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12. 观察下列各式：
$1^2 + (1 × 2)^2 + 2^2 = (1 × 2 + 1)^2$；
$2^2 + (2 × 3)^2 + 3^2 = (2 × 3 + 1)^2$；
$3^2 + (3 × 4)^2 + 4^2 = (3 × 4 + 1)^2$；
……
(1)请写出第5行的式子：
(2)请写出第n行的式子，并用数学知识说明你所写式子的正确性。
$1^2 + (1 × 2)^2 + 2^2 = (1 × 2 + 1)^2$；
$2^2 + (2 × 3)^2 + 3^2 = (2 × 3 + 1)^2$；
$3^2 + (3 × 4)^2 + 4^2 = (3 × 4 + 1)^2$；
……
(1)请写出第5行的式子：
$5^2 + (5 × 6)^2 + 6^2 = (5 × 6 + 1)^2$
；(2)请写出第n行的式子，并用数学知识说明你所写式子的正确性。
答案
12.解:(1)$5^2 + (5 × 6)^2 + 6^2 = (5 × 6 + 1)^2$
(2)以此类推,第 n 行的式子为 $n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = [n(n+1)+1]^2$。
说明如下：
因为左边$=n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2$
$=n^2 + (n^2 + n)^2 + (n+1)^2$
$=(n^2 + n)^2 + 2n^2 + 2n + 1$
$=(n^2 + n)^2 + 2(n^2 + n) + 1$
$=(n^2 + n + 1)^2$,
右边$=(n^2 + n + 1)^2$,
所以左边=右边,等式成立。
(2)以此类推,第 n 行的式子为 $n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = [n(n+1)+1]^2$。
说明如下：
因为左边$=n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2$
$=n^2 + (n^2 + n)^2 + (n+1)^2$
$=(n^2 + n)^2 + 2n^2 + 2n + 1$
$=(n^2 + n)^2 + 2(n^2 + n) + 1$
$=(n^2 + n + 1)^2$,
右边$=(n^2 + n + 1)^2$,
所以左边=右边,等式成立。
解析
【分析】
(1)先观察已知式子的规律：第k行的式子中，第一个平方项的底数为k，第二个平方项的底数为k与k+1的乘积，第三个平方项的底数为k+1，等号右边的平方项的底数为“k(k+1)+1”。求第5行的式子，只需要将k=5代入上述规律即可。
(2)将规律中的k替换为n即可得到第n行的式子；要验证式子的正确性，只需分别化简等式左右两边，证明两边化简后的结果相等即可，化简过程用到整式运算和完全平方公式。
【解析】
(1)根据已知式子的规律，第5行对应k=5，代入得：
$5^2 + (5 × 6)^2 + 6^2 = (5 × 6 + 1)^2$
(2)第n行的式子为：$n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = [n(n+1)+1]^2$
验证正确性：
先化简等式左边：
$\begin{aligned}左边&=n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2\\&=n^2 + (n^2 + n)^2 + (n^2 + 2n + 1)\\&=(n^2 + n)^2 + 2n^2 + 2n + 1\\&=(n^2 + n)^2 + 2(n^2 + n) + 1\end{aligned}$
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，把$(n^2+n)$看作整体a，1看作整体b，可得：
$左边=(n^2 + n + 1)^2$
再化简等式右边：
$\begin{aligned}右边&=[n(n+1)+1]^2\\&=(n^2 + n + 1)^2\end{aligned}$
因此左边=右边，等式成立。
【答案】
(1)$5^2 + (5 × 6)^2 + 6^2 = (5 × 6 + 1)^2$
(2)第n行的式子为$n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = [n(n+1)+1]^2$，经证明等式成立。
【知识点】
数字规律探究；整式的运算；完全平方公式
【点评】
本题是规律探究与代数运算结合的典型题型，既考查学生观察归纳通用规律的能力，又要求学生熟练运用整式运算和完全平方公式完成规律的验证，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1)先观察已知式子的规律：第k行的式子中，第一个平方项的底数为k，第二个平方项的底数为k与k+1的乘积，第三个平方项的底数为k+1，等号右边的平方项的底数为“k(k+1)+1”。求第5行的式子，只需要将k=5代入上述规律即可。
(2)将规律中的k替换为n即可得到第n行的式子；要验证式子的正确性，只需分别化简等式左右两边，证明两边化简后的结果相等即可，化简过程用到整式运算和完全平方公式。
【解析】
(1)根据已知式子的规律，第5行对应k=5，代入得：
$5^2 + (5 × 6)^2 + 6^2 = (5 × 6 + 1)^2$
(2)第n行的式子为：$n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = [n(n+1)+1]^2$
验证正确性：
先化简等式左边：
