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1.若一元二次方程$x^2 - 2px + q = 0$的两个根分别是－3和5，则多项式$2x^2 -4px +2q$可以因式分解为()
A.$(x+3)(x-5)$
B.$(x-3)(x+5)$
C.$2(x+3)(x-5)$
D.$2(x-3)(x+5)$
A.$(x+3)(x-5)$
B.$(x-3)(x+5)$
C.$2(x+3)(x-5)$
D.$2(x-3)(x+5)$
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关联，结合待分解多项式和已知方程左边二次三项式的倍数关系推导即可。第一步：观察待因式分解的多项式$2x^2 -4px +2q$，提取公因式2后可得到$2(x^2-2px+q)$，恰好是已知方程左边表达式的2倍；第二步：已知方程$x^2 - 2px + q = 0$的两根为-3和5，根据“若一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两根为$x_1、x_2$，则$x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)$”，可直接将$x^2-2px+q$因式分解，再代入待分解的多项式即可得到结果。
【解析】
∵ 一元二次方程$x^2 - 2px + q = 0$的两个根分别是-3和5
∴ 根据一元二次方程根与因式分解的关系可得：
$x^2 - 2px + q = (x+3)(x-5)$
对待因式分解的多项式提取公因式2：
$2x^2 -4px +2q = 2(x^2 - 2px + q)$
将$x^2 - 2px + q = (x+3)(x-5)$代入上式，得：
$2x^2 -4px +2q = 2(x+3)(x-5)$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与因式分解的关系、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二次三项式的因式分解和对应一元二次方程根的关联，解题时先找两个多项式的倍数关系能简化运算，掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先利用一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关联，结合待分解多项式和已知方程左边二次三项式的倍数关系推导即可。第一步：观察待因式分解的多项式$2x^2 -4px +2q$，提取公因式2后可得到$2(x^2-2px+q)$，恰好是已知方程左边表达式的2倍；第二步：已知方程$x^2 - 2px + q = 0$的两根为-3和5，根据“若一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两根为$x_1、x_2$，则$x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)$”，可直接将$x^2-2px+q$因式分解，再代入待分解的多项式即可得到结果。
【解析】
∵ 一元二次方程$x^2 - 2px + q = 0$的两个根分别是-3和5
∴ 根据一元二次方程根与因式分解的关系可得：
$x^2 - 2px + q = (x+3)(x-5)$
对待因式分解的多项式提取公因式2：
$2x^2 -4px +2q = 2(x^2 - 2px + q)$
将$x^2 - 2px + q = (x+3)(x-5)$代入上式，得：
$2x^2 -4px +2q = 2(x+3)(x-5)$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与因式分解的关系、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二次三项式的因式分解和对应一元二次方程根的关联，解题时先找两个多项式的倍数关系能简化运算，掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.观察下列方程的形式,选择你认为比较简便的解法:
①$2x^2 -18=0$: ;
②$2x^2 -12x -782=0$: ;
③$3x^2 +10x +1=0$: ;
④$2(5x-1)^2=2(5x-1)$: 。
(填“平方根的意义”“配方法”“公式法”或“因式分解法”)
①$2x^2 -18=0$: ;
②$2x^2 -12x -782=0$: ;
③$3x^2 +10x +1=0$: ;
④$2(5x-1)^2=2(5x-1)$: 。
(填“平方根的意义”“配方法”“公式法”或“因式分解法”)
答案
解：
① 平方根的意义
② 配方法
③ 公式法
④ 因式分解法
① 平方根的意义
② 配方法
③ 公式法
④ 因式分解法
解析
【分析】
解这类题首先要明确一元二次方程四种解法的适用场景：1. 若方程可化为$x^2=a(a≥0)$的形式、无一次项，优先用平方根的意义求解；2. 若二次项系数为1、一次项系数为偶数，配方法计算更简便；3. 若方程无法直接开平方、也不好配方或因式分解，优先用公式法，公式法适用于所有一元二次方程；4. 若方程左右两边有相同公因式，或可整理为两个整式乘积为0的形式，优先用因式分解法。结合四个方程的形式逐一判断即可。
【解析】
① 方程$2x^2-18=0$，移项化简后得$x^2=9$，符合$x^2=a(a≥0)$的形式，直接利用平方根的意义开平方即可求出解，步骤最简便，故选平方根的意义。
② 方程$2x^2-12x-782=0$，两边同时除以2得$x^2-6x-391=0$，此时二次项系数为1，一次项系数是偶数，配方时计算量小，用配方法最简便，故选配方法。
