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1.【教材P129练习T1变式】下列选项中，∠α为圆周角的是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
要判断∠α是不是圆周角，首先要明确圆周角的两个判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交（即两边除顶点外，各自还和圆有一个公共点）。我们只需对照这两个条件逐一分析四个选项即可得到答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐一判断：
选项A：∠α的顶点在圆内部，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
选项B：∠α有一条边除顶点外不与圆相交，不满足判定条件，不是圆周角；
选项C：∠α的顶点在圆上，且两条边都与圆相交，完全符合圆周角的定义，是圆周角；
选项D：∠α的顶点是圆心，在圆内部，属于圆心角，不是圆周角。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角的定义,圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆周角判定条件的掌握，牢记两个判定要素即可快速选出正确答案，是圆相关概念的典型基础题。
【难度系数】
0.9
要判断∠α是不是圆周角，首先要明确圆周角的两个判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交（即两边除顶点外，各自还和圆有一个公共点）。我们只需对照这两个条件逐一分析四个选项即可得到答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐一判断：
选项A：∠α的顶点在圆内部，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
选项B：∠α有一条边除顶点外不与圆相交，不满足判定条件，不是圆周角；
选项C：∠α的顶点在圆上，且两条边都与圆相交，完全符合圆周角的定义，是圆周角；
选项D：∠α的顶点是圆心，在圆内部，属于圆心角，不是圆周角。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角的定义,圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆周角判定条件的掌握，牢记两个判定要素即可快速选出正确答案，是圆相关概念的典型基础题。
【难度系数】
0.9
2.在同圆中,同弦所对的圆周角(
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.互余
C
)A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.互余
答案
2.C 点拨:在同圆中,同弦所对的圆周角有两种情况:(1)在弦的同旁,(2)在弦的两旁.易错点:容易忽略第(2)种情况,即两圆周角互补.
解析
【分析】
解题时需结合圆周角定理，对同弦所对圆周角的位置分类讨论：首先回忆圆中一条弦对应两段弧，根据圆周角在弦的同侧或异侧两种情况，分别推导角的数量关系，避免遗漏异侧的情况。
【解析】
在同圆中，同一条弦所对的圆周角分两种情况：
1. 若两个圆周角在弦的同侧：此时两个圆周角对着同一段弧，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，可得这两个圆周角相等；
2. 若两个圆周角在弦的两侧：此时弦的两个端点和两个圆周角的顶点可组成圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得这两个圆周角互补；
若弦为直径，其所对的圆周角均为90°，此时两角既相等也互补，仍符合上述结论。因此同弦所对的圆周角相等或互补，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.圆周角定理 2.圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查圆周角相关性质的基础应用，解题的核心是要有分类讨论的意识，易错点是仅考虑同侧圆周角相等的情况，忽略异侧时两角互补的结论。
【难度系数】
0.7
解题时需结合圆周角定理，对同弦所对圆周角的位置分类讨论：首先回忆圆中一条弦对应两段弧，根据圆周角在弦的同侧或异侧两种情况，分别推导角的数量关系，避免遗漏异侧的情况。
【解析】
在同圆中，同一条弦所对的圆周角分两种情况：
1. 若两个圆周角在弦的同侧：此时两个圆周角对着同一段弧，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，可得这两个圆周角相等；
2. 若两个圆周角在弦的两侧：此时弦的两个端点和两个圆周角的顶点可组成圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得这两个圆周角互补；
若弦为直径，其所对的圆周角均为90°，此时两角既相等也互补，仍符合上述结论。因此同弦所对的圆周角相等或互补，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.圆周角定理 2.圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查圆周角相关性质的基础应用，解题的核心是要有分类讨论的意识，易错点是仅考虑同侧圆周角相等的情况，忽略异侧时两角互补的结论。
【难度系数】
0.7
3. AB是$\odot O$的弦，$∠ AOB=88°$，则弦AB所对的圆周角是(
A.$44°$
B.$44°$或$136°$
C.$136°$
D.$60°$
B
)A.$44°$
B.$44°$或$136°$
C.$136°$
D.$60°$
答案
3.B 点拨:弦所对的圆周角有两个.
