登录
1. 如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$是$AC$边上一点，过点$D$作$DE// AB$，交$BC$于点$E$。
(1)求证：$△ CDE$是等边三角形。
(2)连接$BD$，延长$BC$至点$F$，使得$FD = BD$。
求证：$AD = CF$。
(1)求证：$△ CDE$是等边三角形。
(2)连接$BD$，延长$BC$至点$F$，使得$FD = BD$。
求证：$AD = CF$。
答案
1 证明:(1)
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°.
∵ DE//AB,
∴ ∠CDE = ∠A = 60°, ∠DEC = ∠ABC = 60°,
∴ ∠CDE = ∠DEC = ∠DCE = 60°,
∴ △CDE 是等边三角形.
(2)如图,过点 D 作 DM⊥CE 于点 M.
由(1)知△CDE 是等边三角形,
∴ DE = DC,
∴ ME = MC.
又
∵ BD = FD,DM⊥BF,
∴ BM = FM,
∴ BM - EM = FM - CM,即 BE = CF.
∵ CA = CB,CD = CE,
∴ BE = AD,
∴ AD = CF.
解析
【分析】
(1) 要证明△CDE是等边三角形，可从角的判定角度入手：首先利用等边△ABC的性质得到三个内角均为60°，再结合DE//AB的条件，通过平行线的同位角相等得到△CDE的两个内角为60°，即可推出其三个内角都是60°，完成等边三角形的判定。
(2) 要证明AD=CF，可通过等量代换实现：已知条件中存在FD=BD、△CDE是等边三角形两个等腰相关条件，可过D作DM⊥BF，利用等腰三角形三线合一的性质，分别得到BM=FM、EM=CM，两式作差可得BE=CF；再结合等边△ABC和等边△CDE的边长关系，推导得到AD=BE，最终通过等量代换得到AD=CF。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°。
∵ DE//AB，
∴ ∠CDE = ∠A = 60°, ∠DEC = ∠ABC = 60°,
∴ ∠CDE = ∠DEC = ∠DCE = 60°,
∴ △CDE是等边三角形。
(2) 证明：
过点D作DM⊥CE于点M。
由(1)知△CDE是等边三角形，
∴ DE = DC，
∴ ME = MC。
又
∵ BD = FD，DM⊥BF，
∴ BM = FM，
∴ BM - EM = FM - CM，即 BE = CF。
∵ CA = CB，CD = CE，
∴ CA - CD = CB - CE，即 BE = AD，
∴ AD = CF。
【答案】
(1) 证明如下：
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°.
∵ DE//AB,
∴ ∠CDE = ∠A = 60°, ∠DEC = ∠ABC = 60°,
∴ ∠CDE = ∠DEC = ∠DCE = 60°,
∴ △CDE 是等边三角形。
(2) 证明如下：
如图,过点 D 作 DM⊥CE 于点 M。
由(1)知△CDE 是等边三角形,
∴ DE = DC,
∴ ME = MC。
又
∵ BD = FD,DM⊥BF,
∴ BM = FM,
∴ BM - EM = FM - CM,即 BE = CF。
∵ CA = CB,CD = CE,
∴ BE = AD,
∴ AD = CF。
【知识点】
等边三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于特殊三角形性质的基础综合题，重点考察等边三角形、等腰三角形和平行线性质的灵活运用，解题的关键是合理构造辅助线，利用三线合一得到线段相等关系，再通过线段和差的等量代换完成推导，能够有效训练学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△CDE是等边三角形，可从角的判定角度入手：首先利用等边△ABC的性质得到三个内角均为60°，再结合DE//AB的条件，通过平行线的同位角相等得到△CDE的两个内角为60°，即可推出其三个内角都是60°，完成等边三角形的判定。
(2) 要证明AD=CF，可通过等量代换实现：已知条件中存在FD=BD、△CDE是等边三角形两个等腰相关条件，可过D作DM⊥BF，利用等腰三角形三线合一的性质，分别得到BM=FM、EM=CM，两式作差可得BE=CF；再结合等边△ABC和等边△CDE的边长关系，推导得到AD=BE，最终通过等量代换得到AD=CF。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°。
∵ DE//AB，
∴ ∠CDE = ∠A = 60°, ∠DEC = ∠ABC = 60°,
∴ ∠CDE = ∠DEC = ∠DCE = 60°,
∴ △CDE是等边三角形。
(2) 证明：
过点D作DM⊥CE于点M。
由(1)知△CDE是等边三角形，
∴ DE = DC，
∴ ME = MC。
又
∵ BD = FD，DM⊥BF，
∴ BM = FM，
∴ BM - EM = FM - CM，即 BE = CF。
∵ CA = CB，CD = CE，
∴ CA - CD = CB - CE，即 BE = AD，
∴ AD = CF。
【答案】
(1) 证明如下：
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°.