③ 方程$3x^2+10x+1=0$，左边不能直接因式分解，也不满足直接开平方的形式，若用配方法需要先把二次项系数化为1，计算较繁琐，代入求根公式（公式法）求解更简便，故选公式法。
④ 方程$2(5x-1)^2=2(5x-1)$，移项后得$2(5x-1)^2 - 2(5x-1)=0$，存在公因式$2(5x-1)$，提取公因式即可转化为乘积为0的形式求解，用因式分解法最简便，故选因式分解法。
【答案】
①平方根的意义；②配方法；③公式法；④因式分解法
【知识点】
一元二次方程解法选择、配方法、因式分解法
【点评】
本题主要考查一元二次方程最优解法的选择，熟悉各解法的适用特点是解题的关键，选对解法可以大幅减少计算量，提升解题正确率。
【难度系数】
0.8
解这类题首先要明确一元二次方程四种解法的适用场景：1. 若方程可化为$x^2=a(a≥0)$的形式、无一次项，优先用平方根的意义求解；2. 若二次项系数为1、一次项系数为偶数，配方法计算更简便；3. 若方程无法直接开平方、也不好配方或因式分解，优先用公式法，公式法适用于所有一元二次方程；4. 若方程左右两边有相同公因式，或可整理为两个整式乘积为0的形式，优先用因式分解法。结合四个方程的形式逐一判断即可。
【解析】
① 方程$2x^2-18=0$，移项化简后得$x^2=9$，符合$x^2=a(a≥0)$的形式，直接利用平方根的意义开平方即可求出解，步骤最简便，故选平方根的意义。
② 方程$2x^2-12x-782=0$，两边同时除以2得$x^2-6x-391=0$，此时二次项系数为1，一次项系数是偶数，配方时计算量小，用配方法最简便，故选配方法。
③ 方程$3x^2+10x+1=0$，左边不能直接因式分解，也不满足直接开平方的形式，若用配方法需要先把二次项系数化为1，计算较繁琐，代入求根公式（公式法）求解更简便，故选公式法。
④ 方程$2(5x-1)^2=2(5x-1)$，移项后得$2(5x-1)^2 - 2(5x-1)=0$，存在公因式$2(5x-1)$，提取公因式即可转化为乘积为0的形式求解，用因式分解法最简便，故选因式分解法。
【答案】
①平方根的意义；②配方法；③公式法；④因式分解法
【知识点】
一元二次方程解法选择、配方法、因式分解法
【点评】
本题主要考查一元二次方程最优解法的选择，熟悉各解法的适用特点是解题的关键，选对解法可以大幅减少计算量，提升解题正确率。
【难度系数】
0.8
3.用因式分解法解方程$x^2 + px -6=0$，若将左边因式分解后有一个因式是$x+3$，则$p$的值是。
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
已知二次三项式$x^2+px-6$的二次项系数为1，且分解后有一个因式是$x+3$，那么另一个因式一定是形如$x+a$的一次二项式（$a$为常数）。我们可以通过两种思路求解：一是将两个因式相乘展开，和原式对比对应项系数，建立等式求$p$；二是利用“若$x+m$是多项式的因式，则$x=-m$是该多项式对应方程的根”的性质，代入$x=-3$直接计算$p$，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一：设$x^2 + px -6 = (x+3)(x+a)$（$a$为常数）
将等式右边展开得：$x^2 + (a+3)x + 3a$
根据多项式恒等的性质，等式两边对应项系数相等：
常数项：$3a = -6$，解得$a=-2$
一次项系数：$p = a+3$，代入$a=-2$得$p=-2+3=1$
方法二：因为$x+3$是$x^2+px-6$的因式，所以$x=-3$是方程$x^2+px-6=0$的根，将$x=-3$代入方程得：
$(-3)^2 + p×(-3) -6 = 0$
化简得$9-3p-6=0$，即$3-3p=0$，解得$p=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
因式分解，多项式恒等性质，一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解因式分解、多项式系数对应关系、一元二次方程根三者之间的关联，两种解题方法都可以快速得出结果。
【难度系数】
0.8
已知二次三项式$x^2+px-6$的二次项系数为1，且分解后有一个因式是$x+3$，那么另一个因式一定是形如$x+a$的一次二项式（$a$为常数）。我们可以通过两种思路求解：一是将两个因式相乘展开，和原式对比对应项系数，建立等式求$p$；二是利用“若$x+m$是多项式的因式，则$x=-m$是该多项式对应方程的根”的性质，代入$x=-3$直接计算$p$，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一：设$x^2 + px -6 = (x+3)(x+a)$（$a$为常数）
将等式右边展开得：$x^2 + (a+3)x + 3a$
根据多项式恒等的性质，等式两边对应项系数相等：
常数项：$3a = -6$，解得$a=-2$
一次项系数：$p = a+3$，代入$a=-2$得$p=-2+3=1$
方法二：因为$x+3$是$x^2+px-6$的因式，所以$x=-3$是方程$x^2+px-6=0$的根，将$x=-3$代入方程得：
$(-3)^2 + p×(-3) -6 = 0$
化简得$9-3p-6=0$，即$3-3p=0$，解得$p=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
因式分解，多项式恒等性质，一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解因式分解、多项式系数对应关系、一元二次方程根三者之间的关联，两种解题方法都可以快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4.若$y^2 - x = 0$，$x^2 - 3y^2 + x - 3 = 0$，则$x$的值为。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
