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1. 周长是4 m的矩形的面积 $S(\mathrm{m}^2)$与一边长 $x(\mathrm{m})$之间的函数图象大致是（
D
）答案
D
解析
【分析】
解决这类函数图像问题，我们可以分三步思考：第一步，根据矩形的周长、面积公式推导面积S和边长x的函数关系式；第二步，结合边长为正的实际要求，确定自变量x的取值范围；第三步，根据函数类型判断图像形状，结合顶点、端点等关键点的特征匹配选项即可。
【解析】
已知矩形周长为4m，一边长为$x$ m，则另一边长为$\frac{4}{2}-x=(2-x)$ m。
根据边长为正的实际要求，可得$\begin{cases}x＞0 \\ 2-x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜2$。
矩形面积$S=x·(2-x)=-x^2+2x$，这是二次函数，二次项系数为$-1＜0$，因此函数图像开口向下。
将函数配方得$S=-(x-1)^2+1$，可知函数顶点坐标为$(1,1)$，即当$x=1$时，$S$取最大值1。
当$x=0$或$x=2$时，$S=0$，因$x$不能取0和2，因此图像两端为空心点。
对比选项，仅D符合上述特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图像与性质；矩形周长与面积计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积问题考查二次函数图像，解题的关键是正确推导函数关系式，同时不要忽略自变量的实际取值范围，避免错选完整的抛物线图像。
【难度系数】
0.7
解决这类函数图像问题，我们可以分三步思考：第一步，根据矩形的周长、面积公式推导面积S和边长x的函数关系式；第二步，结合边长为正的实际要求，确定自变量x的取值范围；第三步，根据函数类型判断图像形状，结合顶点、端点等关键点的特征匹配选项即可。
【解析】
已知矩形周长为4m，一边长为$x$ m，则另一边长为$\frac{4}{2}-x=(2-x)$ m。
根据边长为正的实际要求，可得$\begin{cases}x＞0 \\ 2-x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜2$。
矩形面积$S=x·(2-x)=-x^2+2x$，这是二次函数，二次项系数为$-1＜0$，因此函数图像开口向下。
将函数配方得$S=-(x-1)^2+1$，可知函数顶点坐标为$(1,1)$，即当$x=1$时，$S$取最大值1。
当$x=0$或$x=2$时，$S=0$，因$x$不能取0和2，因此图像两端为空心点。
对比选项，仅D符合上述特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图像与性质；矩形周长与面积计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积问题考查二次函数图像，解题的关键是正确推导函数关系式，同时不要忽略自变量的实际取值范围，避免错选完整的抛物线图像。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,若AC+BD=12,则四边形ABCD面积的最大值为 
(
A.6
B.18
C.36
D.144
(
B
)A.6
B.18
C.36
D.144
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先我们需要明确对角线互相垂直的四边形的面积计算方法：面积等于两条对角线乘积的一半。已知两条对角线的和为12，我们可以设其中一条对角线的长度为自变量，把面积表示为关于自变量的二次函数，再利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
设AC的长度为$ x $（$ 0＜x＜12 $），由$ AC+BD=12 $可得$ BD=12-x $。
因为$ AC⊥ BD $，所以四边形ABCD的面积：
$ S=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}x(12-x) $
整理得：$ S=-\frac{1}{2}x^2+6x $
这是一个开口向下的二次函数，其中$ a=-\frac{1}{2} $，$ b=6 $，当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-\frac{1}{2})}=6 $时，$ S $取得最大值。
将$ x=6 $代入得：$ S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×6×(12-6)=18 $
【答案】
B
【知识点】
1. 对角线垂直的四边形面积计算
