5. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y(cm)与燃烧时间 x(h)的关系如图所示。请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是。
（2）当 x 为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？

5. (1) 30 cm,25 cm;2 h,2.5 h
(2) 由$\begin{cases} y=-15x+30, \\ y=-10x+25, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1, \\ y=15 \end{cases}$。所以当$x=1$时，两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等。

【分析】
1. 第(1)问解题思路：蜡烛燃烧前的高度是燃烧时间为0时的高度，对应函数图象与y轴交点的纵坐标；蜡烛燃尽时高度为0，对应函数图象与x轴交点的横坐标，直接读取图象对应数值即可。
2. 第(2)问解题思路：高度y与燃烧时间x满足一次函数关系，先用待定系数法分别求出甲、乙的函数解析式，当两根蜡烛高度相等时，两个解析式的y值相等，联立方程求解即可得到对应的x值。
【解析】
(1) 观察图象：
当$x=0$时，甲的高度$y=30\mathrm{cm}$，乙的高度$y=25\mathrm{cm}$，即燃烧前甲高30cm、乙高25cm；
当$y=0$时，甲对应的$x=2\mathrm{h}$，乙对应的$x=2.5\mathrm{h}$，即甲燃尽用时2h，乙燃尽用时2.5h。
(2) 设甲蜡烛的高度与燃烧时间的函数解析式为$y=k_1x+b_1$，将$(0,30)$、$(2,0)$代入得：
$\begin{cases}b_1=30\\2k_1+b_1=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-15\\b_1=30\end{cases}$，即甲的解析式为$y=-15x+30$。
设乙蜡烛的高度与燃烧时间的函数解析式为$y=k_2x+b_2$，将$(0,25)$、$(2.5,0)$代入得：
$\begin{cases}b_2=25\\2.5k_2+b_2=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=-10\\b_2=25\end{cases}$，即乙的解析式为$y=-10x+25$。
当两根蜡烛高度相等时，$-15x+30=-10x+25$，解得$x=1$。
【答案】
(1) $30\mathrm{cm}$，$25\mathrm{cm}$；$2\mathrm{h}$，$2.5\mathrm{h}$
(2) 当$x=1$时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等。
【知识点】
一次函数的图象；待定系数法求解析式；一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的应用，核心是掌握从图象提取信息的方法，理解函数交点的实际意义，熟练运用待定系数法求解一次函数解析式。
【难度系数】
0.7

6. 如图，直线$l:y=-2x+b$与坐标轴交于A，B两点，点A的坐标是$(0,4)$。
（1）求直线$l$的函数表达式和点B的坐标。
（2）如图，点P在第一象限。若$△ ABP$是等腰直角三角形，$∠ ABP=90°$，求点P的坐标。

6. (1) 直线$l$:$y=-2x+4$,点B的坐标是$B(2,0)$。
(2) $P(6,2)$

【分析】
（1）求一次函数表达式可使用待定系数法，已知直线过点$A(0,4)$，将点坐标代入直线方程即可求出未知参数$b$，再令函数值$y=0$解出对应的$x$值，即可得到点$B$的坐标。（2）已知$△ ABP$是等腰直角三角形且$∠ ABP=90°$，可得$AB=BP$，结合同角的余角相等可推出两组角对应相等，通过过点$P$作$x$轴的垂线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，即可求出点$P$的横、纵坐标。
【解析】
（1）将点$A(0,4)$代入直线$l$的表达式$y=-2x+b$，得：
$4=-2×0 + b$，解得$b=4$
因此直线$l$的函数表达式为$y=-2x+4$。
令$y=0$，代入表达式得$0=-2x+4$，解得$x=2$，
因此点$B$的坐标为$(2,0)$。
（2）过点$P$作$PC⊥ x$轴，垂足为点$C$，则$∠ PCB=∠ BOA=90°$。
因为$∠ ABP=90°$，所以$∠ ABO + ∠ PBC=90°$，
又因为$\mathrm{Rt}△ AOB$中$∠ OAB + ∠ ABO=90°$，所以$∠ OAB=∠ PBC$。
在$△ AOB$和$△ BCP$中：
$\begin{cases}∠ BOA=∠ PCB \\∠ OAB=∠ CBP \\AB=BP\end{cases}$
所以$△ AOB≌△ BCP$（$\mathrm{AAS}$）。
由全等三角形对应边相等可得：$BC=OA=4$，$PC=OB=2$，
因此点$P$的横坐标为$OB + BC=2+4=6$，纵坐标为$PC=2$，即$P(6,2)$。
【答案】
(1) 直线$l$的函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x+4}$，点$B$的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$；
(2) 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(6,2)}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合基础题，第一小问考查一次函数基础的解析式求解与坐标轴交点计算，第二小问的核心是通过作垂线构造全等三角形，将几何线段长度转化为点的坐标，掌握全等三角形的判定和性质是解决这类坐标与几何结合题的关键。
【难度系数】
0.65