观察给出的两个方程，第一个方程可直接得到$y^2=x$，第二个方程中含有$y^2$项，因此可以用代入消元法，将$y^2$替换为$x$代入第二个方程，消去未知数$y$，得到仅含$x$的一元二次方程，解方程后结合$y^2=x≥0$的隐含条件舍去不符合要求的根，即可得到$x$的正确值。
【解析】
解：由$y^2 - x = 0$可得$y^2 = x$，根据平方的非负性可知$x = y^2 ≥ 0$。
将$y^2 = x$代入$x^2 - 3y^2 + x - 3 = 0$，得：
$x^2 - 3x + x - 3 = 0$
整理得：$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得：$(x - 3)(x + 1) = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = -1$
$\because x ≥ 0$，$\therefore x = -1$不符合题意，舍去。
$\therefore x = 3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
代入消元法，一元二次方程求解，平方非负性
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，重点考查代入消元的思想，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
观察给出的两个方程，第一个方程可直接得到$y^2=x$，第二个方程中含有$y^2$项，因此可以用代入消元法，将$y^2$替换为$x$代入第二个方程，消去未知数$y$，得到仅含$x$的一元二次方程，解方程后结合$y^2=x≥0$的隐含条件舍去不符合要求的根，即可得到$x$的正确值。
【解析】
解：由$y^2 - x = 0$可得$y^2 = x$，根据平方的非负性可知$x = y^2 ≥ 0$。
将$y^2 = x$代入$x^2 - 3y^2 + x - 3 = 0$，得：
$x^2 - 3x + x - 3 = 0$
整理得：$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得：$(x - 3)(x + 1) = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = -1$
$\because x ≥ 0$，$\therefore x = -1$不符合题意，舍去。
$\therefore x = 3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
代入消元法，一元二次方程求解，平方非负性
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，重点考查代入消元的思想，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
5. 方程 $ x(x - 1) = x $ 的根是 。
答案
解：
移项，得 $x(x-1) - x = 0$，
提取公因式，得 $x[(x-1)-1] = 0$，
化简得 $x(x-2) = 0$，
则 $x=0$ 或 $x-2=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=2$。
移项，得 $x(x-1) - x = 0$，
提取公因式，得 $x[(x-1)-1] = 0$，
化简得 $x(x-2) = 0$，
则 $x=0$ 或 $x-2=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=2$。
解析
【分析】
这是一元二次方程求解类题目，解题时不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确思路是先将右边的x移到等号左边，使方程右边为0，再对左边的式子提取公因式x进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
移项，得 $x(x-1) - x = 0$，
提取公因式，得 $x[(x-1)-1] = 0$，
化简得 $x(x-2) = 0$，
则 $x=0$ 或 $x-2=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=2$
【知识点】
因式分解法解方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题是方程求解的基础题型，易错点为直接约去x导致漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤，注意移项变号、因式分解正确即可得分。
【难度系数】
0.7
这是一元二次方程求解类题目，解题时不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确思路是先将右边的x移到等号左边，使方程右边为0，再对左边的式子提取公因式x进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
移项，得 $x(x-1) - x = 0$，
提取公因式，得 $x[(x-1)-1] = 0$，
化简得 $x(x-2) = 0$，
则 $x=0$ 或 $x-2=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=2$
【知识点】
因式分解法解方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题是方程求解的基础题型，易错点为直接约去x导致漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤，注意移项变号、因式分解正确即可得分。
