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例1 分解因式：
(1)$x^2 +14x +49$； (2)$9x^2 -12x +4$；
(3)$\frac{1}{16}a^2b^2 - \frac{1}{2}ab +1$； (4)$a^2 +a + \frac{1}{4}$。
【思路导析】套用完全平方公式进行因式分解。
【请你解答】
(1)$x^2 +14x +49$； (2)$9x^2 -12x +4$；
(3)$\frac{1}{16}a^2b^2 - \frac{1}{2}ab +1$； (4)$a^2 +a + \frac{1}{4}$。
【思路导析】套用完全平方公式进行因式分解。
【请你解答】
答案
解：
(1) 原式$=x^2 + 2· x·7 +7^2$
$=(x+7)^2$
(2) 原式$=(3x)^2 - 2·3x·2 +2^2$
$=(3x-2)^2$
(3) 原式$=(\frac{1}{4}ab)^2 - 2·\frac{1}{4}ab·1 +1^2$
$=(\frac{1}{4}ab -1)^2$
(4) 原式$=a^2 + 2· a·\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$
$=(a+\frac{1}{2})^2$
(1) 原式$=x^2 + 2· x·7 +7^2$
$=(x+7)^2$
(2) 原式$=(3x)^2 - 2·3x·2 +2^2$
$=(3x-2)^2$
(3) 原式$=(\frac{1}{4}ab)^2 - 2·\frac{1}{4}ab·1 +1^2$
$=(\frac{1}{4}ab -1)^2$
(4) 原式$=a^2 + 2· a·\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$
$=(a+\frac{1}{2})^2$
解析
【分析】
这几道因式分解题均可使用完全平方公式求解，完全平方公式的结构为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先观察式子特征，找到式子中对应公式里$a^2$、$b^2$的两个平方项，再验证中间项是否为两个平方项底数乘积的2倍，确认符合完全平方式结构后，直接套用公式即可得到分解结果。
【解析】
(1) 原式$=x^2 + 2· x·7 +7^2$
$=(x+7)^2$
(2) 原式$=(3x)^2 - 2·3x·2 +2^2$
$=(3x-2)^2$
(3) 原式$=(\frac{1}{4}ab)^2 - 2·\frac{1}{4}ab·1 +1^2$
$=(\frac{1}{4}ab -1)^2$
(4) 原式$=a^2 + 2· a·\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$
$=(a+\frac{1}{2})^2$
【答案】
(1) $(x+7)^2$；(2) $(3x-2)^2$；(3) $(\frac{1}{4}ab -1)^2$；(4) $(a+\frac{1}{2})^2$
【知识点】
完全平方公式、公式法因式分解
【点评】
本题是利用完全平方公式分解因式的基础题型，解题核心是准确把握完全平方式“两个平方项同号，中间项是两底数乘积的2倍”的结构特征，找准公式中对应的$a$和$b$即可快速求解。
【难度系数】
0.85
这几道因式分解题均可使用完全平方公式求解，完全平方公式的结构为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先观察式子特征，找到式子中对应公式里$a^2$、$b^2$的两个平方项，再验证中间项是否为两个平方项底数乘积的2倍，确认符合完全平方式结构后，直接套用公式即可得到分解结果。
【解析】
(1) 原式$=x^2 + 2· x·7 +7^2$
$=(x+7)^2$
(2) 原式$=(3x)^2 - 2·3x·2 +2^2$
$=(3x-2)^2$
(3) 原式$=(\frac{1}{4}ab)^2 - 2·\frac{1}{4}ab·1 +1^2$
$=(\frac{1}{4}ab -1)^2$
(4) 原式$=a^2 + 2· a·\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$
$=(a+\frac{1}{2})^2$
【答案】
(1) $(x+7)^2$；(2) $(3x-2)^2$；(3) $(\frac{1}{4}ab -1)^2$；(4) $(a+\frac{1}{2})^2$
【知识点】
完全平方公式、公式法因式分解
【点评】
本题是利用完全平方公式分解因式的基础题型，解题核心是准确把握完全平方式“两个平方项同号，中间项是两底数乘积的2倍”的结构特征，找准公式中对应的$a$和$b$即可快速求解。
【难度系数】
0.85
例2 分解因式：
(1)$x^2y^2+\frac{2}{3}xy^3+\frac{1}{9}y^4$；
(2)$16a^4-8a^2b^2+b^4$；
(3)$x^2y-2x^2-y+2$；
(4)$4x^2-y^2-z^2+2yz$。
【思路导析】(1)二项式或三项式→提公因式
因式→$\begin{cases}两项用平方差公式 \\三项用完全平方公式\end{cases}$
(2)先进行分组，再运用平方差公式或完全平方公式进行因式分解。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 利用因式分解化简与求值
(1)$x^2y^2+\frac{2}{3}xy^3+\frac{1}{9}y^4$；
(2)$16a^4-8a^2b^2+b^4$；
