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例1 计算：
(1)$( \dfrac{x+2}{x^2 - 2x} - \dfrac{x-1}{x^2 -4x +4} ) ÷ \dfrac{4 -x}{x}$；
(2)$\dfrac{x}{x - y} · \dfrac{y^2}{x + y} - \dfrac{x^4 y}{x^4 - y^4} ÷ \dfrac{x^2}{x^2 + y^2}$。
【思路导析】1. 先做括号里的减法，再把除法变成乘法。
2. 先算乘除，再算减法。
【请你解答】
互动探究 ▶▶ 探究解题规律 总结方法技巧
(1)$( \dfrac{x+2}{x^2 - 2x} - \dfrac{x-1}{x^2 -4x +4} ) ÷ \dfrac{4 -x}{x}$；
(2)$\dfrac{x}{x - y} · \dfrac{y^2}{x + y} - \dfrac{x^4 y}{x^4 - y^4} ÷ \dfrac{x^2}{x^2 + y^2}$。
【思路导析】1. 先做括号里的减法，再把除法变成乘法。
2. 先算乘除，再算减法。
【请你解答】
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答案
解：
(1) 先对各分母因式分解：
$\begin{aligned}原式&=[\dfrac{x+2}{x(x-2)} - \dfrac{x-1}{(x-2)^2}] · \dfrac{x}{4-x}\\&=[\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2} - \dfrac{x(x-1)}{x(x-2)^2}] · \dfrac{x}{4-x}\\&=\dfrac{x^2-4 - x^2 + x}{x(x-2)^2} · \dfrac{x}{4-x}\\&=\dfrac{x-4}{x(x-2)^2} · \dfrac{x}{4-x}\\&=\dfrac{-(4-x)}{x(x-2)^2} · \dfrac{x}{4-x}\\&=-\dfrac{1}{(x-2)^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解再计算乘除：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{xy^2}{(x-y)(x+y)} - \dfrac{x^4 y}{(x^2-y^2)(x^2+y^2)} · \dfrac{x^2+y^2}{x^2}\\&=\dfrac{xy^2}{(x-y)(x+y)} - \dfrac{x^2 y}{(x-y)(x+y)}\\&=\dfrac{xy^2 - x^2 y}{(x-y)(x+y)}\\&=\dfrac{xy(y-x)}{(x-y)(x+y)}\\&=\dfrac{-xy(x-y)}{(x-y)(x+y)}\\&=-\dfrac{xy}{x+y}\end{aligned}$
(1) 先对各分母因式分解：
$\begin{aligned}原式&=[\dfrac{x+2}{x(x-2)} - \dfrac{x-1}{(x-2)^2}] · \dfrac{x}{4-x}\\&=[\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2} - \dfrac{x(x-1)}{x(x-2)^2}] · \dfrac{x}{4-x}\\&=\dfrac{x^2-4 - x^2 + x}{x(x-2)^2} · \dfrac{x}{4-x}\\&=\dfrac{x-4}{x(x-2)^2} · \dfrac{x}{4-x}\\&=\dfrac{-(4-x)}{x(x-2)^2} · \dfrac{x}{4-x}\\&=-\dfrac{1}{(x-2)^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解再计算乘除：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{xy^2}{(x-y)(x+y)} - \dfrac{x^4 y}{(x^2-y^2)(x^2+y^2)} · \dfrac{x^2+y^2}{x^2}\\&=\dfrac{xy^2}{(x-y)(x+y)} - \dfrac{x^2 y}{(x-y)(x+y)}\\&=\dfrac{xy^2 - x^2 y}{(x-y)(x+y)}\\&=\dfrac{xy(y-x)}{(x-y)(x+y)}\\&=\dfrac{-xy(x-y)}{(x-y)(x+y)}\\&=-\dfrac{xy}{x+y}\end{aligned}$
解析
【分析】
本题是分式混合运算的典型计算题，遵循分式运算规则逐步求解：
(1) 先处理括号内的减法运算：首先对各分式的分母因式分解，找到最简公分母进行通分，再计算分子的减法；之后将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；最后对分子分母中互为相反数的因式（如x-4和4-x）变形后约分，得到最简结果即可。
(2) 按照先乘除后加减的运算顺序计算：先计算乘除部分，将除法转化为乘法后，对分母因式分解再约分；再计算减法运算，通分后合并分子，对互为相反数的因式变形后约分，得到最简结果即可。
【解析】
(1) 先对各分母因式分解：
$\begin{aligned}原式&=[\dfrac{x+2}{x(x-2)} - \dfrac{x-1}{(x-2)^2}] · \dfrac{x}{4-x}\\&=[\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2} - \dfrac{x(x-1)}{x(x-2)^2}] · \dfrac{x}{4-x}\\&=\dfrac{x^2-4 - x^2 + x}{x(x-2)^2} · \dfrac{x}{4-x}\\&=\dfrac{x-4}{x(x-2)^2} · \dfrac{x}{4-x}\\&=\dfrac{-(4-x)}{x(x-2)^2} · \dfrac{x}{4-x}\\&=-\dfrac{1}{(x-2)^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解再计算乘除：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{xy^2}{(x-y)(x+y)} - \dfrac{x^4 y}{(x^2-y^2)(x^2+y^2)} · \dfrac{x^2+y^2}{x^2}\\&=\dfrac{xy^2}{(x-y)(x+y)} - \dfrac{x^2 y}{(x-y)(x+y)}\\&=\dfrac{xy^2 - x^2 y}{(x-y)(x+y)}\\&=\dfrac{xy(y-x)}{(x-y)(x+y)}\\&=\dfrac{-xy(x-y)}{(x-y)(x+y)}\\&=-\dfrac{xy}{x+y}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{(x-2)^2}$；(2) $-\dfrac{xy}{x+y}$
【知识点】
1.分式混合运算 2.因式分解 3.分式通分约分