【难度系数】
0.7
6. 若最简二次根式 $3\sqrt{a^2 - 10}$ 和 $2\sqrt{2 - 4a}$ 的被开方数相同，则 $a=$ 。
答案
解：
由题意得两个最简二次根式的被开方数相等，因此：
$a^2 - 10 = 2 - 4a$
整理为一元二次方程的一般形式：
$a^2 + 4a - 12 = 0$
因式分解得：
$(a + 6)(a - 2) = 0$
解得：
$a_1 = -6,\quad a_2 = 2$
检验：
当$a=2$时，被开方数$a^2 -10 = 4 -10 = -6 ＜ 0$，不符合二次根式有意义的条件，舍去；
当$a=-6$时，被开方数$a^2 -10 = 36 -10 = 26$，$2-4a=2+24=26$，均为正数，且两个根式都是最简二次根式，符合题意。
故$a=-6$。
由题意得两个最简二次根式的被开方数相等，因此：
$a^2 - 10 = 2 - 4a$
整理为一元二次方程的一般形式：
$a^2 + 4a - 12 = 0$
因式分解得：
$(a + 6)(a - 2) = 0$
解得：
$a_1 = -6,\quad a_2 = 2$
检验：
当$a=2$时，被开方数$a^2 -10 = 4 -10 = -6 ＜ 0$，不符合二次根式有意义的条件，舍去；
当$a=-6$时，被开方数$a^2 -10 = 36 -10 = 26$，$2-4a=2+24=26$，均为正数，且两个根式都是最简二次根式，符合题意。
故$a=-6$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据“最简二次根式被开方数相同”的条件，得到两个被开方数相等的等量关系，据此列出方程求解；求出方程的解后，必须结合二次根式的定义检验：二次根式的被开方数必须是非负数，同时要满足根式是最简二次根式的要求，不符合条件的解要舍去，最终得到符合要求的a值。
【解析】
由题意得，两个最简二次根式的被开方数相等，因此：
$a^2 - 10 = 2 - 4a$
整理为一元二次方程的一般形式：
$a^2 + 4a - 12 = 0$
因式分解得：
$(a + 6)(a - 2) = 0$
解得：
$a_1 = -6,\quad a_2 = 2$
检验：
当$a=2$时，被开方数$a^2 -10 = 4 - 10 = -6 ＜ 0$，不符合二次根式有意义的条件，舍去；
当$a=-6$时，被开方数$a^2 -10 = 36 -10 = 26$，$2-4a=2 + 24 = 26$，均为正数，且两个根式都是最简二次根式，符合题意。
【答案】
$-6$
【知识点】
最简二次根式的定义；二次根式有意义的条件；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次根式相关的基础易错题，易错点是求解方程后忽略检验二次根式被开方数的非负性，直接将两个解都作为最终结果，解题时要注意求出解后代回原式验证所有条件都满足才能作为正确答案。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先根据“最简二次根式被开方数相同”的条件，得到两个被开方数相等的等量关系，据此列出方程求解；求出方程的解后，必须结合二次根式的定义检验：二次根式的被开方数必须是非负数，同时要满足根式是最简二次根式的要求，不符合条件的解要舍去，最终得到符合要求的a值。
【解析】
由题意得，两个最简二次根式的被开方数相等，因此：
$a^2 - 10 = 2 - 4a$
整理为一元二次方程的一般形式：
$a^2 + 4a - 12 = 0$
因式分解得：
$(a + 6)(a - 2) = 0$
解得：
$a_1 = -6,\quad a_2 = 2$
检验：
当$a=2$时，被开方数$a^2 -10 = 4 - 10 = -6 ＜ 0$，不符合二次根式有意义的条件，舍去；
当$a=-6$时，被开方数$a^2 -10 = 36 -10 = 26$，$2-4a=2 + 24 = 26$，均为正数，且两个根式都是最简二次根式，符合题意。
【答案】
$-6$
【知识点】
最简二次根式的定义；二次根式有意义的条件；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次根式相关的基础易错题，易错点是求解方程后忽略检验二次根式被开方数的非负性，直接将两个解都作为最终结果，解题时要注意求出解后代回原式验证所有条件都满足才能作为正确答案。
【难度系数】
0.6
7.解下列方程：
(1)$4y(y-1)+1=0$；
(2)$x^2 - 2x -5=0$；
(3)$2x^2 -6x -1=0$；
(4)$2(x-2)^2=3(2-x)$。
(1)$4y(y-1)+1=0$；
(2)$x^2 - 2x -5=0$；
(3)$2x^2 -6x -1=0$；
(4)$2(x-2)^2=3(2-x)$。
答案
解：
(1) 展开整理方程得：
$4y^2 - 4y + 1 = 0$
因式分解得：
$(2y - 1)^2 = 0$
则 $2y - 1 = 0$
解得：$y_1 = y_2 = \frac{1}{2}$
(2) 移项得：
$x^2 - 2x = 5$
配方得：
$x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$
即 $(x - 1)^2 = 6$
开平方得：$x - 1 = \pm\sqrt{6}$
解得：$x_1 = 1 + \sqrt{6}$，$x_2 = 1 - \sqrt{6}$
(3) 这里$a=2$，$b=-6$，$c=-1$
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×2×(-1) = 44 ＞ 0$