(3)$x^2y-2x^2-y+2$；
(4)$4x^2-y^2-z^2+2yz$。
【思路导析】(1)二项式或三项式→提公因式
因式→$\begin{cases}两项用平方差公式 \\三项用完全平方公式\end{cases}$
(2)先进行分组，再运用平方差公式或完全平方公式进行因式分解。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 利用因式分解化简与求值
答案
解：
(1)
原式$=y^2(x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2)$
$=y^2(x + \frac{1}{3}y)^2$
(2)
原式$=(4a^2 - b^2)^2$
$=[(2a + b)(2a - b)]^2$
$=(2a + b)^2(2a - b)^2$
(3)
原式$=x^2(y - 2) - (y - 2)$
$=(y - 2)(x^2 - 1)$
$=(y - 2)(x + 1)(x - 1)$
(4)
原式$=4x^2 - (y^2 - 2yz + z^2)$
$=4x^2 - (y - z)^2$
$=(2x + y - z)(2x - y + z)$
(1)
原式$=y^2(x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2)$
$=y^2(x + \frac{1}{3}y)^2$
(2)
原式$=(4a^2 - b^2)^2$
$=[(2a + b)(2a - b)]^2$
$=(2a + b)^2(2a - b)^2$
(3)
原式$=x^2(y - 2) - (y - 2)$
$=(y - 2)(x^2 - 1)$
$=(y - 2)(x + 1)(x - 1)$
(4)
原式$=4x^2 - (y^2 - 2yz + z^2)$
$=4x^2 - (y - z)^2$
$=(2x + y - z)(2x - y + z)$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三分组、四查”的顺序解题：①先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；②再根据剩余因式的项数选择公式：三项优先考虑完全平方公式，两项优先考虑平方差公式；③四项及以上考虑合理分组，分组后能提取公因式或套用公式；④最后检查每个因式是否分解到不能再分解为止。
对应各小题思路：(1)先提取公因式$y^2$，剩余三项符合完全平方公式特征，套用公式即可；(2)原式三项符合完全平方公式特征，套用后得到的因式仍可使用平方差公式继续分解；(3)四项式按前两项、后两项两两分组，分组后可提取公因式$(y-2)$，剩余的$x^2-1$再用平方差分解；(4)四项式将后三项作为一组，添括号后符合完全平方公式特征，整体转化为两项平方差的形式，再套用平方差公式分解。
【解析】
(1) 先提取公因式$y^2$：
原式$=y^2(x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2)$
括号内三项符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x$，$b=\frac{1}{3}y$：
$=y^2(x + \frac{1}{3}y)^2$
(2) 原式符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=4a^2$，$b=b^2$：
原式$=(4a^2 - b^2)^2$
括号内$4a^2 - b^2$符合平方差公式，继续分解：
$=[(2a + b)(2a - b)]^2$
根据积的乘方运算展开：
$=(2a + b)^2(2a - b)^2$
(3) 采用两两分组，前两项提取$x^2$，后两项提取$-1$：
原式$=x^2(y - 2) - (y - 2)$
提取公因式$(y-2)$：
$=(y - 2)(x^2 - 1)$
$x^2-1$符合平方差公式，继续分解：
$=(y - 2)(x + 1)(x - 1)$
(4) 将后三项放入带负号的括号内，注意各项变号：
原式$=4x^2 - (y^2 - 2yz + z^2)$
括号内符合完全平方差公式，转化得：
$=4x^2 - (y - z)^2$
整体符合平方差公式，即$(2x)^2-(y-z)^2$，分解得：
$=(2x + y - z)(2x - y + z)$
【答案】
(1) $y^2(x+\frac{1}{3}y)^2$
(2) $(2a+b)^2(2a-b)^2$
(3) $(y-2)(x+1)(x-1)$
(4) $(2x+y-z)(2x-y+z)$
【知识点】
提公因式法，公式法分解因式，分组分解法
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时需严格按照“先提公因式，再套用公式，最后分组调整”的顺序操作，特别注意因式分解要彻底，直到所有因式都不能再分解为止，分组时需结合式子特征灵活选择分组方式，注意添去括号的符号变化。
【难度系数】
0.7
因式分解遵循“一提、二套、三分组、四查”的顺序解题：①先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；②再根据剩余因式的项数选择公式：三项优先考虑完全平方公式，两项优先考虑平方差公式；③四项及以上考虑合理分组，分组后能提取公因式或套用公式；④最后检查每个因式是否分解到不能再分解为止。