解析
【分析】
首先回忆圆周角定理内容：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。其次要明确：圆中一条非直径的弦对应两条不同的弧（劣弧和优弧），因此弦所对的圆周角有两类，分别对应劣弧和优弧，需要分类讨论计算，避免漏解。第一步先计算劣弧AB对应的圆周角，第二步计算优弧AB对应的圆周角，综合得到最终结果。
【解析】
解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。
弦AB对应的弧有两种：劣弧AB和优弧AB，因此对应的圆周角分两种情况计算：
1. 当圆周角的顶点在优弧AB上时，该圆周角对应劣弧AB，劣弧AB所对圆心角为∠AOB=88°，
因此该圆周角的度数为$\frac{1}{2}×88°=44°$；
2. 当圆周角的顶点在劣弧AB上时，该圆周角对应优弧AB，优弧AB所对的圆心角为$360°-88°=272°$，
因此该圆周角的度数为$\frac{1}{2}×272°=136°$。
综上，弦AB所对的圆周角是44°或136°，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.圆周角定理
2.弦与圆周角的对应关系
【点评】
本题的易错点是忽略弦所对的圆周角有两种情况，仅计算出劣弧对应的44°就选择，解题时要注意分类讨论，全面考虑弦对应的两条不同弧对应的圆周角，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先回忆圆周角定理内容：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。其次要明确：圆中一条非直径的弦对应两条不同的弧（劣弧和优弧），因此弦所对的圆周角有两类，分别对应劣弧和优弧，需要分类讨论计算，避免漏解。第一步先计算劣弧AB对应的圆周角，第二步计算优弧AB对应的圆周角，综合得到最终结果。
【解析】
解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。
弦AB对应的弧有两种：劣弧AB和优弧AB，因此对应的圆周角分两种情况计算：
1. 当圆周角的顶点在优弧AB上时，该圆周角对应劣弧AB，劣弧AB所对圆心角为∠AOB=88°，
因此该圆周角的度数为$\frac{1}{2}×88°=44°$；
2. 当圆周角的顶点在劣弧AB上时，该圆周角对应优弧AB，优弧AB所对的圆心角为$360°-88°=272°$，
因此该圆周角的度数为$\frac{1}{2}×272°=136°$。
综上，弦AB所对的圆周角是44°或136°，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.圆周角定理
2.弦与圆周角的对应关系
【点评】
本题的易错点是忽略弦所对的圆周角有两种情况，仅计算出劣弧对应的44°就选择，解题时要注意分类讨论，全面考虑弦对应的两条不同弧对应的圆周角，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4. 如图29－2－22，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，若$∠ A=40°$，则$∠ B$的度数为（
A.$80°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
图29－2－22
图29－2－23
图29－2－24
C
）A.$80°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
图29－2－22
图29－2－23
图29－2－24
答案
4.C
解析
【分析】
解题思路：首先读取题干条件，AB是⊙O的直径且点C在圆上，结合圆周角定理的推论可先判断出△ABC是直角三角形，∠C为直角；再根据三角形内角和为180°，直角三角形两锐角互余的性质，代入已知的∠A的度数，就能算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°。
在△ABC中，内角和为180°，即∠A+∠B+∠ACB=180°，
已知∠A=40°，代入得：
∠B=180°-90°-40°=50°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论，三角形内角和定理，直角三角形性质
【点评】
本题是基础类考题，核心考察圆周角定理推论的应用，结合三角形内角和就能快速求解，是圆中角度计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先读取题干条件，AB是⊙O的直径且点C在圆上，结合圆周角定理的推论可先判断出△ABC是直角三角形，∠C为直角；再根据三角形内角和为180°，直角三角形两锐角互余的性质，代入已知的∠A的度数，就能算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°。
在△ABC中，内角和为180°，即∠A+∠B+∠ACB=180°，
已知∠A=40°，代入得：
∠B=180°-90°-40°=50°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论，三角形内角和定理，直角三角形性质
【点评】
本题是基础类考题，核心考察圆周角定理推论的应用，结合三角形内角和就能快速求解，是圆中角度计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
5.如图29－2－23，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上两点，BA平分$∠ CBD$.若$∠ AOD=50°$，则$∠ A$的度数为（
A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
A
）A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
