11. 下列说法错误的是（）

A.$y=5x-1$中，$y+1$与$x$成正比
B.$y=6x^2$中，$y$与$x^2$成正比
C.$y=-\dfrac{4}{x}$中，$y$与$\dfrac{1}{x}$成正比
D.$y=-\dfrac{1}{2}|x|$中，$y$与$x$成正比

$y = -\dfrac{1}{2}|x|$中,$y$与$|x|$成正比,故D选项错误.

【分析】
要判断各说法是否正确，首先明确正比例关系的定义：若两个变量A、B满足$A=kB$（k为不等于0的常数），则A与B成正比例。我们只需将每个选项的表达式变形，对照定义逐一验证，找出不符合定义的选项即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 由$y=5x-1$移项可得$y+1=5x$，其中$k=5$为非零常数，符合正比例关系定义，因此$y+1$与$x$成正比，A说法正确，不符合题意。
B. $y=6x^2$中，$k=6$为非零常数，变量为$y$和$x^2$，符合正比例关系定义，因此$y$与$x^2$成正比，B说法正确，不符合题意。
C. 将$y=-\dfrac{4}{x}$变形可得$y=-4·\dfrac{1}{x}$，其中$k=-4$为非零常数，变量为$y$和$\dfrac{1}{x}$，符合正比例关系定义，因此$y$与$\dfrac{1}{x}$成正比，C说法正确，不符合题意。
D. $y=-\dfrac{1}{2}|x|$中，仅满足$y$与$|x|$成正比例，$y$与$x$不满足$y=kx$的正比例关系，例如$x=1$和$x=-1$时，$y$值相等，并未随$x$成比例变化，因此D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正比例关系判定，绝对值的性质
【点评】
本题重点考查对正比例关系的理解，解题时要注意找准成比例的对应变量，不要被表达式的形式误导，逐一验证即可快速得出结论。
【难度系数】
0.75

12. 规定:$[k,b]$是一次函数$y=kx+b(k,b$为实数,$k≠0)$的“特征数”.若“特征数”是$[4, m-4]$的一次函数是正比例函数,则点$(2+m,2-m)$所在的象限是 ()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

由题意,得$y = 4x + (m - 4)$是正比例函数,$\therefore m - 4 = 0$,$\therefore m = 4$,$\therefore 2 + m = 6$,$2 - m = -2$,$\therefore$点$(2 + m,2 - m)$在第四象限.

【分析】
解题时首先理解新定义“特征数”的含义：[k,b]对应一次函数y=kx+b的系数k和常数项b，据此先写出对应一次函数的表达式；再结合正比例函数的定义（正比例函数的常数项为0），列出关于m的方程求出m的值；最后将m代入点的坐标，求出横、纵坐标的具体数值，根据各象限内点的坐标符号特征判断点所在的象限即可。
【解析】
根据“特征数”的定义，可得“特征数”是$[4, m-4]$的一次函数为$y = 4x + (m - 4)$。
因为该一次函数是正比例函数，正比例函数的常数项为0，所以$m - 4 = 0$，解得$m = 4$。
将$m=4$代入点$(2+m,2-m)$，可得横坐标为$2 + 4 = 6$，纵坐标为$2 - 4 = -2$，即该点坐标为$(6,-2)$。
根据象限的坐标特征：横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限，因此该点在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 新定义理解
3. 点的坐标与象限判定
【点评】
本题结合新定义的形式考查基础知识点，难度不大，解题的关键是准确理解新定义的含义，牢记正比例函数的特征以及不同象限内点的坐标符号特点。
【难度系数】
0.8

13. 已知$y$与$x+2$成正比，$z$与$y-1$也成正比.
(1)$z$是$x$的一次函数吗？请说明理由.
(2)在什么条件下，$z$是$x$的正比例函数？

由题意,可设$y = k(x + 2)(k ≠ 0)$,$z = m(y - 1)(m ≠ 0)$,
$\therefore z = m[k(x + 2) - 1]$,
化简整理,得$z = mkx + m(2k - 1)$.
(1)$z$是$x$的一次函数.理由如下:
$\because k ≠ 0$,$m ≠ 0$,$\therefore mk ≠ 0$,$\therefore z$是$x$的一次函数.
(2)当$m(2k - 1) = 0$时,$z$是$x$的正比例函数.
$\because m ≠ 0$,$\therefore 2k - 1 = 0$,解得$k = \dfrac{1}{2}$.
综上,当$y$与$x+2$成正比例关系的系数为$\dfrac{1}{2}$时,$z$是$x$的正比例函数.