对应各小题思路：(1)先提取公因式$y^2$，剩余三项符合完全平方公式特征，套用公式即可；(2)原式三项符合完全平方公式特征，套用后得到的因式仍可使用平方差公式继续分解；(3)四项式按前两项、后两项两两分组，分组后可提取公因式$(y-2)$，剩余的$x^2-1$再用平方差分解；(4)四项式将后三项作为一组，添括号后符合完全平方公式特征，整体转化为两项平方差的形式，再套用平方差公式分解。
【解析】
(1) 先提取公因式$y^2$：
原式$=y^2(x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2)$
括号内三项符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x$，$b=\frac{1}{3}y$：
$=y^2(x + \frac{1}{3}y)^2$
(2) 原式符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=4a^2$，$b=b^2$：
原式$=(4a^2 - b^2)^2$
括号内$4a^2 - b^2$符合平方差公式，继续分解：
$=[(2a + b)(2a - b)]^2$
根据积的乘方运算展开：
$=(2a + b)^2(2a - b)^2$
(3) 采用两两分组，前两项提取$x^2$，后两项提取$-1$：
原式$=x^2(y - 2) - (y - 2)$
提取公因式$(y-2)$：
$=(y - 2)(x^2 - 1)$
$x^2-1$符合平方差公式，继续分解：
$=(y - 2)(x + 1)(x - 1)$
(4) 将后三项放入带负号的括号内，注意各项变号：
原式$=4x^2 - (y^2 - 2yz + z^2)$
括号内符合完全平方差公式，转化得：
$=4x^2 - (y - z)^2$
整体符合平方差公式，即$(2x)^2-(y-z)^2$，分解得：
$=(2x + y - z)(2x - y + z)$
【答案】
(1) $y^2(x+\frac{1}{3}y)^2$
(2) $(2a+b)^2(2a-b)^2$
(3) $(y-2)(x+1)(x-1)$
(4) $(2x+y-z)(2x-y+z)$
【知识点】
提公因式法，公式法分解因式，分组分解法
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时需严格按照“先提公因式，再套用公式，最后分组调整”的顺序操作，特别注意因式分解要彻底，直到所有因式都不能再分解为止，分组时需结合式子特征灵活选择分组方式，注意添去括号的符号变化。
【难度系数】
0.7
例3 (1)已知 $x+y=\frac{1}{2}$，求 $\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2$ 的值；
(2)已知 $a,b,c$ 为三角形的三边长，且满足 $a^2 + b^2 + c^2 +50=6a +8b +10c$，求 $a,b,c$ 的值.
【思路导析】(1)首项为分数因式时，要提取分数 $\frac{1}{2}$.多项式提取公因式之后为 $x^2 +2xy + y^2$，是完全平方式，再利用公式法可凑出 $x+y$ 的项.(2)将50拆成9、16、25的和，然后运用完全平方公式得到三个完全平方和的形式.
【示范解答】(1) $\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}(x^2 +2xy + y^2) = \frac{1}{2}(x+y)^2$.
把 $x+y=\frac{1}{2}$ 代入，得原式 $=\frac{1}{2} × (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{8}$.
(2) $\because a^2 + b^2 + c^2 +50=6a +8b +10c$，
$\therefore (a^2 -6a +9)+(b^2 -8b +16)+(c^2 -10c +25)=0$，
$\therefore (a-3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2=0$，
$\therefore a-3=0,\ b-4=0,\ c-5=0$，
即 $a=3,\ b=4,\ c=5$.
(2)已知 $a,b,c$ 为三角形的三边长，且满足 $a^2 + b^2 + c^2 +50=6a +8b +10c$，求 $a,b,c$ 的值.
【思路导析】(1)首项为分数因式时，要提取分数 $\frac{1}{2}$.多项式提取公因式之后为 $x^2 +2xy + y^2$，是完全平方式，再利用公式法可凑出 $x+y$ 的项.(2)将50拆成9、16、25的和，然后运用完全平方公式得到三个完全平方和的形式.
【示范解答】(1) $\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}(x^2 +2xy + y^2) = \frac{1}{2}(x+y)^2$.
把 $x+y=\frac{1}{2}$ 代入，得原式 $=\frac{1}{2} × (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{8}$.
(2) $\because a^2 + b^2 + c^2 +50=6a +8b +10c$，
$\therefore (a^2 -6a +9)+(b^2 -8b +16)+(c^2 -10c +25)=0$，
$\therefore (a-3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2=0$，
$\therefore a-3=0,\ b-4=0,\ c-5=0$，
即 $a=3,\ b=4,\ c=5$.