【点评】
本题侧重考查分式运算的基础能力，运算时要严格遵循运算顺序，通分、约分时要注意因式的符号变化，尤其是互为相反数的因式变形时不要漏写负号，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.65
本题是分式混合运算的典型计算题，遵循分式运算规则逐步求解：
(1) 先处理括号内的减法运算：首先对各分式的分母因式分解，找到最简公分母进行通分，再计算分子的减法；之后将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；最后对分子分母中互为相反数的因式（如x-4和4-x）变形后约分，得到最简结果即可。
(2) 按照先乘除后加减的运算顺序计算：先计算乘除部分，将除法转化为乘法后，对分母因式分解再约分；再计算减法运算，通分后合并分子，对互为相反数的因式变形后约分，得到最简结果即可。
【解析】
(1) 先对各分母因式分解：
$\begin{aligned}原式&=[\dfrac{x+2}{x(x-2)} - \dfrac{x-1}{(x-2)^2}] · \dfrac{x}{4-x}\\&=[\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2} - \dfrac{x(x-1)}{x(x-2)^2}] · \dfrac{x}{4-x}\\&=\dfrac{x^2-4 - x^2 + x}{x(x-2)^2} · \dfrac{x}{4-x}\\&=\dfrac{x-4}{x(x-2)^2} · \dfrac{x}{4-x}\\&=\dfrac{-(4-x)}{x(x-2)^2} · \dfrac{x}{4-x}\\&=-\dfrac{1}{(x-2)^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解再计算乘除：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{xy^2}{(x-y)(x+y)} - \dfrac{x^4 y}{(x^2-y^2)(x^2+y^2)} · \dfrac{x^2+y^2}{x^2}\\&=\dfrac{xy^2}{(x-y)(x+y)} - \dfrac{x^2 y}{(x-y)(x+y)}\\&=\dfrac{xy^2 - x^2 y}{(x-y)(x+y)}\\&=\dfrac{xy(y-x)}{(x-y)(x+y)}\\&=\dfrac{-xy(x-y)}{(x-y)(x+y)}\\&=-\dfrac{xy}{x+y}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{(x-2)^2}$；(2) $-\dfrac{xy}{x+y}$
【知识点】
1.分式混合运算 2.因式分解 3.分式通分约分
【点评】
本题侧重考查分式运算的基础能力，运算时要严格遵循运算顺序，通分、约分时要注意因式的符号变化，尤其是互为相反数的因式变形时不要漏写负号，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.65
例2 先化简，后求值：
$(1+\dfrac{1}{x-2})÷\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-4}$，其中$x=-5$。
【思路导析】先按分式混合运算的顺序进行化简，再把$x=-5$代入化简后的式子求解。
【示范解答】
原式$=(\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{1}{x-2})÷\dfrac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}$
（先通分再分解因式）
$=\dfrac{x-1}{x-2}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}$
（除法变乘法）
$=\dfrac{x+2}{x-1}$，
（约分后相乘）
当$x=-5$时，原式$=\dfrac{-5+2}{-5-1}=\dfrac{-3}{-6}=\dfrac{1}{2}$。
（代入求值）
$(1+\dfrac{1}{x-2})÷\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-4}$，其中$x=-5$。
【思路导析】先按分式混合运算的顺序进行化简，再把$x=-5$代入化简后的式子求解。
【示范解答】
原式$=(\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{1}{x-2})÷\dfrac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}$
（先通分再分解因式）
$=\dfrac{x-1}{x-2}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}$
（除法变乘法）
$=\dfrac{x+2}{x-1}$，
（约分后相乘）
当$x=-5$时，原式$=\dfrac{-5+2}{-5-1}=\dfrac{-3}{-6}=\dfrac{1}{2}$。
（代入求值）
答案
解：
原式$=(\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{1}{x-2})÷\dfrac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}$
$=\dfrac{x-1}{x-2}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{x+2}{x-1}$
当$x=-5$时，
原式$=\dfrac{-5+2}{-5-1}=\dfrac{-3}{-6}=\dfrac{1}{2}$
原式$=(\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{1}{x-2})÷\dfrac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}$
$=\dfrac{x-1}{x-2}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{x+2}{x-1}$
当$x=-5$时，
原式$=\dfrac{-5+2}{-5-1}=\dfrac{-3}{-6}=\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的原则解题。第一步计算括号内的分式加法：将整数1通分为分母为$x-2$的分式，再和$\dfrac{1}{x-2}$相加；第二步处理分式除法：先将分子、分母分别因式分解（$x^2-2x+1$用完全平方公式分解，$x^2-4$用平方差公式分解），再根据“除以一个分式等于乘这个分式的倒数”，将除法转化为乘法运算；第三步对分式约分得到最简结果，最后将$x=-5$代入最简式计算即可，避免直接代入原式增大计算量。
【解析】