答案
5.A
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：1. 先根据已知的圆心角∠AOD的度数，利用圆周角定理求出同弧所对的圆周角∠ABD的度数；2. 结合角平分线的定义，得到∠ABC的度数；3. 利用直径所对的圆周角为直角的性质，可知△ACB是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠ABD是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×50°=25°$，
∵BA平分$∠ CBD$，
∴$∠ ABC=∠ ABD=25°$，
又
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$Rt△ ACB$中，$∠ A+∠ ABC=90°$，
∴$∠ A=90°-25°=65°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题关键是熟练掌握圆周角相关定理及直径的性质，逐步推导角度即可得出结果，侧重考查学生对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.8
解题可按以下思路逐步推导：1. 先根据已知的圆心角∠AOD的度数，利用圆周角定理求出同弧所对的圆周角∠ABD的度数；2. 结合角平分线的定义，得到∠ABC的度数；3. 利用直径所对的圆周角为直角的性质，可知△ACB是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠ABD是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×50°=25°$，
∵BA平分$∠ CBD$，
∴$∠ ABC=∠ ABD=25°$，
又
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$Rt△ ACB$中，$∠ A+∠ ABC=90°$，
∴$∠ A=90°-25°=65°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题关键是熟练掌握圆周角相关定理及直径的性质，逐步推导角度即可得出结果，侧重考查学生对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.8
6.【教材P129例3变式】如图29－2－24，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦.若$∠ DCB＝45°$，$AD＝1$，则$AB＝$
$\sqrt{2}$
.答案
6.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察到AB是圆的直径，优先联想到“直径所对的圆周角为直角”这一推论，因此连接BD构造直角三角形ADB；再根据“同弧所对的圆周角相等”，可得∠DAB=∠DCB=45°，由此判断△ADB为等腰直角三角形，最后结合已知边长AD=1，利用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
连接BD，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵ $∠ DCB$和$∠ DAB$都是弧BD所对的圆周角，
∴ $∠ DAB=∠ DCB=45°$，
在$Rt△ ADB$中，$∠ ABD=90°-∠ DAB=45°$，
∴ $BD=AD=1$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理及其推论；等腰直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆周角定理应用的基础题型，解题关键是合理构造辅助线得到直角三角形，结合圆周角的性质推导角度关系即可求解，是巩固圆周角推论的典型习题。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察到AB是圆的直径，优先联想到“直径所对的圆周角为直角”这一推论，因此连接BD构造直角三角形ADB；再根据“同弧所对的圆周角相等”，可得∠DAB=∠DCB=45°，由此判断△ADB为等腰直角三角形，最后结合已知边长AD=1，利用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
连接BD，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵ $∠ DCB$和$∠ DAB$都是弧BD所对的圆周角，
∴ $∠ DAB=∠ DCB=45°$，
在$Rt△ ADB$中，$∠ ABD=90°-∠ DAB=45°$，
∴ $BD=AD=1$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理及其推论；等腰直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆周角定理应用的基础题型，解题关键是合理构造辅助线得到直角三角形，结合圆周角的性质推导角度关系即可求解，是巩固圆周角推论的典型习题。
【难度系数】
0.75
7.如图29－2－25，AC为$\odot O$的弦，点B在$\overset{\frown}{AC}$上，若$∠ CBO=58°$，$∠ CAO=20°$，则$∠ AOB$的度数为
$76°$
。 答案
7.$76°$ 点拨:如答图29-2-4，
答图29-2-4
连接 OC.$\because OA=OC=OB$,
$\therefore∠ A=∠ OCA=20°,∠ B=$$∠ OCB=58°,\therefore∠ ACB=$$∠ OCB-∠ OCA=58°-20°=38°$,
$\therefore∠ AOB=2∠ ACB=76°$.
