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7. 先观察，再验证。（如图所示）
(1)图①中的实线是直的还是弯曲的？
(2)图②中的直线AB与直线CD平行吗？
(1)图①中的实线是直的还是弯曲的？
(2)图②中的直线AB与直线CD平行吗？
答案
7.解:观察可能得出的结论:(1)图①中实线是直的。
(2)直线 AB 与直线 CD 平行。
验证略
(2)直线 AB 与直线 CD 平行。
验证略
解析
【分析】
这道题需要我们先依靠直观观察给出初步判断，再通过严谨的操作验证结论，核心是体会直观观察的局限性。对于第(1)问，受背景同心圆虚线的干扰，直观可能误判实线是弯曲的，我们可以借助直尺比对的方法验证；对于第(2)问，受线段两端短斜线的干扰，直观可能误判两条直线不平行，我们可以用已学的平行线判定方法验证。
【解析】
(1) 初步观察时，周围的同心虚线会产生视觉误导，容易认为实线是弯曲的。验证方法：将直尺的边缘与图①的实线对齐，可观察到实线与直尺边缘完全重合，因此实线是直的。
(2) 初步观察时，AB、CD两端的短斜线会产生视觉误导，容易认为两条直线不平行。验证方法：使用平移三角板的方法验证，将三角板的一条直角边与CD重合，另一条直角边紧靠直尺，沿直尺向上平移三角板，发现原本与CD重合的直角边可以与AB完全重合，因此直线AB与CD平行。（验证方法不唯一，合理即可）
【答案】
(1) 图①中的实线是直的；
(2) 直线AB与直线CD平行。
【知识点】
视觉错觉；平行线的判定；证明的必要性
【点评】
本题通过典型的视觉错觉案例，让我们感知到仅凭直观观察得到的结论不一定可靠，只有通过科学、严谨的验证才能得到正确结论，有助于培养严谨的数学探究习惯。
【难度系数】
0.9
这道题需要我们先依靠直观观察给出初步判断，再通过严谨的操作验证结论，核心是体会直观观察的局限性。对于第(1)问，受背景同心圆虚线的干扰，直观可能误判实线是弯曲的，我们可以借助直尺比对的方法验证；对于第(2)问，受线段两端短斜线的干扰，直观可能误判两条直线不平行，我们可以用已学的平行线判定方法验证。
【解析】
(1) 初步观察时，周围的同心虚线会产生视觉误导，容易认为实线是弯曲的。验证方法：将直尺的边缘与图①的实线对齐，可观察到实线与直尺边缘完全重合，因此实线是直的。
(2) 初步观察时，AB、CD两端的短斜线会产生视觉误导，容易认为两条直线不平行。验证方法：使用平移三角板的方法验证，将三角板的一条直角边与CD重合，另一条直角边紧靠直尺，沿直尺向上平移三角板，发现原本与CD重合的直角边可以与AB完全重合，因此直线AB与CD平行。（验证方法不唯一，合理即可）
【答案】
(1) 图①中的实线是直的；
(2) 直线AB与直线CD平行。
【知识点】
视觉错觉；平行线的判定；证明的必要性
【点评】
本题通过典型的视觉错觉案例，让我们感知到仅凭直观观察得到的结论不一定可靠，只有通过科学、严谨的验证才能得到正确结论，有助于培养严谨的数学探究习惯。
【难度系数】
0.9
8. 老李到办公室后，他总要完成以下事情：烧开水10 min，洗茶杯1 min，准备茶叶和冲茶1 min，打扫办公室9 min，收听新闻10 min，则老李做好以上事情至少需要（
A.31 min
B.11 min
C.20 min
D.10 min
B
）。A.31 min
B.11 min
C.20 min
D.10 min
答案
8.B
解析
【分析】
这是一道统筹优化类的题目，解题核心是找出可以同时进行的任务，最大化利用时间，减少总耗时。首先梳理各任务的先后限制：只有烧开水完成后才能进行冲茶操作，其余任务无明显先后限制、且可以和耗时较长的烧开水、收听新闻并行开展。我们可以先安排烧开水，在等待水开的10分钟内同步做其他不需要用到开水的任务，最后再完成冲茶步骤即可。
【解析】
我们可以对任务做如下并行安排：