原式$=(\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{1}{x-2})÷\dfrac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}$
$=\dfrac{x-1}{x-2}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{x+2}{x-1}$
当$x=-5$时，
原式$=\dfrac{-5+2}{-5-1}=\dfrac{-3}{-6}=\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，重点考察分式加减乘除运算法则的掌握，以及因式分解在分式约分中的应用。运算过程中需注意通分、约分的规则，除法转乘法时要颠倒除式的分子分母，先化简后代入求值的方式可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的原则解题。第一步计算括号内的分式加法：将整数1通分为分母为$x-2$的分式，再和$\dfrac{1}{x-2}$相加；第二步处理分式除法：先将分子、分母分别因式分解（$x^2-2x+1$用完全平方公式分解，$x^2-4$用平方差公式分解），再根据“除以一个分式等于乘这个分式的倒数”，将除法转化为乘法运算；第三步对分式约分得到最简结果，最后将$x=-5$代入最简式计算即可，避免直接代入原式增大计算量。
【解析】
原式$=(\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{1}{x-2})÷\dfrac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}$
$=\dfrac{x-1}{x-2}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{x+2}{x-1}$
当$x=-5$时，
原式$=\dfrac{-5+2}{-5-1}=\dfrac{-3}{-6}=\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，重点考察分式加减乘除运算法则的掌握，以及因式分解在分式约分中的应用。运算过程中需注意通分、约分的规则，除法转乘法时要颠倒除式的分子分母，先化简后代入求值的方式可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
化简：$(\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1})·\frac{x^2 -1}{x}$. 下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是.(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程.
(1)甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是.(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程.
答案
解：
(1) ②；③
(2) 选择乙同学的解法，完整解答过程如下：
原式$=\frac{x}{x+1}·\frac{x^2-1}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{x^2-1}{x}$
$=\frac{x}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=(x-1)+(x+1)$
$=x-1+x+1$
$=2x$
(1) ②；③
(2) 选择乙同学的解法，完整解答过程如下：
原式$=\frac{x}{x+1}·\frac{x^2-1}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{x^2-1}{x}$
$=\frac{x}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=(x-1)+(x+1)$
$=x-1+x+1$
$=2x$
解析
【分析】
(1) 甲同学先将异分母分式通分为同分母分式，通分的依据是分式的基本性质，对应序号②；乙同学把括号外的项分别乘括号内的两个分式再求和，依据是乘法分配律，对应序号③。
(2) 选择乙同学的解法更简便，首先利用乘法分配律展开，再将$x^2-1$用平方差公式因式分解，随后约分，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
(1) 甲同学通分利用分式的基本性质，选②；乙同学利用乘法分配律展开计算，选③。
(2) 选择乙同学的解法，完整解答过程如下：
原式$=\frac{x}{x+1}·\frac{x^2-1}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{x^2-1}{x}$
$=\frac{x}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=(x-1)+(x+1)$
$=x-1+x+1$
$=2x$
【答案】
(1) $\boxed{②}$；$\boxed{③}$
(2) 化简结果为$\boxed{2x}$
【知识点】
分式的混合运算，乘法分配律，平方差公式
【点评】
本题考查分式的化简运算，解题时可根据式子特点灵活选择运算方法，使用乘法分配律能有效简化计算步骤，减少运算错误，运算过程中要注意因式分解的正确应用及约分时分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
(1) 甲同学先将异分母分式通分为同分母分式，通分的依据是分式的基本性质，对应序号②；乙同学把括号外的项分别乘括号内的两个分式再求和，依据是乘法分配律，对应序号③。
(2) 选择乙同学的解法更简便，首先利用乘法分配律展开，再将$x^2-1$用平方差公式因式分解，随后约分，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
(1) 甲同学通分利用分式的基本性质，选②；乙同学利用乘法分配律展开计算，选③。
(2) 选择乙同学的解法，完整解答过程如下：
原式$=\frac{x}{x+1}·\frac{x^2-1}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{x^2-1}{x}$
$=\frac{x}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}+\frac{x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=(x-1)+(x+1)$
$=x-1+x+1$
$=2x$
【答案】
(1) $\boxed{②}$；$\boxed{③}$
(2) 化简结果为$\boxed{2x}$
【知识点】
分式的混合运算，乘法分配律，平方差公式
【点评】
本题考查分式的化简运算，解题时可根据式子特点灵活选择运算方法，使用乘法分配律能有效简化计算步骤，减少运算错误，运算过程中要注意因式分解的正确应用及约分时分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