由求根公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{11}}{2}$
解得：$x_1 = \frac{3 + \sqrt{11}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{11}}{2}$
(4) 移项得：
$2(x - 2)^2 + 3(x - 2) = 0$
提取公因式$(x-2)$得：
$(x - 2)[2(x - 2) + 3] = 0$
整理得：
$(x - 2)(2x - 1) = 0$
则 $x - 2 = 0$ 或 $2x - 1 = 0$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{1}{2}$
(1) 展开整理方程得：
$4y^2 - 4y + 1 = 0$
因式分解得：
$(2y - 1)^2 = 0$
则 $2y - 1 = 0$
解得：$y_1 = y_2 = \frac{1}{2}$
(2) 移项得：
$x^2 - 2x = 5$
配方得：
$x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$
即 $(x - 1)^2 = 6$
开平方得：$x - 1 = \pm\sqrt{6}$
解得：$x_1 = 1 + \sqrt{6}$，$x_2 = 1 - \sqrt{6}$
(3) 这里$a=2$，$b=-6$，$c=-1$
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×2×(-1) = 44 ＞ 0$
由求根公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{11}}{2}$
解得：$x_1 = \frac{3 + \sqrt{11}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{11}}{2}$
(4) 移项得：
$2(x - 2)^2 + 3(x - 2) = 0$
提取公因式$(x-2)$得：
$(x - 2)[2(x - 2) + 3] = 0$
整理得：
$(x - 2)(2x - 1) = 0$
则 $x - 2 = 0$ 或 $2x - 1 = 0$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{1}{2}$
解析
【分析】
解一元二次方程需先观察方程结构，选择最优解法降低计算量：(1)先展开整理方程，可发现式子符合完全平方公式特征，选用因式分解法求解；(2)方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法计算；(3)方程无明显因式分解特征，选用公式法，先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解；(4)方程两边均含与$(x-2)$相关的项，移项后提取公因式用因式分解法求解，注意不要直接两边约去$(x-2)$，避免漏根。
【解析】
(1) 展开整理方程得：
$4y^2 - 4y + 1 = 0$
因式分解得：
$(2y - 1)^2 = 0$
则 $2y - 1 = 0$
解得：$y_1 = y_2 = \frac{1}{2}$
(2) 移项得：
$x^2 - 2x = 5$
配方得：
$x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$
即 $(x - 1)^2 = 6$
开平方得：$x - 1 = \pm\sqrt{6}$
解得：$x_1 = 1 + \sqrt{6}$，$x_2 = 1 - \sqrt{6}$
(3) 这里$a=2$，$b=-6$，$c=-1$
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×2×(-1) = 44 ＞ 0$
由求根公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{11}}{2}$
解得：$x_1 = \frac{3 + \sqrt{11}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{11}}{2}$
(4) 移项得：
$2(x - 2)^2 + 3(x - 2) = 0$
提取公因式$(x-2)$得：
$(x - 2)[2(x - 2) + 3] = 0$
整理得：
$(x - 2)(2x - 1) = 0$
则 $x - 2 = 0$ 或 $2x - 1 = 0$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{1}{2}$
【答案】
(1)$y_1=y_2=\frac{1}{2}$；(2)$x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$；(3)$x_1=\frac{3+\sqrt{11}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{11}}{2}$；(4)$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法；因式分解法；求根公式应用
【点评】
本题侧重考查一元二次方程不同解法的灵活选用，解题时优先观察方程特征选择简便方法，可有效提升解题效率、减少计算失误，尤其注意解含公因式的方程时，不要随意约去公因式，避免出现漏根的问题。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需先观察方程结构，选择最优解法降低计算量：(1)先展开整理方程，可发现式子符合完全平方公式特征，选用因式分解法求解；(2)方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法计算；(3)方程无明显因式分解特征，选用公式法，先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解；(4)方程两边均含与$(x-2)$相关的项，移项后提取公因式用因式分解法求解，注意不要直接两边约去$(x-2)$，避免漏根。