答案
解：
(1)
$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2$
$=\frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2)$
$=\frac{1}{2}(x+y)^2$
将$x+y=\frac{1}{2}$代入，得
原式$=\frac{1}{2} × (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{8}$
(2)
$\because a^2 + b^2 + c^2 + 50 = 6a + 8b + 10c$
$\therefore a^2 -6a +9 + b^2 -8b +16 + c^2 -10c +25 = 0$
$\therefore (a-3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 0$
$\because (a-3)^2 ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$，$(c-5)^2 ≥ 0$
$\therefore a-3=0$，$b-4=0$，$c-5=0$
$\therefore a=3$，$b=4$，$c=5$
(1)
$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2$
$=\frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2)$
$=\frac{1}{2}(x+y)^2$
将$x+y=\frac{1}{2}$代入，得
原式$=\frac{1}{2} × (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{8}$
(2)
$\because a^2 + b^2 + c^2 + 50 = 6a + 8b + 10c$
$\therefore a^2 -6a +9 + b^2 -8b +16 + c^2 -10c +25 = 0$
$\therefore (a-3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 0$
$\because (a-3)^2 ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$，$(c-5)^2 ≥ 0$
$\therefore a-3=0$，$b-4=0$，$c-5=0$
$\therefore a=3$，$b=4$，$c=5$
解析
【分析】
(1) 先观察所求代数式的结构，各项有公因式$\frac{1}{2}$，先提取公因式，剩余的$x^2+2xy+y^2$符合完全平方和的公式结构，可转化为$(x+y)^2$，此时代数式整体仅含$x+y$这一未知项，代入已知的$x+y=\frac{1}{2}$即可计算出结果。
(2) 先将等式右侧的含字母项全部移到左侧，再把常数项50拆分为9、16、25三个数，分别和$a^2-6a$、$b^2-8b$、$c^2-10c$配对，凑成三个完全平方的和，根据平方的非负性，几个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，即可分别求出a、b、c的值。
【解析】
(1)
$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2$
$=\frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2)$
$=\frac{1}{2}(x+y)^2$
将$x+y=\frac{1}{2}$代入，得
原式$=\frac{1}{2} × (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{8}$
(2)
$\because a^2 + b^2 + c^2 + 50 = 6a + 8b + 10c$
$\therefore a^2 -6a +9 + b^2 -8b +16 + c^2 -10c +25 = 0$
$\therefore (a-3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 0$
$\because (a-3)^2 ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$，$(c-5)^2 ≥ 0$
$\therefore a-3=0$，$b-4=0$，$c-5=0$
$\therefore a=3$，$b=4$，$c=5$
【答案】
(1) $\frac{1}{8}$；(2) $a=3$，$b=4$，$c=5$
【知识点】
完全平方公式，因式分解应用，非负数性质
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，第一问通过因式分解实现整体代入求值，第二问通过配方法构造完全平方式，结合非负数的性质求解，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察所求代数式的结构，各项有公因式$\frac{1}{2}$，先提取公因式，剩余的$x^2+2xy+y^2$符合完全平方和的公式结构，可转化为$(x+y)^2$，此时代数式整体仅含$x+y$这一未知项，代入已知的$x+y=\frac{1}{2}$即可计算出结果。
(2) 先将等式右侧的含字母项全部移到左侧，再把常数项50拆分为9、16、25三个数，分别和$a^2-6a$、$b^2-8b$、$c^2-10c$配对，凑成三个完全平方的和，根据平方的非负性，几个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，即可分别求出a、b、c的值。
【解析】
(1)
$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2$
$=\frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2)$
$=\frac{1}{2}(x+y)^2$
将$x+y=\frac{1}{2}$代入，得
原式$=\frac{1}{2} × (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{8}$
(2)
$\because a^2 + b^2 + c^2 + 50 = 6a + 8b + 10c$
$\therefore a^2 -6a +9 + b^2 -8b +16 + c^2 -10c +25 = 0$
$\therefore (a-3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 0$
$\because (a-3)^2 ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$，$(c-5)^2 ≥ 0$
$\therefore a-3=0$，$b-4=0$，$c-5=0$
$\therefore a=3$，$b=4$，$c=5$
【答案】
(1) $\frac{1}{8}$；(2) $a=3$，$b=4$，$c=5$
【知识点】
完全平方公式，因式分解应用，非负数性质
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，第一问通过因式分解实现整体代入求值，第二问通过配方法构造完全平方式，结合非负数的性质求解，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的核心。
【难度系数】
0.7