解析
【分析】
要求圆心角∠AOB的度数，可结合圆周角定理求解，即先找到同弧AB所对的圆周角∠ACB，再利用“同弧所对圆心角是圆周角的2倍”计算∠AOB。已知条件给出的角均与半径相关，因此首先连接辅助线OC，利用圆的半径相等可得△OAC、△OBC均为等腰三角形，再根据等腰三角形等边对等角的性质求出∠OCA和∠OCB的度数，二者作差得到∠ACB，最后代入圆周角定理即可求出结果。
【解析】
解：连接OC，
∵ OA、OB、OC均为⊙O的半径，
∴ OA=OC=OB，
∴ ∠OCA=∠CAO=20°，∠OCB=∠CBO=58°，
∴ ∠ACB=∠OCB-∠OCA=58°-20°=38°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠AOB=2∠ACB=2×38°=76°。
【答案】
76°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形，将已知角转化得到所求圆心角对应的圆周角，熟练掌握圆的基本性质和等腰三角形性质是解题的前提。
【难度系数】
0.75
要求圆心角∠AOB的度数，可结合圆周角定理求解，即先找到同弧AB所对的圆周角∠ACB，再利用“同弧所对圆心角是圆周角的2倍”计算∠AOB。已知条件给出的角均与半径相关，因此首先连接辅助线OC，利用圆的半径相等可得△OAC、△OBC均为等腰三角形，再根据等腰三角形等边对等角的性质求出∠OCA和∠OCB的度数，二者作差得到∠ACB，最后代入圆周角定理即可求出结果。
【解析】
解：连接OC，
∵ OA、OB、OC均为⊙O的半径，
∴ OA=OC=OB，
∴ ∠OCA=∠CAO=20°，∠OCB=∠CBO=58°，
∴ ∠ACB=∠OCB-∠OCA=58°-20°=38°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠AOB=2∠ACB=2×38°=76°。
【答案】
76°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形，将已知角转化得到所求圆心角对应的圆周角，熟练掌握圆的基本性质和等腰三角形性质是解题的前提。
【难度系数】
0.75
8.如图29—2—26，∠ABC，∠ADC与∠AEC的关系是
$∠ ABC=∠ ADC=∠ AEC$
.答案
8.$∠ ABC=∠ ADC=∠ AEC$
解析
【分析】
解题时首先观察三个角的位置特征，先确定三个角是否为同一段弧所对的圆周角：∠ABC、∠ADC、∠AEC的顶点均在同一圆上，且都对应弧AC。再回忆圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，即可推导三个角的数量关系。
【解析】
由图可知，∠ABC、∠ADC、∠AEC都是同一段弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，因此可得∠ABC=∠ADC=∠AEC。
【答案】
∠ABC=∠ADC=∠AEC
【知识点】
1. 同弧所对圆周角相等
2. 圆周角的定义
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础应用题，解题的核心是准确识别三个角对应的公共弧，熟练掌握圆周角定理的推论即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察三个角的位置特征，先确定三个角是否为同一段弧所对的圆周角：∠ABC、∠ADC、∠AEC的顶点均在同一圆上，且都对应弧AC。再回忆圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，即可推导三个角的数量关系。
【解析】
由图可知，∠ABC、∠ADC、∠AEC都是同一段弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，因此可得∠ABC=∠ADC=∠AEC。
【答案】
∠ABC=∠ADC=∠AEC
【知识点】
1. 同弧所对圆周角相等
2. 圆周角的定义
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础应用题，解题的核心是准确识别三个角对应的公共弧，熟练掌握圆周角定理的推论即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