【解析】
(1) 展开整理方程得：
$4y^2 - 4y + 1 = 0$
因式分解得：
$(2y - 1)^2 = 0$
则 $2y - 1 = 0$
解得：$y_1 = y_2 = \frac{1}{2}$
(2) 移项得：
$x^2 - 2x = 5$
配方得：
$x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$
即 $(x - 1)^2 = 6$
开平方得：$x - 1 = \pm\sqrt{6}$
解得：$x_1 = 1 + \sqrt{6}$，$x_2 = 1 - \sqrt{6}$
(3) 这里$a=2$，$b=-6$，$c=-1$
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×2×(-1) = 44 ＞ 0$
由求根公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{11}}{2}$
解得：$x_1 = \frac{3 + \sqrt{11}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{11}}{2}$
(4) 移项得：
$2(x - 2)^2 + 3(x - 2) = 0$
提取公因式$(x-2)$得：
$(x - 2)[2(x - 2) + 3] = 0$
整理得：
$(x - 2)(2x - 1) = 0$
则 $x - 2 = 0$ 或 $2x - 1 = 0$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{1}{2}$
【答案】
(1)$y_1=y_2=\frac{1}{2}$；(2)$x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$；(3)$x_1=\frac{3+\sqrt{11}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{11}}{2}$；(4)$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法；因式分解法；求根公式应用
【点评】
本题侧重考查一元二次方程不同解法的灵活选用，解题时优先观察方程特征选择简便方法，可有效提升解题效率、减少计算失误，尤其注意解含公因式的方程时，不要随意约去公因式，避免出现漏根的问题。
【难度系数】
0.8
8. 提升题 定义:若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,则称这两个方程互为“同伴方程”。例如:$x^2=4$和$(x-2)(x+3)=0$有且只有一个相同的实数根$x=2$,因此这两个方程互为“同伴方程”。
(1)根据以上定义,下列方程中,互为“同伴方程”的是(填序号)。
①$(x-1)^2=9$;②$x^2+4x+4=0$;③$x^2+2x-8=0$。
(2)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-2x=0$与$x^2+x+m-1=0$互为“同伴方程”,求$m$的值。
(3)若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$同时满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$,且与方程$(x-n)(x+3)=0$互为“同伴方程”,求$n$的值。
(1)根据以上定义,下列方程中,互为“同伴方程”的是(填序号)。
①$(x-1)^2=9$;②$x^2+4x+4=0$;③$x^2+2x-8=0$。
(2)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-2x=0$与$x^2+x+m-1=0$互为“同伴方程”,求$m$的值。
(3)若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$同时满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$,且与方程$(x-n)(x+3)=0$互为“同伴方程”,求$n$的值。
答案
解：
(1) 解方程①$(x-1)^2=9$，得$x_1=4$，$x_2=-2$；
解方程②$x^2+4x+4=0$，得$x_1=x_2=-2$；
解方程③$x^2+2x-8=0$，得$x_1=2$，$x_2=-4$。
根据定义，①和②有且只有一个相同的实数根$x=-2$，互为“同伴方程”，其余两组方程均无相同实数根。
故答案为：$\boldsymbol{①②}$。
(2) 解方程$x^2-2x=0$，因式分解得$x(x-2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$。
分两种情况讨论：
① 若相同的实数根为$x=0$，将$x=0$代入$x^2+x+m-1=0$，得：
$0+0+m-1=0$，解得$m=1$。
此时方程$x^2+x+m-1=0$为$x^2+x=0$，解得根为$x_1=0$，$x_2=-1$，两方程有且只有一个相同实数根$x=0$，符合题意。
② 若相同的实数根为$x=2$，将$x=2$代入$x^2+x+m-1=0$，得：
$4+2+m-1=0$，解得$m=-5$。
此时方程$x^2+x+m-1=0$为$x^2+x-6=0$，解得根为$x_1=2$，$x_2=-3$，两方程有且只有一个相同实数根$x=2$，符合题意。