2. 二次函数最值应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题的关键是先根据几何图形的特征写出面积表达式，再转化为二次函数求最值，能有效考查学生对基础公式的掌握和综合应用知识的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先我们需要明确对角线互相垂直的四边形的面积计算方法：面积等于两条对角线乘积的一半。已知两条对角线的和为12，我们可以设其中一条对角线的长度为自变量，把面积表示为关于自变量的二次函数，再利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
设AC的长度为$ x $（$ 0＜x＜12 $），由$ AC+BD=12 $可得$ BD=12-x $。
因为$ AC⊥ BD $，所以四边形ABCD的面积：
$ S=\frac{1}{2}· AC· BD=\frac{1}{2}x(12-x) $
整理得：$ S=-\frac{1}{2}x^2+6x $
这是一个开口向下的二次函数，其中$ a=-\frac{1}{2} $，$ b=6 $，当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-\frac{1}{2})}=6 $时，$ S $取得最大值。
将$ x=6 $代入得：$ S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×6×(12-6)=18 $
【答案】
B
【知识点】
1. 对角线垂直的四边形面积计算
2. 二次函数最值应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题的关键是先根据几何图形的特征写出面积表达式，再转化为二次函数求最值，能有效考查学生对基础公式的掌握和综合应用知识的能力。
【难度系数】
0.7
3. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方。如图
，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动。设AQ为$x(\mathrm{km})(0≤ x≤ n)$，$PQ^2$为$y(\mathrm{km}^2)$。如图
，$y$关于$x$的函数图象与$y$轴交于点$C$，最低点$D(m,81)$，且经过$E(1,225)$和$F(n,225)$两点。下列选项正确的是 (
A.$m=12$
B.$n=24$
C.点$C$的纵坐标为$240$
D.点$(15,85)$在该函数图象上
，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动。设AQ为$x(\mathrm{km})(0≤ x≤ n)$，$PQ^2$为$y(\mathrm{km}^2)$。如图，$y$关于$x$的函数图象与$y$轴交于点$C$，最低点$D(m,81)$，且经过$E(1,225)$和$F(n,225)$两点。下列选项正确的是 (D
)A.$m=12$
B.$n=24$
C.点$C$的纵坐标为$240$
D.点$(15,85)$在该函数图象上
答案
D
【解析】如图，连结AP,BP，作$PG⊥AB$于点G，当$x=1$时，动点Q运动到点H的位置，连结PH，则由题意和图象可知$PH^2=225$，当点Q运动到点G的位置时，$PQ^2$最小，即$PG^2=81$，$HG=m-1$。
在$\mathrm{Rt}△PGH$中，由勾股定理，得$225=81+(m-1)^2$，
所以$m=13$，所以A错误。
所以$AG=m=13$，$HG=m-1=12$。
当$x=n$时，点Q运动到点B的位置，则$PB^2=225=PH^2$，
所以$PB=PH$。
因为$PG⊥AB$，所以$BG=HG=12$，所以$AB=13+12=25$，即$n=25$，
所以选项B错误。
当$x=0$，即点Q在A处时，
$AP^2=AG^2+PG^2=13^2+81=250$，
所以点C的纵坐标为250，所以选项C错误。
当$x=15$时，点Q运动到点K，连结PK，所以$AK=15$，
所以$GK=AK-AG=2$，
所以$PK^2=KG^2+PG^2=4+81=85$，
所以点$(15,85)$在该函数图象上，
所以选项D正确。
解析
【分析】
解题时需将函数图象的特征和几何性质对应分析：首先根据“垂线段最短”可知，PQ²的最小值对应点P到AB的垂线段长度的平方，即函数最低点D的纵坐标81就是垂线段PG的平方。再观察到E、F两点纵坐标相等，说明两点到P的距离相等，对应几何中PH=PB，结合等腰三角形三线合一性质可得G是HB的中点。接下来先通过勾股定理计算m的值，再根据对称关系求n，随后计算x=0时的y值得出C点纵坐标，最后验证x=15时的y值判断D选项即可。
【解析】
连接AP、BP，作$PG⊥AB$于点G。
由垂线段最短可知，当Q与垂足G重合时$PQ^2$最小，即$PG^2=81$，此时$AQ=AG=m$。
当$x=1$时，Q运动到H点，$PQ^2=PH^2=225$，即$PH=15$。
在$\mathrm{Rt}△PGH$中，$PG=9$，$HG=m-1$，由勾股定理得：
$225=81+(m-1)^2$，解得$(m-1)^2=144$，因$m＞1$，故$m=13$，A选项错误。