∵ DE//AB,
∴ ∠CDE = ∠A = 60°, ∠DEC = ∠ABC = 60°,
∴ ∠CDE = ∠DEC = ∠DCE = 60°,
∴ △CDE 是等边三角形。
(2) 证明如下：
如图,过点 D 作 DM⊥CE 于点 M。
由(1)知△CDE 是等边三角形,
∴ DE = DC,
∴ ME = MC。
又
∵ BD = FD,DM⊥BF,
∴ BM = FM,
∴ BM - EM = FM - CM,即 BE = CF。
∵ CA = CB,CD = CE,
∴ BE = AD,
∴ AD = CF。
【知识点】
等边三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于特殊三角形性质的基础综合题，重点考察等边三角形、等腰三角形和平行线性质的灵活运用，解题的关键是合理构造辅助线，利用三线合一得到线段相等关系，再通过线段和差的等量代换完成推导，能够有效训练学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
2. ▶一题多解 如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,E,F分别在BD,AD上,且$DE = CD$,$EF = AC$.求证:$EF // AB$.
答案
2 证明:通解 如图1,过点 E 作 AC 的平行线交 AD 的延长线于点 G,则EG//AC,
∴ ∠DEG = ∠DCA.
在△DEG 和△DCA 中,
$\begin{cases} ∠GDE = ∠ADC, \\ ED = CD, \\ ∠DEG = ∠DCA, \end{cases}$
∴ △DEG≌△DCA,
∴ GE = AC,∠G = ∠CAD.
∵ EF = AC,
∴ EG = EF,
∴ ∠G = ∠EFD.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠BAD = ∠CAD,
∴ ∠EFD = ∠BAD,
∴ EF//AB.
另解 如图2,延长 AD 至点 M,使 DM = DF,连接 CM,
∵ DC = DE,∠CDM = ∠EDF,
∴ △CMD≌△EFD,
∴ ∠M = ∠EFD,EF = CM.
∵ AC = EF,
∴ CM = AC,
∴ ∠M = ∠CAD.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠BAD = ∠CAD,
∴ ∠BAD = ∠EFD,
∴ EF//AB.
解析
【分析】
要证明$EF// AB$，根据平行线的判定定理，只需证明内错角$∠ EFD=∠ BAD$即可。已知$AD$平分$∠ BAC$，可得$∠ BAD=∠ CAD$，因此问题转化为证明$∠ EFD=∠ CAD$。题目给出$DE=CD$、$EF=AC$的等线段条件，可通过构造全等三角形建立边角联系：方法一通过作$EG// AC$构造全等$△ DEG$和$△ DCA$，得到对应边、对应角相等，结合$EF=AC$的条件推导角相等；方法二通过延长$AD$构造全等$△ CMD$和$△ EFD$，同样实现边角转化，最终推导出$∠ EFD=∠ BAD$即可得证平行。
【解析】
通解：
如图1，过点$E$作$AC$的平行线交$AD$的延长线于点$G$，则$EG// AC$，
$\therefore ∠ DEG = ∠ DCA$。
在$△ DEG$和$△ DCA$中，
$\begin{cases} ∠ GDE = ∠ ADC, \\ ED = CD, \\ ∠ DEG = ∠ DCA, \end{cases}$
$\therefore △ DEG≌△ DCA$（ASA），
$\therefore GE = AC$，$∠ G = ∠ CAD$。
$\because EF = AC$，
$\therefore EG = EF$，
$\therefore ∠ G = ∠ EFD$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$，
$\therefore ∠ EFD = ∠ BAD$，
$\therefore EF// AB$（内错角相等，两直线平行）。
另解：
如图2，延长$AD$至点$M$，使$DM = DF$，连接$CM$，
$\because DC = DE$，$∠ CDM = ∠ EDF$，
$\therefore △ CMD≌△ EFD$（SAS），
$\therefore ∠ M = ∠ EFD$，$EF = CM$。
$\because AC = EF$，
$\therefore CM = AC$，
$\therefore ∠ M = ∠ CAD$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ EFD$，
$\therefore EF// AB$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
通解 如图1,过点 E 作 AC 的平行线交 AD 的延长线于点 G,则EG//AC,
∴ ∠DEG = ∠DCA。
在△DEG 和△DCA 中,
$\begin{cases} ∠GDE = ∠ADC, \\ ED = CD, \\ ∠DEG = ∠DCA, \end{cases}$
∴ △DEG≌△DCA,
∴ GE = AC,∠G = ∠CAD.