$\begin{aligned}左边&=n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2\\&=n^2 + (n^2 + n)^2 + (n^2 + 2n + 1)\\&=(n^2 + n)^2 + 2n^2 + 2n + 1\\&=(n^2 + n)^2 + 2(n^2 + n) + 1\end{aligned}$
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，把$(n^2+n)$看作整体a，1看作整体b，可得：
$左边=(n^2 + n + 1)^2$
再化简等式右边：
$\begin{aligned}右边&=[n(n+1)+1]^2\\&=(n^2 + n + 1)^2\end{aligned}$
因此左边=右边，等式成立。
【答案】
(1)$5^2 + (5 × 6)^2 + 6^2 = (5 × 6 + 1)^2$
(2)第n行的式子为$n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = [n(n+1)+1]^2$，经证明等式成立。
【知识点】
数字规律探究；整式的运算；完全平方公式
【点评】
本题是规律探究与代数运算结合的典型题型，既考查学生观察归纳通用规律的能力，又要求学生熟练运用整式运算和完全平方公式完成规律的验证，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
13.破译密码:根据下图中五个已知条件,推断出正确的密码。
6 2 8 只有一个号码正确且位置正确
6 1 9 只有一个号码正确但位置不正确
8 7 6 只有两个号码正确但位置不正确
5 3 2 三个号码都不正确
2 5 7 只有一个号码正确但位置不正确
6 2 8 只有一个号码正确且位置正确
6 1 9 只有一个号码正确但位置不正确
8 7 6 只有两个号码正确但位置不正确
5 3 2 三个号码都不正确
2 5 7 只有一个号码正确但位置不正确
答案
13.解:因为密码 532 中三个号码都不正确,
所以密码中没有数字 2,3,5。
因为密码 257 中只有一个号码正确,但位置不正确,
所以密码中必有数字 7,并且不能在个位。
因为密码 876 中只有两个号码正确,但位置都不正确,
所以密码中的数字 7 不能在十位,密码中数字 8,6 只有一个正确,
所以密码中的数字 7 只能在百位。
因为密码 628 中只有一个号码正确且位置正确,
所以密码中必有数字 8,且在个位。
因为密码 619 中只有一个号码正确,但位置不正确,
所以密码中只有数字 9,且在十位,
所以正确的密码为 798。
所以密码中没有数字 2,3,5。
因为密码 257 中只有一个号码正确,但位置不正确,
所以密码中必有数字 7,并且不能在个位。
因为密码 876 中只有两个号码正确,但位置都不正确,
所以密码中的数字 7 不能在十位,密码中数字 8,6 只有一个正确,
所以密码中的数字 7 只能在百位。
因为密码 628 中只有一个号码正确且位置正确,
所以密码中必有数字 8,且在个位。
因为密码 619 中只有一个号码正确,但位置不正确,
所以密码中只有数字 9,且在十位,
所以正确的密码为 798。
解析
【分析】
解题时优先选择确定性最高的条件作为突破口，首先根据“5、3、2三个号码都不正确”的条件先排除这三个数字，缩小可选数字范围；再结合剩余条件，用排除法依次判断每个数字是否存在、对应的数位：先根据包含2、5的条件确定数字7的存在性和位置，再逐步推导剩余两个数位的数字，最终即可得到正确密码。
【解析】
解：因为密码532中三个号码都不正确，
所以密码中没有数字2，3，5。
因为密码257中只有一个号码正确，但位置不正确，且已排除2、5，
所以密码中必有数字7，并且不能在个位。
因为密码876中只有两个号码正确，但位置都不正确，可知7在十位的位置错误，
所以数字7不能在十位，且数字8、6中只有一个正确，
结合7不能在个位、也不能在十位，可得数字7只能在百位。
因为密码628中只有一个号码正确且位置正确，已排除数字2，若数字6正确，它在百位与百位是7矛盾，因此只有数字8正确，且在个位。
因为密码619中只有一个号码正确但位置不正确，已排除数字6，且百位为7、个位为8，若数字1正确，它在十位则位置符合要求，与“位置不正确”矛盾，因此正确的数字是9，且9不能在个位，所以9在十位。
综上，正确的密码为798。
【答案】
798
【知识点】
逻辑推理，排除法
【点评】
这道题是典型的逻辑推理类题目，解题核心是从确定性最强的条件切入，逐步排除错误信息，层层验证推导每个数字的存在性和位置，能够有效锻炼逻辑思维能力和信息整合分析能力。
【难度系数】
0.6
解题时优先选择确定性最高的条件作为突破口，首先根据“5、3、2三个号码都不正确”的条件先排除这三个数字，缩小可选数字范围；再结合剩余条件，用排除法依次判断每个数字是否存在、对应的数位：先根据包含2、5的条件确定数字7的存在性和位置，再逐步推导剩余两个数位的数字，最终即可得到正确密码。
【解析】
解：因为密码532中三个号码都不正确，
所以密码中没有数字2，3，5。
因为密码257中只有一个号码正确，但位置不正确，且已排除2、5，
所以密码中必有数字7，并且不能在个位。
因为密码876中只有两个号码正确，但位置都不正确，可知7在十位的位置错误，
所以数字7不能在十位，且数字8、6中只有一个正确，
结合7不能在个位、也不能在十位，可得数字7只能在百位。
因为密码628中只有一个号码正确且位置正确，已排除数字2，若数字6正确，它在百位与百位是7矛盾，因此只有数字8正确，且在个位。
因为密码619中只有一个号码正确但位置不正确，已排除数字6，且百位为7、个位为8，若数字1正确，它在十位则位置符合要求，与“位置不正确”矛盾，因此正确的数字是9，且9不能在个位，所以9在十位。
综上，正确的密码为798。
【答案】
798
【知识点】
逻辑推理，排除法
【点评】
这道题是典型的逻辑推理类题目，解题核心是从确定性最强的条件切入，逐步排除错误信息，层层验证推导每个数字的存在性和位置，能够有效锻炼逻辑思维能力和信息整合分析能力。
【难度系数】
0.6
