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13. 新考法 作差法 若 $A = x^2 + 2x - 6y$，$B = -y^2 + 4x - 10$，则 $A,B$ 的大小关系为（
A.$A ＞ B$
B.$A ＜ B$
C.$A ≥ B$
D.$A ≤ B$
C
）A.$A ＞ B$
B.$A ＜ B$
C.$A ≥ B$
D.$A ≤ B$
答案
13.C
14. 若实数$a,b,c$满足$a^2 - 4a - b = 0, 2a^2 + b^2 - 8a + 2b = 2 - c$,则$c$的最大值为
6
.答案
14.6 【点拨】$\because a^2 -4a -b=0$,$\therefore a^2 -4a=b$.$\because 2a^2 + b^2 -8a + 2b=2 - c$,$\therefore 2(a^2 -4a) + b^2 + 2b=2 - c$.$\therefore b^2 +4b=2 - c$.$\therefore (b+2)^2=6 - c$.$\because (b+2)^2≥0$,且当$b=-2$时等号成立,$\therefore 6 - c≥0$.$\therefore c≤6$.$\therefore c$的最大值为6.
15. ★★ 新视角新定义题 对于两个不同的实数a,b,用max(a,b)表示其中较大的数,则方程x·max(x,-x)=2x+1的解是
$-1,1+\sqrt{2}$
.答案
15.$-1,1+\sqrt{2}$ 【点拨】由题意得,当$x＞0$时,$\max(x,-x)=x$,故方程为 $x^2=2x+1$,$\therefore x^2 - 2x +1=2$.$\therefore (x-1)^2=2$.$\therefore x-1=\pm\sqrt{2}$.$\therefore x=1\pm\sqrt{2}$.又$\because x＞0$,$\therefore x=1+\sqrt{2}$;当$x＜0$时,$\max(x,-x)=-x$,故方程为 $-x^2=2x+1$,$\therefore x^2 + 2x +1=0$.$\therefore (x+1)^2=0$.$\therefore x_1=x_2=-1$.综上,方程 $x·\max(x,-x)=2x+1$ 的解是$-1,1+\sqrt{2}$.
16. 初高衔接 阅读并回答问题:小亮是一名刻苦学习的学生.一天他在解方程$x^2=-1$时,突发奇想:$x^2=-1$在实数范围内无解,如果存在一个数i,使$i^2=-1$,那么当$x^2=-1$时,有$x=\pm i$,从而$x=\pm i$是方程$x^2=-1$的两个根.据此可知:
(1)i可以运算,例如:$i^3=i^2· i=(-1)× i=-i$,则$i^4=$
(2)方程$x^2-6x+10=0$的两根为
(根用含i的式子表示)
(1)i可以运算,例如:$i^3=i^2· i=(-1)× i=-i$,则$i^4=$
1
;(2)方程$x^2-6x+10=0$的两根为
$x_1=3+\mathrm{i},x_2=3-\mathrm{i}$
.(根用含i的式子表示)
答案
16.(1)1 (2)$x_1=3+\mathrm{i},x_2=3-\mathrm{i}$ 【点拨】(1)$\mathrm{i}^4=\mathrm{i}^2· \mathrm{i}^2=(-1)×(-1)=1$.(2)$\because x^2 -6x +10=0$,$\therefore x^2 -6x=-10$.$\therefore x^2 -6x +9=-10 +9$.$\therefore (x-3)^2=-1$.$\therefore x-3=\pm\mathrm{i}$.$\therefore x_1=3+\mathrm{i},x_2=3-\mathrm{i}$.
17. 已知关于$x$的一元二次方程$(a-3)x^2 -8x +a^2 -1=0$.
(1)若方程有一个根为0,求实数$a$的值;
(2)当$a=4$时,等腰三角形$ABC$的底边长和腰长分别是一元二次方程$(a-3)x^2 -8x +a^2 -1=0$的两个根,请求出等腰三角形$ABC$的周长.
(1)若方程有一个根为0,求实数$a$的值;
(2)当$a=4$时,等腰三角形$ABC$的底边长和腰长分别是一元二次方程$(a-3)x^2 -8x +a^2 -1=0$的两个根,请求出等腰三角形$ABC$的周长.
答案
17.【解】(1)$\because$方程有一个根为0,$\therefore$把 $x=0$ 代入方程,得$a^2 -1=0$.$\therefore a=1$ 或 $a=-1$.