【分析】
解决本题首先要明确“两个量成正比”的含义，即可表示为形如$A=kB$（$k≠0$，$k$为常数）的形式。第(1)问先根据两组成正比的关系分别设出对应函数关系式，将$y$的表达式代入$z$的表达式中化简，再结合一次函数的定义判断即可；第(2)问根据正比例函数“常数项为0、一次项系数不为0”的特征，令化简后$z$的表达式的常数项为0，结合比例系数不为0的隐含条件求解即可。
【解析】
解：由题意，设$y = k(x + 2)$（$k≠0$，$k$为常数），$z = m(y - 1)$（$m≠0$，$m$为常数），
$\therefore z = m[k(x + 2) - 1]$，
化简整理得$z = mkx + m(2k - 1)$。
(1)$z$是$x$的一次函数，理由如下：
$\because k≠0$，$m≠0$，$\therefore mk≠0$，符合一次函数的定义，因此$z$是$x$的一次函数。
(2)若$z$是$x$的正比例函数，则常数项为0，且一次项系数不为0，
$\because mk≠0$，$\therefore$只需满足$m(2k - 1) = 0$，
又$\because m≠0$，$\therefore 2k - 1 = 0$，解得$k = \dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $z$是$x$的一次函数，理由见解析；
(2) 当$y$与$x+2$成正比例关系的系数为$\dfrac{1}{2}$时，$z$是$x$的正比例函数。
【知识点】
正比例函数定义、一次函数定义、等量代换
【点评】
本题考查正比例函数与一次函数的概念辨析，解题关键是根据“成正比”的关系正确设出函数解析式，通过代换得到$z$关于$x$的表达式后结合两类函数的定义求解，解题时要注意两类函数的比例系数均不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8

14. 为了增强居民节约用水的意识,某市制定了新的水费标准:每户每月用水量不超过5吨的部分,自来水公司按每吨2元收费;超过5吨的部分,自来水公司按每吨2.6元收费.设某用户月用水量为x吨,自来水公司应收的水费为y元.
(1)求y(元)与x(吨)之间的函数表达式;
(2)若该用户5月份的用水量为8吨,则自来水公司应收水费多少元?
(3)若该用户6月份缴纳水费36元,则该用户6月份用水多少吨?

(1)当$0 ＜ x ≤ 5$时,$y = 2x$.
当$x ＞ 5$时,$y = 2 × 5 + 2.6 × (x - 5) = 2.6x - 3$.
综上,$y$(元)与$x$(吨)之间的函数表达式为
$y=\begin{cases}2x(0 ＜ x ≤ 5),\\2.6x - 3(x ＞ 5).\end{cases}$
(2)当$x = 8$时,$y = 2.6 × 8 - 3 = 17.8$,故该用户5月份的用水量为8吨时,自来水公司应收水费17.8元.
(3)由题意知,该用户6月份的用水量超过了5吨.
当$y = 36$时,$2.6x - 3 = 36$,解得$x = 15$,故该用户6月份用水15吨.