1. 先启动烧开水，耗时10min。在等待水开的这10min内，同时做三件事：①收听新闻（共10min，和烧水时长刚好一致）；②打扫办公室9min；③洗茶杯1min。打扫和洗茶杯总耗时9+1=10min，刚好和烧水、听新闻的时长匹配，这一步10min就能完成4项任务。
2. 水烧开后，再完成准备茶叶和冲茶，耗时1min，该步骤必须在水开后完成，无法并行。
总耗时=10+1=11min。
【答案】
B
【知识点】
统筹优化；时间规划
【点评】
这道题结合生活实际考查统筹规划能力，解题的关键是明确任务的先后限制，找到可以同时开展的并行任务来压缩总时长，难度不高，实用性较强。
【难度系数】
0.8
这是一道统筹优化类的题目，解题核心是找出可以同时进行的任务，最大化利用时间，减少总耗时。首先梳理各任务的先后限制：只有烧开水完成后才能进行冲茶操作，其余任务无明显先后限制、且可以和耗时较长的烧开水、收听新闻并行开展。我们可以先安排烧开水，在等待水开的10分钟内同步做其他不需要用到开水的任务，最后再完成冲茶步骤即可。
【解析】
我们可以对任务做如下并行安排：
1. 先启动烧开水，耗时10min。在等待水开的这10min内，同时做三件事：①收听新闻（共10min，和烧水时长刚好一致）；②打扫办公室9min；③洗茶杯1min。打扫和洗茶杯总耗时9+1=10min，刚好和烧水、听新闻的时长匹配，这一步10min就能完成4项任务。
2. 水烧开后，再完成准备茶叶和冲茶，耗时1min，该步骤必须在水开后完成，无法并行。
总耗时=10+1=11min。
【答案】
B
【知识点】
统筹优化；时间规划
【点评】
这道题结合生活实际考查统筹规划能力，解题的关键是明确任务的先后限制，找到可以同时开展的并行任务来压缩总时长，难度不高，实用性较强。
【难度系数】
0.8
9. 如图，有三只小虫同时出发，以相同的速度从点A到点B，甲虫沿路线1爬行，乙虫沿路线2爬行，丙虫沿直线AB爬行，
则下列结论正确的是(
A.甲虫先到点B
B.乙虫先到点B
C.丙虫先到点B
D.无法确定
则下列结论正确的是(
C
)。A.甲虫先到点B
B.乙虫先到点B
C.丙虫先到点B
D.无法确定
答案
9.C
解析
【分析】
要判断哪只小虫先到B点，已知三只小虫速度相同，只需比较三条爬行路线的长度，路程越短，用时越少，到达越早。首先回忆“两点之间线段最短”，可初步判断走直线的丙虫路程最短；再分别计算路线1、路线2的长度，验证两者长度相等，均大于线段AB的长度，即可得出结论。
【解析】
三只小虫速度相同，爬行时间与路程成正比，路程越短，用时越少。
1. 丙虫沿线段AB爬行，根据“两点之间线段最短”，可知丙虫的爬行路程是三条路线中最短的。
2. 设AB的长度为$D$：
路线1是直径为$D$的半圆弧，长度为$L_1=\frac{1}{2}π D$；
设路线2中所有小半圆的直径分别为$d_1,d_2,\dots,d_n$，显然$d_1+d_2+\dots+d_n=D$，则路线2的总长度为$L_2=\frac{1}{2}π d_1+\frac{1}{2}π d_2+\dots+\frac{1}{2}π d_n=\frac{1}{2}π(d_1+d_2+\dots+d_n)=\frac{1}{2}π D$。
可得$L_1=L_2＞D$，即甲虫和乙虫的路程相等，都比丙虫的路程长。因此丙虫用时最少，最先到达B点。
【答案】
C
【知识点】
两点之间线段最短；半圆弧长计算；路程速度时间关系
【点评】
本题易错点是容易误认为由多个小半圆组成的路线2比大半圆路线1更短，通过代数推导可证明两条弧线路程相等，结合线段的基本性质就能快速得到答案，很好地考查了推理验证的意识。
【难度系数】
0.7
要判断哪只小虫先到B点，已知三只小虫速度相同，只需比较三条爬行路线的长度，路程越短，用时越少，到达越早。首先回忆“两点之间线段最短”，可初步判断走直线的丙虫路程最短；再分别计算路线1、路线2的长度，验证两者长度相等，均大于线段AB的长度，即可得出结论。
【解析】