(2)当$a=4$时,方程为 $x^2 -8x +15=0$.
配方,得$(x-4)^2=-15 +16$.
直接开平方,得 $x-4=-1$ 或 $x-4=1$.$\therefore x_1=3,x_2=5$.
当等腰三角形$ABC$的底边长为3时,该三角形的三边长为3,5,5,其周长为13;
当等腰三角形$ABC$的底边长为5时,该三角形的三边长为5,3,3,其周长为11.
综上所述,等腰三角形$ABC$的周长为13或11.
(2)当$a=4$时,方程为 $x^2 -8x +15=0$.
配方,得$(x-4)^2=-15 +16$.
直接开平方,得 $x-4=-1$ 或 $x-4=1$.$\therefore x_1=3,x_2=5$.
当等腰三角形$ABC$的底边长为3时,该三角形的三边长为3,5,5,其周长为13;
当等腰三角形$ABC$的底边长为5时,该三角形的三边长为5,3,3,其周长为11.
综上所述,等腰三角形$ABC$的周长为13或11.
18. 【提出问题】在上次周测应用题中，出现了一个方程，很多同学解不出来$(50-x)(40-2x)=702$.
【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程.
如:解方程:$x(x+4)=6$.
解:原方程可变形,得$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$，
$(x+2)^2 -2^2=6,(x+2)^2=6+2^2,(x+2)^2=10$.
直接开平方并整理,得$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$.我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是用“平均数法”解方程$(x+2)(x+6)=5$时写的解题过程.
解:原方程可变形,得
$[(x+□)-○][(x+□)+○]=5$，
$(x+□)^2 -○^2=5,(x+□)^2=5+○^2$.
直接开平方并整理,得$x_1=☆,x_2=⊗$.
上述过程中的“□”,“○”,“☆”,“⊗”表示的数分别为
(2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程:$(x+3)·(x-1)=5$.
(3)【问题解决】请用“平均数法”解方程:
$(50-x)(40-2x)=702$.
【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程.
如:解方程:$x(x+4)=6$.
解:原方程可变形,得$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$，
$(x+2)^2 -2^2=6,(x+2)^2=6+2^2,(x+2)^2=10$.
直接开平方并整理,得$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$.我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是用“平均数法”解方程$(x+2)(x+6)=5$时写的解题过程.
解:原方程可变形,得
$[(x+□)-○][(x+□)+○]=5$，
$(x+□)^2 -○^2=5,(x+□)^2=5+○^2$.
直接开平方并整理,得$x_1=☆,x_2=⊗$.
上述过程中的“□”,“○”,“☆”,“⊗”表示的数分别为
4
,2
,-1
,-7
.(2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程:$(x+3)·(x-1)=5$.
(3)【问题解决】请用“平均数法”解方程:
$(50-x)(40-2x)=702$.
答案
18.【解】(1)4;2;-1;-7(最后两空可互换)
(2)$\because (x+3)(x-1)=5$,
$\therefore [(x+1)+2][(x+1)-2]=5$.
$\therefore (x+1)^2 -4=5$.$\therefore (x+1)^2=9$.
$\therefore x+1=3$ 或 $x+1=-3$,
解得 $x_1=2,x_2=-4$.
(3)$(50-x)(40-2x)=702$,
$\therefore (x-50)(x-20)=351$.
$\therefore [(x-35)-15][(x-35)+15]=351$.
$\therefore (x-35)^2 -15^2=351$.$\therefore (x-35)^2=576$.
$\therefore x-35=24$ 或 $x-35=-24$,
解得 $x_1=59,x_2=11$.
(2)$\because (x+3)(x-1)=5$,
$\therefore [(x+1)+2][(x+1)-2]=5$.
$\therefore (x+1)^2 -4=5$.$\therefore (x+1)^2=9$.
$\therefore x+1=3$ 或 $x+1=-3$,
解得 $x_1=2,x_2=-4$.
(3)$(50-x)(40-2x)=702$,
$\therefore (x-50)(x-20)=351$.
$\therefore [(x-35)-15][(x-35)+15]=351$.
$\therefore (x-35)^2 -15^2=351$.$\therefore (x-35)^2=576$.
$\therefore x-35=24$ 或 $x-35=-24$,
解得 $x_1=59,x_2=11$.