【分析】
本题属于分段计费类的一次函数实际应用题，解题需按收费标准分情况思考：
1. 求函数表达式时，分两种情况讨论：①当用水量不超过5吨时，水费按每吨2元直接计算即可得到对应函数式；②当用水量超过5吨时，水费由两部分组成：5吨以内的固定费用和超出5吨部分的费用，两部分相加化简即可得到该区间的函数式，最终写成分段函数形式。
2. 计算8吨用水量的水费时，先判断8吨属于x＞5的区间，代入对应函数式计算即可。
3. 已知水费36元求用水量时，先计算5吨用水量的最高水费为10元，对比可知36元对应的用水量超过5吨，代入x＞5对应的函数式解方程即可求出用水量。
【解析】
(1)根据收费标准分情况讨论：
当$0 ＜ x ≤ 5$时，每吨水收费2元，因此$y = 2x$；
当$x ＞ 5$时，前5吨水费为$2 × 5 = 10$元，超出5吨的部分为$(x-5)$吨，这部分水费为$2.6(x-5)$元，因此总水费$y = 2 × 5 + 2.6 × (x - 5)$，化简得$y = 2.6x - 3$。
综上，$y$与$x$之间的函数表达式为：
$y=\begin{cases}2x(0 ＜ x ≤ 5)\\2.6x - 3(x ＞ 5)\end{cases}$
(2)由于$8 ＞ 5$，将$x = 8$代入$y = 2.6x - 3$得：
$y = 2.6 × 8 - 3 = 20.8 - 3 = 17.8$（元）
(3)当用水量为5吨时，水费为$2 × 5 = 10$元，由于$36 ＞ 10$，可知6月份用水量超过5吨，将$y = 36$代入$y = 2.6x - 3$得：
$2.6x - 3 = 36$
移项得$2.6x = 39$，解得$x = 15$（吨）
【答案】
(1)$y=\begin{cases}2x(0 ＜ x ≤ 5)\\2.6x - 3(x ＞ 5)\end{cases}$
(2)17.8元
(3)15吨
【知识点】
分段函数、一次函数的实际应用、一元一次方程求解
【点评】
本题是贴近生活的分段计费类题型，解题关键是根据收费标准正确划分区间得到分段函数，代入计算前先判断对应量所属的区间，避免代错解析式，较好地考查了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7

15. 几何直观 如图，$△ ABC$是边长为$x$的等边三角形.
(1)求$BC$边上的高$h$与$x$之间的函数关系式，$h$是$x$的一次函数吗？如果是一次函数，请指出相应的$k$与$b$的值.
(2)当$h=\sqrt{3}$时，$x$的值为.
(3)求$△ ABC$的面积$S$与$x$之间的函数关系式，$S$是$x$的一次函数吗？

(1)如图,过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$.
$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ BAD = \dfrac{1}{2}∠ BAC = 30°$,$BD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}x$,
$\therefore h = AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x$,
$\therefore h$是$x$的一次函数,且$k = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$b = 0$.
(2)2
当$h = \sqrt{3}$时,$\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x$,解得$x = 2$.
(3)由题意,得$S = \dfrac{1}{2}BC · AD = \dfrac{1}{2} × x × \dfrac{\sqrt{3}}{2}x = \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$.
$\because$自变量$x$的次数是2,不是1,
$\therefore S$不是$x$的一次函数.

【分析】
解题可按三步展开：1. 解决第一问时，先利用等边三角形“三线合一”的性质，作BC边上的高AD后可得到BD为BC的一半，再通过勾股定理推导高h的表达式，随后对照一次函数的定义判断函数类型，确定k、b的值；2. 第二问直接将h=√3代入第一问得到的函数关系式，解一元一次方程即可求出x；3. 第三问利用三角形面积公式，将底和高的表达式代入得到S与x的关系式，再根据一次函数的定义判断是否为一次函数。
【解析】
(1) 过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，
$\because △ ABC$是边长为$x$的等边三角形，
$\therefore BD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}x$，$AB=x$，
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：
$h = AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{x^2 - (\dfrac{1}{2}x)^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x \ (x＞0)$
根据一次函数定义，形如$y=kx+b$（$k≠0$，$k$、$b$为常数）的函数为一次函数，该式符合一次函数形式，其中$k=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$b=0$，因此$h$是$x$的一次函数。
(2) 将$h=\sqrt{3}$代入$h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$，得：
$\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x$
解得$x=2$。
(3) 由三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×底×高$，底$BC=x$，高$h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$，代入得：
$S = \dfrac{1}{2} × x × \dfrac{\sqrt{3}}{2}x = \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2 \ (x＞0)$
一次函数要求自变量的最高次数为1，该式中$x$的次数为2，因此$S$不是$x$的一次函数。
【答案】
(1) $h$与$x$的函数关系式为$h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x(x＞0)$，$h$是$x$的一次函数，$k = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$b = 0$；
(2) $\boxed{2}$
(3) $S$与$x$的函数关系式为$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2(x＞0)$，$S$不是$x$的一次函数。
【知识点】
等边三角形的性质，一次函数的概念，勾股定理
【点评】
本题为几何与函数结合的基础题，核心考查等边三角形的性质、一次函数的判定，同时涉及勾股定理、三角形面积计算的应用，解题时要注意一次函数自变量最高次数为1的核心特征。
【难度系数】
0.7