当$x=n$时，$PQ^2=225=PH^2$，即$PB=PH$，又$PG⊥AB$，根据等腰三角形三线合一得$BG=HG=12$，因此$AB=AG+BG=13+12=25$，即$n=25$，B选项错误。
当$x=0$时，Q与A重合，$PQ^2=AP^2=AG^2+PG^2=13^2+9^2=250$，即点C纵坐标为250，C选项错误。
当$x=15$时，$AQ=15$，$GQ=15-13=2$，由勾股定理得$PQ^2=2^2+81=85$，即$y=85$，因此点$(15,85)$在函数图象上，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短，勾股定理，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，核心是建立函数坐标与几何线段的对应关系，结合数形结合思想，运用勾股定理、等腰三角形性质逐步推导，能有效考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时需将函数图象的特征和几何性质对应分析：首先根据“垂线段最短”可知，PQ²的最小值对应点P到AB的垂线段长度的平方，即函数最低点D的纵坐标81就是垂线段PG的平方。再观察到E、F两点纵坐标相等，说明两点到P的距离相等，对应几何中PH=PB，结合等腰三角形三线合一性质可得G是HB的中点。接下来先通过勾股定理计算m的值，再根据对称关系求n，随后计算x=0时的y值得出C点纵坐标，最后验证x=15时的y值判断D选项即可。
【解析】
连接AP、BP，作$PG⊥AB$于点G。
由垂线段最短可知，当Q与垂足G重合时$PQ^2$最小，即$PG^2=81$，此时$AQ=AG=m$。
当$x=1$时，Q运动到H点，$PQ^2=PH^2=225$，即$PH=15$。
在$\mathrm{Rt}△PGH$中，$PG=9$，$HG=m-1$，由勾股定理得：
$225=81+(m-1)^2$，解得$(m-1)^2=144$，因$m＞1$，故$m=13$，A选项错误。
当$x=n$时，$PQ^2=225=PH^2$，即$PB=PH$，又$PG⊥AB$，根据等腰三角形三线合一得$BG=HG=12$，因此$AB=AG+BG=13+12=25$，即$n=25$，B选项错误。
当$x=0$时，Q与A重合，$PQ^2=AP^2=AG^2+PG^2=13^2+9^2=250$，即点C纵坐标为250，C选项错误。
当$x=15$时，$AQ=15$，$GQ=15-13=2$，由勾股定理得$PQ^2=2^2+81=85$，即$y=85$，因此点$(15,85)$在函数图象上，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短，勾股定理，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，核心是建立函数坐标与几何线段的对应关系，结合数形结合思想，运用勾股定理、等腰三角形性质逐步推导，能有效考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在△ABC中,∠B = 90°,AB = 8 cm,BC=6 cm,点P从点A开始沿AB向点B以2 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向点C以1 cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,当△PBQ的面积最大时,运动时间t为
2
s。答案
2
解析
【分析】
这是动点结合二次函数求最值的问题，解题思路如下：第一步，先根据动点的速度和运动时间t，分别表示出△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；第二步，利用直角三角形面积公式建立△PBQ的面积S关于t的函数关系式；第三步，结合二次函数的性质，求出S取最大值时对应的t值，同时要注意t的取值范围需符合线段长度为正的实际要求。
【解析】
解：设运动时间为t s，△PBQ的面积为S cm²。
由题意得：AP = 2t cm，BQ = t cm，
∴ PB = AB - AP = (8 - 2t) cm，其中t的取值范围是0 ＜ t ＜ 4（保证PB、BQ长度为正）。
∵ ∠B = 90°，
∴ $S = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2}(8 - 2t) · t$
化简得：$S = -t^2 + 4t$
该函数是二次函数，且a = -1 ＜ 0，抛物线开口向下，S存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$t = -\frac{b}{2a}$，代入a=-1，b=4得：
$t = -\frac{4}{2×(-1)} = 2$，2在0＜t＜4的范围内，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
1. 动线段长度表示
2. 二次函数的最值