7. 在直角坐标系中，直线 $ l_1 $ 经过点$(-1,-7)$和$(4,3)$，直线 $ l_2 $ 经过点$(1,0)$，且与直线 $ l_1 $ 交于点 $ A(2,a) $。
（1）求 $ a $ 的值。
（2）根据题意写一个解为 $ \begin{cases} x=2, \\ y=a \end{cases} $ 的二元一次方程组。
（3）设直线 $ l_1 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ B $，直线 $ l_2 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $，求 $ △ ABC $ 的面积。

7. (1) $a=-1$ (2) $\begin{cases} 2x-y=5, \\ x+y=1 \end{cases}$ (3) 6

【分析】
（1）要求$a$的值，已知点$A(2,a)$在直线$l_1$上，首先用待定系数法求出直线$l_1$的解析式，再将$x=2$代入解析式即可算出$a$；
（2）两个一次函数图象的交点坐标就是对应两个一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，因此先求出直线$l_2$的解析式，再将两条直线的解析式整理为二元一次方程形式联立即可；
（3）求$△ ABC$的面积时，先求出直线$l_1$、$l_2$与$y$轴交点$B$、$C$的坐标，以线段$BC$的长度为底，点$A$到$y$轴的距离为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）设直线$l_1$的解析式为$y=k_1x+b_1(k_1≠0)$，将点$(-1,-7)$和$(4,3)$代入得：
$\begin{cases}-k_1 + b_1 = -7 \\4k_1 + b_1 = 3\end{cases}$
两式相减得$5k_1=10$，解得$k_1=2$，将$k_1=2$代入$-k_1 + b_1 = -7$，得$b_1=-5$，
因此直线$l_1$的解析式为$y=2x-5$。
因为点$A(2,a)$在$l_1$上，代入$x=2$得$a=2×2 -5=-1$。
（2）由（1）知点$A$坐标为$(2,-1)$，设直线$l_2$的解析式为$y=k_2x+b_2(k_2≠0)$，将点$(1,0)$和$(2,-1)$代入得：
$\begin{cases}k_2 + b_2 = 0 \\2k_2 + b_2 = -1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-1 \\b_2=1\end{cases}$，因此直线$l_2$的解析式为$y=-x+1$。
将两条直线的解析式整理为标准二元一次方程并联立，即可得到所求方程组。
（3）对于直线$l_1:y=2x-5$，令$x=0$得$y=-5$，因此点$B$坐标为$(0,-5)$；
对于直线$l_2:y=-x+1$，令$x=0$得$y=1$，因此点$C$坐标为$(0,1)$；
则$BC$的长度为$|1 - (-5)|=6$，点$A(2,-1)$到$y$轴的距离为$2$，即$BC$边上的高为2，
因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×2=6$。
【答案】
(1) $a=-1$
(2) $\begin{cases} 2x-y=5, \\ x+y=1 \end{cases}$
(3) $6$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程组的关系；一次函数的几何应用
【点评】
本题是一次函数应用的典型综合题，涵盖了解析式求解、函数与方程的联系、几何面积计算等考点，解题时熟练掌握待定系数法，结合数形结合思想能快速梳理坐标与线段的对应关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7