∵ EF = AC,
∴ EG = EF,
∴ ∠G = ∠EFD.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠BAD = ∠CAD,
∴ ∠EFD = ∠BAD,
∴ EF//AB.
另解 如图2,延长 AD 至点 M,使 DM = DF,连接 CM,
∵ DC = DE,∠CDM = ∠EDF,
∴ △CMD≌△EFD,
∴ ∠M = ∠EFD,EF = CM.
∵ AC = EF,
∴ CM = AC,
∴ ∠M = ∠CAD.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠BAD = ∠CAD,
∴ ∠BAD = ∠EFD,
∴ EF//AB.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题是构造全等三角形实现边角转化的典型习题，两种解法分别通过作平行线、延长线段构造全等，将已知的等线段条件转化为角相等的关系，最终结合平行线判定定理得证，解题的核心是根据已知等线段的特征构造合适的全等三角形。
【难度系数】
0.6
要证明$EF// AB$，根据平行线的判定定理，只需证明内错角$∠ EFD=∠ BAD$即可。已知$AD$平分$∠ BAC$，可得$∠ BAD=∠ CAD$，因此问题转化为证明$∠ EFD=∠ CAD$。题目给出$DE=CD$、$EF=AC$的等线段条件，可通过构造全等三角形建立边角联系：方法一通过作$EG// AC$构造全等$△ DEG$和$△ DCA$，得到对应边、对应角相等，结合$EF=AC$的条件推导角相等；方法二通过延长$AD$构造全等$△ CMD$和$△ EFD$，同样实现边角转化，最终推导出$∠ EFD=∠ BAD$即可得证平行。
【解析】
通解：
如图1，过点$E$作$AC$的平行线交$AD$的延长线于点$G$，则$EG// AC$，
$\therefore ∠ DEG = ∠ DCA$。
在$△ DEG$和$△ DCA$中，
$\begin{cases} ∠ GDE = ∠ ADC, \\ ED = CD, \\ ∠ DEG = ∠ DCA, \end{cases}$
$\therefore △ DEG≌△ DCA$（ASA），
$\therefore GE = AC$，$∠ G = ∠ CAD$。
$\because EF = AC$，
$\therefore EG = EF$，
$\therefore ∠ G = ∠ EFD$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$，
$\therefore ∠ EFD = ∠ BAD$，
$\therefore EF// AB$（内错角相等，两直线平行）。
另解：
如图2，延长$AD$至点$M$，使$DM = DF$，连接$CM$，
$\because DC = DE$，$∠ CDM = ∠ EDF$，
$\therefore △ CMD≌△ EFD$（SAS），
$\therefore ∠ M = ∠ EFD$，$EF = CM$。
$\because AC = EF$，
$\therefore CM = AC$，
$\therefore ∠ M = ∠ CAD$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ EFD$，
$\therefore EF// AB$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
通解 如图1,过点 E 作 AC 的平行线交 AD 的延长线于点 G,则EG//AC,
∴ ∠DEG = ∠DCA。
在△DEG 和△DCA 中,
$\begin{cases} ∠GDE = ∠ADC, \\ ED = CD, \\ ∠DEG = ∠DCA, \end{cases}$
∴ △DEG≌△DCA,
∴ GE = AC,∠G = ∠CAD.
∵ EF = AC,
∴ EG = EF,
∴ ∠G = ∠EFD.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠BAD = ∠CAD,
∴ ∠EFD = ∠BAD,
∴ EF//AB.
另解 如图2,延长 AD 至点 M,使 DM = DF,连接 CM,
∵ DC = DE,∠CDM = ∠EDF,
∴ △CMD≌△EFD,
∴ ∠M = ∠EFD,EF = CM.
∵ AC = EF,
∴ CM = AC,
∴ ∠M = ∠CAD.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠BAD = ∠CAD,
∴ ∠BAD = ∠EFD,
∴ EF//AB.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题是构造全等三角形实现边角转化的典型习题，两种解法分别通过作平行线、延长线段构造全等，将已知的等线段条件转化为角相等的关系，最终结合平行线判定定理得证，解题的核心是根据已知等线段的特征构造合适的全等三角形。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AB = AC$, $∠ BAC = 90°$, $BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线,$BD$ 的延长线垂直于过点 $C$ 的直线于点 $E$. 求证:$BD = 2CE$.
答案
3 证明:如图,延长 BA,CE 交于点 F.
∵ BD 平分∠ABC,BE⊥CF,
∴ BF = BC,
∴ CE = EF,
∴ CF = 2CE.