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数与几何动点结合的常规题型，解题核心是将动态问题转化为代数函数问题，通过建立面积关于运动时间的二次函数模型，利用二次函数性质求解最值，解题时需注意验证自变量的取值是否符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
这是动点结合二次函数求最值的问题，解题思路如下：第一步，先根据动点的速度和运动时间t，分别表示出△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；第二步，利用直角三角形面积公式建立△PBQ的面积S关于t的函数关系式；第三步，结合二次函数的性质，求出S取最大值时对应的t值，同时要注意t的取值范围需符合线段长度为正的实际要求。
【解析】
解：设运动时间为t s，△PBQ的面积为S cm²。
由题意得：AP = 2t cm，BQ = t cm，
∴ PB = AB - AP = (8 - 2t) cm，其中t的取值范围是0 ＜ t ＜ 4（保证PB、BQ长度为正）。
∵ ∠B = 90°，
∴ $S = \frac{1}{2} · PB · BQ = \frac{1}{2}(8 - 2t) · t$
化简得：$S = -t^2 + 4t$
该函数是二次函数，且a = -1 ＜ 0，抛物线开口向下，S存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$t = -\frac{b}{2a}$，代入a=-1，b=4得：
$t = -\frac{4}{2×(-1)} = 2$，2在0＜t＜4的范围内，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
1. 动线段长度表示
2. 二次函数的最值
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数与几何动点结合的常规题型，解题核心是将动态问题转化为代数函数问题，通过建立面积关于运动时间的二次函数模型，利用二次函数性质求解最值，解题时需注意验证自变量的取值是否符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
5. 在平面直角坐标系中，$△ ABC$的位置如图所示。已知$A(0,4),B(-1,1),C(1,1)$，二次函数$y=x^2+(1-2a)x+a^2$（$a$为实数）的图象经过点$(-1,m)$。
(1)当$m=-1$时，求$a$的值。
(2)当抛物线的顶点在$BC$上时，求$m$的值。
(3)若抛物线的顶点在$△ ABC$内部，求$a$的取值范围。
(1)当$m=-1$时，求$a$的值。
(2)当抛物线的顶点在$BC$上时，求$m$的值。
(3)若抛物线的顶点在$△ ABC$内部，求$a$的取值范围。
答案
解:(1)当$m=-1$时，二次函数$y=x^2+(1-2a)x+a^2$（a 为实数）的图象经过点$(-1,-1)$，所以$-1=(-1)^2-(1-2a)+a^2$，解得$a_1=a_2=-1$，所以$a$的值为$-1$。
(2)因为抛物线$y=x^2+(1-2a)x+a^2$的顶点在 BC 上，
$B(-1,1),C(1,1)$，
所以$\frac{4a^2-(1-2a)^2}{4}=1$，即$\frac{4a-1}{4}=1$，解得$a=\frac{5}{4}$，
所以抛物线的函数表达式为$y=x^2-\frac{3}{2}x+\frac{25}{16}$。
将点$(-1,m)$的坐标代入，得$m=(-1)^2+\frac{3}{2}+\frac{25}{16}=\frac{65}{16}$。
(3)由$A(0,4),B(-1,1)$可得直线 AB 的函数表达式为$y=3x+4$。
由$A(0,4),C(1,1)$可得直线 AC 的函数表达式为$y=-3x+4$。
易得抛物线$y=x^2+(1-2a)x+a^2$的顶点坐标为$(\frac{2a-1}{2},\frac{4a-1}{4})$。
当$\frac{2a-1}{2}＜0$，即$a＜\frac{1}{2}$时，
在$y=3x+4$中，令$x=\frac{2a-1}{2}$，得$y=\frac{6a+5}{2}$。
因为顶点在$△ABC$内部，
所以$1＜\frac{4a-1}{4}＜\frac{6a+5}{2}$，此时无解；
当$\frac{2a-1}{2}＞0$，即$a＞\frac{1}{2}$时，
在$y=-3x+4$中，令$x=\frac{2a-1}{2}$，得$y=\frac{-6a+11}{2}$。
因为顶点在$△ABC$内部，
所以$1＜\frac{4a-1}{4}＜\frac{-6a+11}{2}$，解得$\frac{5}{4}＜a＜\frac{23}{16}$。
当$\frac{2a-1}{2}=0$时，顶点$(0,\frac{1}{4})$不在三角形内部。
综上所述，$a$的取值范围是$\frac{5}{4}＜a＜\frac{23}{16}$。
(2)因为抛物线$y=x^2+(1-2a)x+a^2$的顶点在 BC 上，
$B(-1,1),C(1,1)$，