综上，$m$的值为$1$或$-5$。
(3) $\because$ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$，
$\therefore x=-1$和$x=3$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根。
解方程$(x-n)(x+3)=0$，得根为$x_1=n$，$x_2=-3$。
$\because$ 方程$ax^2+bx+c=0$的根为$-1$和$3$，不存在根$x=-3$，且两方程互为“同伴方程”，
$\therefore$ 两方程唯一相同的实数根只能为$n$，分两种情况：
① 当$n=-1$时，方程$(x-n)(x+3)=0$的根为$-1$和$-3$，与方程$ax^2+bx+c=0$有且只有一个相同实数根$x=-1$，符合题意；
② 当$n=3$时，方程$(x-n)(x+3)=0$的根为$3$和$-3$，与方程$ax^2+bx+c=0$有且只有一个相同实数根$x=3$，符合题意。
综上，$n$的值为$-1$或$3$。
(1) 解方程①$(x-1)^2=9$，得$x_1=4$，$x_2=-2$；
解方程②$x^2+4x+4=0$，得$x_1=x_2=-2$；
解方程③$x^2+2x-8=0$，得$x_1=2$，$x_2=-4$。
根据定义，①和②有且只有一个相同的实数根$x=-2$，互为“同伴方程”，其余两组方程均无相同实数根。
故答案为：$\boldsymbol{①②}$。
(2) 解方程$x^2-2x=0$，因式分解得$x(x-2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$。
分两种情况讨论：
① 若相同的实数根为$x=0$，将$x=0$代入$x^2+x+m-1=0$，得：
$0+0+m-1=0$，解得$m=1$。
此时方程$x^2+x+m-1=0$为$x^2+x=0$，解得根为$x_1=0$，$x_2=-1$，两方程有且只有一个相同实数根$x=0$，符合题意。
② 若相同的实数根为$x=2$，将$x=2$代入$x^2+x+m-1=0$，得：
$4+2+m-1=0$，解得$m=-5$。
此时方程$x^2+x+m-1=0$为$x^2+x-6=0$，解得根为$x_1=2$，$x_2=-3$，两方程有且只有一个相同实数根$x=2$，符合题意。
综上，$m$的值为$1$或$-5$。
(3) $\because$ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$，
$\therefore x=-1$和$x=3$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根。
解方程$(x-n)(x+3)=0$，得根为$x_1=n$，$x_2=-3$。
$\because$ 方程$ax^2+bx+c=0$的根为$-1$和$3$，不存在根$x=-3$，且两方程互为“同伴方程”，
$\therefore$ 两方程唯一相同的实数根只能为$n$，分两种情况：
① 当$n=-1$时，方程$(x-n)(x+3)=0$的根为$-1$和$-3$，与方程$ax^2+bx+c=0$有且只有一个相同实数根$x=-1$，符合题意；
② 当$n=3$时，方程$(x-n)(x+3)=0$的根为$3$和$-3$，与方程$ax^2+bx+c=0$有且只有一个相同实数根$x=3$，符合题意。
综上，$n$的值为$-1$或$3$。
解析
【分析】
(1) 判断“同伴方程”需先求出每个方程的全部实数根，再对比两组方程的公共根数量，仅有1个公共根即符合定义，因此先解三个方程得根后再比对即可。
(2) 先求解已知方程$x^2-2x=0$得到两个根，分公共根为两个根的两种情况，将公共根代入含m的方程求出m，再验证所得方程是否与原方程仅有1个公共根，确保符合“同伴方程”要求。
(3) 根据$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$可直接得到方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x=-1$和$x=3$，再解$(x-n)(x+3)=0$得根为$x=n$和$x=-3$，由于前一方程无$x=-3$的根，因此公共根只能是n与前一方程的其中一个根相等，分情况求解后验证即可。
【解析】
(1) 解方程①$(x-1)^2=9$，开方得$x-1=\pm3$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$；
解方程②$x^2+4x+4=0$，因式分解得$(x+2)^2=0$，解得$x_1=x_2=-2$；
解方程③$x^2+2x-8=0$，因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-4$。
对比可得①和②有且只有一个相同的实数根$x=-2$，其余组无相同实数根，因此互为“同伴方程”的是①②。
(2) 解方程$x^2-2x=0$，因式分解得$x(x-2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$，分两种情况讨论：
① 若相同的实数根为$x=0$，将$x=0$代入$x^2+x+m-1=0$，得$0+0+m-1=0$，解得$m=1$。
此时方程$x^2+x+m-1=0$为$x^2+x=0$，解得根为$x_1=0$，$x_2=-1$，两方程仅有一个相同实数根$x=0$，符合题意。
② 若相同的实数根为$x=2$，将$x=2$代入$x^2+x+m-1=0$，得$4+2+m-1=0$，解得$m=-5$。
此时方程$x^2+x+m-1=0$为$x^2+x-6=0$，解得根为$x_1=2$，$x_2=-3$，两方程仅有一个相同实数根$x=2$，符合题意。
综上，$m$的值为1或-5。