∵ ∠BAC = 90°,且 AB = AC,
∴ ∠FAC = ∠BAC = 90°,∠ABC = ∠ACB = 45°,
∴ ∠FBE = ∠CBE = 22.5°,
∴ ∠F = ∠ADB = 67.5°.
在△ABD 和△ACF 中,
$\begin{cases} ∠ADB = ∠F, \\ ∠DAB = ∠FAC, \\ AB = AC, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACF,
∴ BD = CF,
∴ BD = 2CE.
解析
【分析】
要证明BD=2CE，属于线段倍分关系的证明，通常可以通过构造二倍的短线段，再证明其与长线段相等求解。观察已知条件：BD是∠ABC的平分线，且BE⊥CE，符合等腰三角形“三线合一”的特征，因此可先延长BA、CE交于点F，构造等腰△BCF，得到CF=2CE，接下来只需证明BD=CF即可。观察BD、CF分别在△ABD和△ACF中，结合已知AB=AC、两个三角形均为直角三角形的条件，可证明两三角形全等，即可完成线段的转化。
【解析】
证明：如图，延长BA，CE交于点F。
∵ BD平分∠ABC，BE⊥CF，
∴ BF=BC，
∴ CE=EF，即CF=2CE。
∵ ∠BAC=90°，且AB=AC，
∴ ∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴ ∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴ ∠F=∠ADB=67.5°。
在△ABD和△ACF中，
$\begin{cases} ∠ADB = ∠F, \\ ∠DAB = ∠FAC, \\ AB = AC, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACF（AAS），
∴ BD=CF，
∴ BD=2CE。
【答案】
证明:如图,延长 BA,CE 交于点 F.
∵ BD 平分∠ABC,BE⊥CF,
∴ BF = BC,
∴ CE = EF,
∴ CF = 2CE.
∵ ∠BAC = 90°,且 AB = AC,
∴ ∠FAC = ∠BAC = 90°,∠ABC = ∠ACB = 45°,
∴ ∠FBE = ∠CBE = 22.5°,
∴ ∠F = ∠ADB = 67.5°.
在△ABD 和△ACF 中,
$\begin{cases} ∠ADB = ∠F, \\ ∠DAB = ∠FAC, \\ AB = AC, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACF,
∴ BD = CF,
∴ BD = 2CE.
【知识点】
等腰三角形三线合一，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是线段倍分关系证明的典型题，解题的核心是利用“角平分线+垂线”的特征构造等腰三角形得到二倍线段，再通过全等三角形转化对应线段，这类辅助线的构造方法是几何证明中常用的技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要证明BD=2CE，属于线段倍分关系的证明，通常可以通过构造二倍的短线段，再证明其与长线段相等求解。观察已知条件：BD是∠ABC的平分线，且BE⊥CE，符合等腰三角形“三线合一”的特征，因此可先延长BA、CE交于点F，构造等腰△BCF，得到CF=2CE，接下来只需证明BD=CF即可。观察BD、CF分别在△ABD和△ACF中，结合已知AB=AC、两个三角形均为直角三角形的条件，可证明两三角形全等，即可完成线段的转化。
【解析】
证明：如图，延长BA，CE交于点F。
∵ BD平分∠ABC，BE⊥CF，
∴ BF=BC，
∴ CE=EF，即CF=2CE。
∵ ∠BAC=90°，且AB=AC，
∴ ∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴ ∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴ ∠F=∠ADB=67.5°。
在△ABD和△ACF中，
$\begin{cases} ∠ADB = ∠F, \\ ∠DAB = ∠FAC, \\ AB = AC, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACF（AAS），
∴ BD=CF，
∴ BD=2CE。
【答案】
证明:如图,延长 BA,CE 交于点 F.
∵ BD 平分∠ABC,BE⊥CF,
∴ BF = BC,
∴ CE = EF,
∴ CF = 2CE.
∵ ∠BAC = 90°,且 AB = AC,
∴ ∠FAC = ∠BAC = 90°,∠ABC = ∠ACB = 45°,
∴ ∠FBE = ∠CBE = 22.5°,
∴ ∠F = ∠ADB = 67.5°.
在△ABD 和△ACF 中,
$\begin{cases} ∠ADB = ∠F, \\ ∠DAB = ∠FAC, \\ AB = AC, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACF,
∴ BD = CF,
∴ BD = 2CE.
【知识点】
等腰三角形三线合一，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是线段倍分关系证明的典型题，解题的核心是利用“角平分线+垂线”的特征构造等腰三角形得到二倍线段，再通过全等三角形转化对应线段，这类辅助线的构造方法是几何证明中常用的技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