所以$\frac{4a^2-(1-2a)^2}{4}=1$，即$\frac{4a-1}{4}=1$，解得$a=\frac{5}{4}$，
所以抛物线的函数表达式为$y=x^2-\frac{3}{2}x+\frac{25}{16}$。
将点$(-1,m)$的坐标代入，得$m=(-1)^2+\frac{3}{2}+\frac{25}{16}=\frac{65}{16}$。
(3)由$A(0,4),B(-1,1)$可得直线 AB 的函数表达式为$y=3x+4$。
由$A(0,4),C(1,1)$可得直线 AC 的函数表达式为$y=-3x+4$。
易得抛物线$y=x^2+(1-2a)x+a^2$的顶点坐标为$(\frac{2a-1}{2},\frac{4a-1}{4})$。
当$\frac{2a-1}{2}＜0$，即$a＜\frac{1}{2}$时，
在$y=3x+4$中，令$x=\frac{2a-1}{2}$，得$y=\frac{6a+5}{2}$。
因为顶点在$△ABC$内部，
所以$1＜\frac{4a-1}{4}＜\frac{6a+5}{2}$，此时无解；
当$\frac{2a-1}{2}＞0$，即$a＞\frac{1}{2}$时，
在$y=-3x+4$中，令$x=\frac{2a-1}{2}$，得$y=\frac{-6a+11}{2}$。
因为顶点在$△ABC$内部，
所以$1＜\frac{4a-1}{4}＜\frac{-6a+11}{2}$，解得$\frac{5}{4}＜a＜\frac{23}{16}$。
当$\frac{2a-1}{2}=0$时，顶点$(0,\frac{1}{4})$不在三角形内部。
综上所述，$a$的取值范围是$\frac{5}{4}＜a＜\frac{23}{16}$。
解析
【分析】
(1) 第一问已知二次函数图象过点$(-1,m)$，当$m=-1$时，直接将点坐标代入解析式，得到关于$a$的一元二次方程，解方程即可求出$a$的值。
(2) 第二问先观察$B$、$C$两点坐标，可知$BC$是直线$y=1$上的线段，因此抛物线顶点在$BC$上时顶点纵坐标为1。利用二次函数顶点纵坐标公式列方程求出$a$，再将$x=-1$代入解析式即可求$m$。
(3) 第三问首先用待定系数法求出直线$AB$、$AC$的解析式，再写出抛物线的顶点坐标。结合$△ ABC$关于$y$轴对称的特点，分顶点在$y$轴左侧、右侧、$y$轴上三种情况讨论：顶点在$△ ABC$内部时，纵坐标要大于$BC$的$y=1$，同时小于对应侧三角形边的函数值，列不等式组求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 当$m=-1$时，点$(-1,-1)$在二次函数图象上，将$x=-1,y=-1$代入$y=x^2+(1-2a)x+a^2$得：
$-1=(-1)^2+(1-2a)×(-1)+a^2$
整理得$a^2+2a+1=0$，解得$a_1=a_2=-1$。
(2) $\because B(-1,1),C(1,1)$，$\therefore BC$所在直线解析式为$y=1$。
抛物线$y=x^2+(1-2a)x+a^2$的顶点纵坐标为$\frac{4×1× a^2-(1-2a)^2}{4×1}=\frac{4a-1}{4}$，
$\because$顶点在$BC$上，$\therefore \frac{4a-1}{4}=1$，解得$a=\frac{5}{4}$。
将$a=\frac{5}{4}$代入解析式得$y=x^2-\frac{3}{2}x+\frac{25}{16}$，
将$x=-1$代入得$m=(-1)^2-\frac{3}{2}×(-1)+\frac{25}{16}=\frac{65}{16}$。
(3) ①求直线$AB$、$AC$的解析式：
设直线$AB$解析式为$y=kx+b$，代入$A(0,4),B(-1,1)$得$\begin{cases}b=4 \\ -k+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=3 \\ b=4\end{cases}$，即$AB:y=3x+4$；
同理可得直线$AC$解析式为$y=-3x+4$。
②抛物线顶点坐标为$(\frac{2a-1}{2},\frac{4a-1}{4})$，分情况讨论：
＜1＞ 当$\frac{2a-1}{2}＜0$即$a＜\frac{1}{2}$时，列不等式组$\begin{cases}\frac{4a-1}{4}＞1 \\ \frac{4a-1}{4}＜3×\frac{2a-1}{2}+4\end{cases}$，解得$a＞\frac{5}{4}$，与$a＜\frac{1}{2}$矛盾，无解；
＜2＞ 当$\frac{2a-1}{2}＞0$即$a＞\frac{1}{2}$时，列不等式组$\begin{cases}\frac{4a-1}{4}＞1 \\ \frac{4a-1}{4}＜-3×\frac{2a-1}{2}+4\end{cases}$，解得$\frac{5}{4}＜a＜\frac{23}{16}$；
＜3＞ 当$\frac{2a-1}{2}=0$即$a=\frac{1}{2}$时，顶点为$(0,\frac{1}{4})$，纵坐标小于1，不在$△ ABC$内部。