(3) $\because$ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$，
$\therefore x=-1$和$x=3$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根。
解方程$(x-n)(x+3)=0$，得根为$x_1=n$，$x_2=-3$。
$\because$ 方程$ax^2+bx+c=0$的根为$-1$和$3$，不存在根$x=-3$，且两方程互为“同伴方程”，
$\therefore$ 两方程唯一相同的实数根只能为$n$，分两种情况：
① 当$n=-1$时，方程$(x-n)(x+3)=0$的根为$-1$和$-3$，与方程$ax^2+bx+c=0$有且只有一个相同实数根$x=-1$，符合题意；
② 当$n=3$时，方程$(x-n)(x+3)=0$的根为$3$和$-3$，与方程$ax^2+bx+c=0$有且只有一个相同实数根$x=3$，符合题意。
综上，$n$的值为$-1$或$3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①②}$；(2) $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-5}$；(3) $\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法，新定义问题，一元二次方程根的意义
【点评】
本题以新定义“同伴方程”为载体，考查一元二次方程的相关知识，解题过程中需运用分类讨论思想，对可能的公共根情况逐一分析，求出结果后要注意验证是否符合定义要求，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 判断“同伴方程”需先求出每个方程的全部实数根，再对比两组方程的公共根数量，仅有1个公共根即符合定义，因此先解三个方程得根后再比对即可。
(2) 先求解已知方程$x^2-2x=0$得到两个根，分公共根为两个根的两种情况，将公共根代入含m的方程求出m，再验证所得方程是否与原方程仅有1个公共根，确保符合“同伴方程”要求。
(3) 根据$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$可直接得到方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x=-1$和$x=3$，再解$(x-n)(x+3)=0$得根为$x=n$和$x=-3$，由于前一方程无$x=-3$的根，因此公共根只能是n与前一方程的其中一个根相等，分情况求解后验证即可。
【解析】
(1) 解方程①$(x-1)^2=9$，开方得$x-1=\pm3$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$；
解方程②$x^2+4x+4=0$，因式分解得$(x+2)^2=0$，解得$x_1=x_2=-2$；
解方程③$x^2+2x-8=0$，因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-4$。
对比可得①和②有且只有一个相同的实数根$x=-2$，其余组无相同实数根，因此互为“同伴方程”的是①②。
(2) 解方程$x^2-2x=0$，因式分解得$x(x-2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$，分两种情况讨论：
① 若相同的实数根为$x=0$，将$x=0$代入$x^2+x+m-1=0$，得$0+0+m-1=0$，解得$m=1$。
此时方程$x^2+x+m-1=0$为$x^2+x=0$，解得根为$x_1=0$，$x_2=-1$，两方程仅有一个相同实数根$x=0$，符合题意。
② 若相同的实数根为$x=2$，将$x=2$代入$x^2+x+m-1=0$，得$4+2+m-1=0$，解得$m=-5$。
此时方程$x^2+x+m-1=0$为$x^2+x-6=0$，解得根为$x_1=2$，$x_2=-3$，两方程仅有一个相同实数根$x=2$，符合题意。
综上，$m$的值为1或-5。
(3) $\because$ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$，
$\therefore x=-1$和$x=3$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根。
解方程$(x-n)(x+3)=0$，得根为$x_1=n$，$x_2=-3$。
$\because$ 方程$ax^2+bx+c=0$的根为$-1$和$3$，不存在根$x=-3$，且两方程互为“同伴方程”，
$\therefore$ 两方程唯一相同的实数根只能为$n$，分两种情况：
① 当$n=-1$时，方程$(x-n)(x+3)=0$的根为$-1$和$-3$，与方程$ax^2+bx+c=0$有且只有一个相同实数根$x=-1$，符合题意；
② 当$n=3$时，方程$(x-n)(x+3)=0$的根为$3$和$-3$，与方程$ax^2+bx+c=0$有且只有一个相同实数根$x=3$，符合题意。
综上，$n$的值为$-1$或$3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①②}$；(2) $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-5}$；(3) $\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法，新定义问题，一元二次方程根的意义
【点评】
本题以新定义“同伴方程”为载体，考查一元二次方程的相关知识，解题过程中需运用分类讨论思想，对可能的公共根情况逐一分析，求出结果后要注意验证是否符合定义要求，避免漏解。
【难度系数】
0.6