三只小虫速度相同，爬行时间与路程成正比，路程越短，用时越少。
1. 丙虫沿线段AB爬行，根据“两点之间线段最短”，可知丙虫的爬行路程是三条路线中最短的。
2. 设AB的长度为$D$：
路线1是直径为$D$的半圆弧，长度为$L_1=\frac{1}{2}π D$；
设路线2中所有小半圆的直径分别为$d_1,d_2,\dots,d_n$，显然$d_1+d_2+\dots+d_n=D$，则路线2的总长度为$L_2=\frac{1}{2}π d_1+\frac{1}{2}π d_2+\dots+\frac{1}{2}π d_n=\frac{1}{2}π(d_1+d_2+\dots+d_n)=\frac{1}{2}π D$。
可得$L_1=L_2＞D$，即甲虫和乙虫的路程相等，都比丙虫的路程长。因此丙虫用时最少，最先到达B点。
【答案】
C
【知识点】
两点之间线段最短；半圆弧长计算；路程速度时间关系
【点评】
本题易错点是容易误认为由多个小半圆组成的路线2比大半圆路线1更短，通过代数推导可证明两条弧线路程相等，结合线段的基本性质就能快速得到答案，很好地考查了推理验证的意识。
【难度系数】
0.7
10. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,则 m 的值是
158
。答案
10.158
解析
【分析】
解题时先分步观察每个正方形四个位置的数字特征：首先找左上角、右上角、左下角三个固定位置的数字变化规律，得到待求正方形中这三个位置的数字，再推导右下角数字和另外三个数字的运算关系，最后代入计算即可得到m的值。
【解析】
1. 找单个位置的数字规律：
① 左上角数字：依次为0、2、4……，后一个比前一个大2，待求正方形左上角为10；
② 右上角数字：观察发现每个正方形的右上角数字=同正方形左上角数字+4，因此待求正方形右上角数字为$10+4=14$；
③ 左下角数字：观察发现每个正方形的左下角数字=同正方形左上角数字+2，因此待求正方形左下角数字为$10+2=12$。
2. 找右下角数字的运算规律：
第一个正方形：$4×2 - 0=8$
第二个正方形：$6×4 - 2=22$
第三个正方形：$8×6 - 4=44$
总结规律：右下角数字=右上角数字×左下角数字-左上角数字。
3. 计算m：
代入待求正方形的数字得：$m=14×12 -10=168-10=158$。
【答案】
158
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，需要先从固定位置的数字变化入手找规律，再归纳四个数字的运算关系，考查观察归纳能力和基础运算能力，分步分析就能顺利找到规律求解。
【难度系数】
0.6
解题时先分步观察每个正方形四个位置的数字特征：首先找左上角、右上角、左下角三个固定位置的数字变化规律，得到待求正方形中这三个位置的数字，再推导右下角数字和另外三个数字的运算关系，最后代入计算即可得到m的值。
【解析】
1. 找单个位置的数字规律：
① 左上角数字：依次为0、2、4……，后一个比前一个大2，待求正方形左上角为10；
② 右上角数字：观察发现每个正方形的右上角数字=同正方形左上角数字+4，因此待求正方形右上角数字为$10+4=14$；
③ 左下角数字：观察发现每个正方形的左下角数字=同正方形左上角数字+2，因此待求正方形左下角数字为$10+2=12$。
2. 找右下角数字的运算规律：
第一个正方形：$4×2 - 0=8$
第二个正方形：$6×4 - 2=22$
第三个正方形：$8×6 - 4=44$
总结规律：右下角数字=右上角数字×左下角数字-左上角数字。
3. 计算m：
代入待求正方形的数字得：$m=14×12 -10=168-10=158$。
【答案】
158
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，需要先从固定位置的数字变化入手找规律，再归纳四个数字的运算关系，考查观察归纳能力和基础运算能力，分步分析就能顺利找到规律求解。