综上可得$a$的取值范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=-1}$
(2) $\boldsymbol{m=\frac{65}{16}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{5}{4}＜a＜\frac{23}{16}}$
【知识点】
1.二次函数图象与性质
2.待定系数法求解析式
3.解不等式（组）
【点评】
本题将二次函数与平面几何图形结合，既考查了二次函数顶点坐标、函数图象上点的坐标特征等基础知识点，又需要结合三角形的位置关系进行分类讨论，渗透了数形结合、分类讨论的数学思想，能够较好地考查综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.55
(1) 第一问已知二次函数图象过点$(-1,m)$，当$m=-1$时，直接将点坐标代入解析式，得到关于$a$的一元二次方程，解方程即可求出$a$的值。
(2) 第二问先观察$B$、$C$两点坐标，可知$BC$是直线$y=1$上的线段，因此抛物线顶点在$BC$上时顶点纵坐标为1。利用二次函数顶点纵坐标公式列方程求出$a$，再将$x=-1$代入解析式即可求$m$。
(3) 第三问首先用待定系数法求出直线$AB$、$AC$的解析式，再写出抛物线的顶点坐标。结合$△ ABC$关于$y$轴对称的特点，分顶点在$y$轴左侧、右侧、$y$轴上三种情况讨论：顶点在$△ ABC$内部时，纵坐标要大于$BC$的$y=1$，同时小于对应侧三角形边的函数值，列不等式组求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 当$m=-1$时，点$(-1,-1)$在二次函数图象上，将$x=-1,y=-1$代入$y=x^2+(1-2a)x+a^2$得：
$-1=(-1)^2+(1-2a)×(-1)+a^2$
整理得$a^2+2a+1=0$，解得$a_1=a_2=-1$。
(2) $\because B(-1,1),C(1,1)$，$\therefore BC$所在直线解析式为$y=1$。
抛物线$y=x^2+(1-2a)x+a^2$的顶点纵坐标为$\frac{4×1× a^2-(1-2a)^2}{4×1}=\frac{4a-1}{4}$，
$\because$顶点在$BC$上，$\therefore \frac{4a-1}{4}=1$，解得$a=\frac{5}{4}$。
将$a=\frac{5}{4}$代入解析式得$y=x^2-\frac{3}{2}x+\frac{25}{16}$，
将$x=-1$代入得$m=(-1)^2-\frac{3}{2}×(-1)+\frac{25}{16}=\frac{65}{16}$。
(3) ①求直线$AB$、$AC$的解析式：
设直线$AB$解析式为$y=kx+b$，代入$A(0,4),B(-1,1)$得$\begin{cases}b=4 \\ -k+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=3 \\ b=4\end{cases}$，即$AB:y=3x+4$；
同理可得直线$AC$解析式为$y=-3x+4$。
②抛物线顶点坐标为$(\frac{2a-1}{2},\frac{4a-1}{4})$，分情况讨论：
＜1＞ 当$\frac{2a-1}{2}＜0$即$a＜\frac{1}{2}$时，列不等式组$\begin{cases}\frac{4a-1}{4}＞1 \\ \frac{4a-1}{4}＜3×\frac{2a-1}{2}+4\end{cases}$，解得$a＞\frac{5}{4}$，与$a＜\frac{1}{2}$矛盾，无解；
＜2＞ 当$\frac{2a-1}{2}＞0$即$a＞\frac{1}{2}$时，列不等式组$\begin{cases}\frac{4a-1}{4}＞1 \\ \frac{4a-1}{4}＜-3×\frac{2a-1}{2}+4\end{cases}$，解得$\frac{5}{4}＜a＜\frac{23}{16}$；
＜3＞ 当$\frac{2a-1}{2}=0$即$a=\frac{1}{2}$时，顶点为$(0,\frac{1}{4})$，纵坐标小于1，不在$△ ABC$内部。
综上可得$a$的取值范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=-1}$
(2) $\boldsymbol{m=\frac{65}{16}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{5}{4}＜a＜\frac{23}{16}}$
【知识点】
1.二次函数图象与性质
2.待定系数法求解析式
3.解不等式（组）
【点评】
本题将二次函数与平面几何图形结合，既考查了二次函数顶点坐标、函数图象上点的坐标特征等基础知识点，又需要结合三角形的位置关系进行分类讨论，渗透了数形结合、分类讨论的数学思想，能够较好地考查综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.55
