为$ S_小=π r^2=π×2^2=4π $；
2. 到点O距离等于3的点组成半径$ R=3 $的圆，面积为$ S_大=π R^2=π×3^2=9π $；
所求图形为两个圆之间的圆环，面积$ S=S_大-S_小=9π-4π=5π $。
【答案】
C
【知识点】
圆的定义；圆环面积计算
【点评】
本题解题核心是结合圆的定义判断出所求图形为同圆心的圆环，再代入面积公式计算即可，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
首先回忆圆的定义：平面内到定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形叫做圆，其中O是圆心，r是半径。题目要求的是到O的距离大于等于2且小于等于3的点的集合，距离等于2的点构成半径为2的圆，距离等于3的点构成半径为3的圆，满足距离在2到3之间的点就是这两个圆之间的环形区域（即圆环），求该图形面积只需用半径为3的大圆面积减去半径为2的小圆面积即可。
【解析】
根据圆的定义可知：
1. 到点O距离等于2的点组成半径$ r=2 $的圆，面积为$ S_小=π r^2=π×2^2=4π $；
2. 到点O距离等于3的点组成半径$ R=3 $的圆，面积为$ S_大=π R^2=π×3^2=9π $；
所求图形为两个圆之间的圆环，面积$ S=S_大-S_小=9π-4π=5π $。
【答案】
C
【知识点】
圆的定义；圆环面积计算
【点评】
本题解题核心是结合圆的定义判断出所求图形为同圆心的圆环，再代入面积公式计算即可，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
8 如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点(且不与点O，A重合)，过点B作OA的垂线，交⊙O于点C。以OB，BC为边作矩形OBCD，连接BD。若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（
A.6
B.5
C.4
D.2
C
）A.6
B.5
C.4
D.2
答案
8.C
解析
【分析】
要求AB的长度，首先明确AB=OA-OB，因此需要先求出圆的半径OA和线段OB的长度。首先利用矩形对边相等的性质得到OB的长度，再结合C在圆上可知OC为半径，通过直角三角形勾股定理计算出OC即OA的长度，最后作差即可得到AB的长。
【解析】
∵四边形OBCD是矩形，
∴OB=CD=6，且∠OBC=90°，
∵点C在⊙O上，
∴OC是⊙O的半径，
在Rt△OBC中，OB=6，BC=8，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$，
∵OA是⊙O的半径，
∴OA=OC=10，
∴AB=OA-OB=10-6=4。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题属于基础综合题，将矩形、直角三角形和圆的基础性质结合考查，解题关键是找到各线段的数量关系，熟练运用基础性质进行推导计算。
【难度系数】
0.7
要求AB的长度，首先明确AB=OA-OB，因此需要先求出圆的半径OA和线段OB的长度。首先利用矩形对边相等的性质得到OB的长度，再结合C在圆上可知OC为半径，通过直角三角形勾股定理计算出OC即OA的长度，最后作差即可得到AB的长。
【解析】
∵四边形OBCD是矩形，
∴OB=CD=6，且∠OBC=90°，
∵点C在⊙O上，
∴OC是⊙O的半径，
在Rt△OBC中，OB=6，BC=8，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$，
∵OA是⊙O的半径，
∴OA=OC=10，
∴AB=OA-OB=10-6=4。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题属于基础综合题，将矩形、直角三角形和圆的基础性质结合考查，解题关键是找到各线段的数量关系，熟练运用基础性质进行推导计算。
【难度系数】
0.7