【难度系数】
0.6
11. 在学有理数的四则运算时，有人进行了下面的推理：
因为$ a = b ≠ 0 $，
所以$ a^2 = ab $，①
所以$ a^2 - b^2 = ab - b^2 $，②
即$ (a + b)(a - b) = b(a - b) $，③
所以$ a + b = b $，④
所以$ a = 0 $。⑤
因此由$ a = b ≠ 0 $可推出$ a = 0 $。⑥
你认为上述“推理”符合“一步一步有理有据的进行推理”的要求吗？如果不符合，请指出是哪一步，并说明理由。
因为$ a = b ≠ 0 $，
所以$ a^2 = ab $，①
所以$ a^2 - b^2 = ab - b^2 $，②
即$ (a + b)(a - b) = b(a - b) $，③
所以$ a + b = b $，④
所以$ a = 0 $。⑤
因此由$ a = b ≠ 0 $可推出$ a = 0 $。⑥
你认为上述“推理”符合“一步一步有理有据的进行推理”的要求吗？如果不符合，请指出是哪一步，并说明理由。
答案
11.解:不符合。是第④步。
理由:因为等式两边同时除以了一个为零的代数式。
理由:因为等式两边同时除以了一个为零的代数式。
解析
【分析】
解题时首先回忆等式的基本性质：等式两边同时加、减、乘同一个数或式子，或除以同一个不为0的数或式子，等式仍然成立。我们逐步验证推理的合理性：前3步分别是等式两边同乘a、同减b²、因式分解变形，均符合运算规则；到第④步时，观察到变形是两边同时除以(a-b)，结合已知条件a=b，可推出a-b=0，此时除以0不符合等式性质的要求，即可找到错误步骤。
【解析】
上述推理不符合要求，错误出在第④步，理由如下：
已知$a = b ≠ 0$，
①步是等式两边同时乘$a$，符合等式性质，变形正确；
②步是等式两边同时减$b^2$，符合等式性质，变形正确；
③步左边用平方差公式分解因式，右边提取公因式$b$，因式分解正确；
到第④步时，变形为等式两边同时除以$(a - b)$，但由$a = b$可得$a - b = 0$，根据等式的基本性质，等式两边不能同时除以0，因此第④步的推理没有依据，是错误的。
【答案】
不符合。是第④步。理由：因为等式两边同时除以了一个为零的代数式。
【知识点】
1.等式的基本性质 2.因式分解
【点评】
本题侧重考察逻辑推理的严谨性，解题的关键是牢记等式两边同除一个数或式子时，必须先确认该数或式子不为0，避免忽略隐含的限制条件导致推理错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等式的基本性质：等式两边同时加、减、乘同一个数或式子，或除以同一个不为0的数或式子，等式仍然成立。我们逐步验证推理的合理性：前3步分别是等式两边同乘a、同减b²、因式分解变形，均符合运算规则；到第④步时，观察到变形是两边同时除以(a-b)，结合已知条件a=b，可推出a-b=0，此时除以0不符合等式性质的要求，即可找到错误步骤。
【解析】
上述推理不符合要求，错误出在第④步，理由如下：
已知$a = b ≠ 0$，
①步是等式两边同时乘$a$，符合等式性质，变形正确；
②步是等式两边同时减$b^2$，符合等式性质，变形正确；
③步左边用平方差公式分解因式，右边提取公因式$b$，因式分解正确；
到第④步时，变形为等式两边同时除以$(a - b)$，但由$a = b$可得$a - b = 0$，根据等式的基本性质，等式两边不能同时除以0，因此第④步的推理没有依据，是错误的。
【答案】
不符合。是第④步。理由：因为等式两边同时除以了一个为零的代数式。
【知识点】
1.等式的基本性质 2.因式分解
【点评】
本题侧重考察逻辑推理的严谨性，解题的关键是牢记等式两边同除一个数或式子时，必须先确认该数或式子不为0，避免忽略隐含的限制条件导致推理错误。
【难度系数】
0.7
