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8. 某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量$y$(微克)随时间$x$(时)的变化情况如图所示。当成人按规定剂量服药后，根据图象回答下列问题：
（1）服药后
（2）服药后5小时，血液中含药量为每毫升
（3）当$0{≤}x{≤}2$时，$y$关于$x$的函数表达式是
（4）当$2{≤}x{≤}8$时，$y$关于$x$的函数表达式是
（5）如果每毫升血液中含药量为3微克或3微克以上时治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是
（1）服药后
2
小时，血液中含药量最高，达每毫升6
微克，接着逐步衰减。（2）服药后5小时，血液中含药量为每毫升
3
微克。（3）当$0{≤}x{≤}2$时，$y$关于$x$的函数表达式是
$y=3x(0≤x≤2)$
。（4）当$2{≤}x{≤}8$时，$y$关于$x$的函数表达式是
$y=-x+8$
。（5）如果每毫升血液中含药量为3微克或3微克以上时治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是
$1≤x≤5$
时。答案
8. (1) 2;6 (2) 3 (3) $y=3x(0≤x≤2)$ (4) $y=-x+8$ (5) $1≤x≤5$
解析
【分析】
本题是一次函数的实际应用问题，解题思路如下：1. 前两问直接观察函数图像的特殊点坐标即可得到答案；2. 求不同区间的函数解析式，使用八年级学过的待定系数法，先设出一次函数表达式，再代入已知点的坐标求解参数即可；3. 求有效时间范围，就是求函数值y≥3时对应的x的取值范围，分别在两个函数区间内令y=3求解对应的x值，就能得到有效区间的端点。
【解析】
（1）观察图像可知，函数最高点的坐标为$(2,6)$，因此服药后2小时，血液中含药量最高，为每毫升6微克。
（2）观察图像，当$x=5$时，对应的$y$值为3，因此服药后5小时，血液中含药量为每毫升3微克。
（3）当$0≤ x≤2$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx(k≠0)$，将点$(2,6)$代入得：$6=2k$，解得$k=3$，因此函数表达式为$y=3x(0≤ x≤2)$。
（4）当$2≤ x≤8$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(2,6)$和$(8,0)$代入得方程组：
$\begin{cases}2k+b=6\\8k+b=0\end{cases}$
用第一个式子减第二个式子得：$-6k=6$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$2k+b=6$得：$-2+b=6$，解得$b=8$，因此函数表达式为$y=-x+8(2≤ x≤8)$。
（5）求含药量≥3微克的时间范围：
①在$0≤ x≤2$区间，令$y=3$，即$3x=3$，解得$x=1$；
②在$2≤ x≤8$区间，令$y=3$，即$-x+8=3$，解得$x=5$；
因此有效时间范围是$1≤ x≤5$。
【答案】
(1) $2$；$6$ (2) $3$ (3) $y=3x(0≤x≤2)$ (4) $y=-x+8(2≤x≤8)$ (5) $1≤x≤5$
【知识点】
一次函数的图像；待定系数法求解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题是一次函数应用的典型题型，将实际场景和函数知识结合，既考查了读图获取信息的能力，也考查了待定系数法求函数解析式、利用函数值求对应自变量的技能，解题核心是准确理解图像横纵坐标的实际含义，结合函数性质求解问题。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数的实际应用问题，解题思路如下：1. 前两问直接观察函数图像的特殊点坐标即可得到答案；2. 求不同区间的函数解析式，使用八年级学过的待定系数法，先设出一次函数表达式，再代入已知点的坐标求解参数即可；3. 求有效时间范围，就是求函数值y≥3时对应的x的取值范围，分别在两个函数区间内令y=3求解对应的x值，就能得到有效区间的端点。
【解析】
（1）观察图像可知，函数最高点的坐标为$(2,6)$，因此服药后2小时，血液中含药量最高，为每毫升6微克。
（2）观察图像，当$x=5$时，对应的$y$值为3，因此服药后5小时，血液中含药量为每毫升3微克。
（3）当$0≤ x≤2$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx(k≠0)$，将点$(2,6)$代入得：$6=2k$，解得$k=3$，因此函数表达式为$y=3x(0≤ x≤2)$。
（4）当$2≤ x≤8$时，设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(2,6)$和$(8,0)$代入得方程组：
$\begin{cases}2k+b=6\\8k+b=0\end{cases}$
用第一个式子减第二个式子得：$-6k=6$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$2k+b=6$得：$-2+b=6$，解得$b=8$，因此函数表达式为$y=-x+8(2≤ x≤8)$。
（5）求含药量≥3微克的时间范围：
①在$0≤ x≤2$区间，令$y=3$，即$3x=3$，解得$x=1$；
②在$2≤ x≤8$区间，令$y=3$，即$-x+8=3$，解得$x=5$；
因此有效时间范围是$1≤ x≤5$。
【答案】
(1) $2$；$6$ (2) $3$ (3) $y=3x(0≤x≤2)$ (4) $y=-x+8(2≤x≤8)$ (5) $1≤x≤5$
【知识点】
一次函数的图像；待定系数法求解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题是一次函数应用的典型题型，将实际场景和函数知识结合，既考查了读图获取信息的能力，也考查了待定系数法求函数解析式、利用函数值求对应自变量的技能，解题核心是准确理解图像横纵坐标的实际含义，结合函数性质求解问题。
【难度系数】
0.7
9. 甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍每副定价60元，乒乓球每盒定价10元。近期两家商店都举办促销活动。甲商店：每买一副乒乓球拍获赠两盒乒乓球。乙商店：所有商品九折优惠。某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）。设该校要买乒乓球x盒，所需商品在甲商店购买需花费$y_1$元，在乙商店购买需花费$y_2$元。
（1）分别写出$y_1$，$y_2$与x之间的函数关系式。（不必注明自变量x的取值范围）
（2）对x的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜。
（3）若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案。
（1）分别写出$y_1$，$y_2$与x之间的函数关系式。（不必注明自变量x的取值范围）
（2）对x的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜。
（3）若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案。
答案
9. (1) $y_1=10x+80$,$y_2=9x+108$。
(2) 当$10x+80=9x+108$时,$x=28$。故当$4≤x＜28$时,在甲商店购买比较便宜;当$x=28$时,两个商店价格相同;当$x＞28$时,在乙商店购买比较便宜。
(3) 最省钱的购买方案是:在甲商店购买2副乒乓球拍,获赠4盒乒乓球,到乙商店购买16盒乒乓球。
(2) 当$10x+80=9x+108$时,$x=28$。故当$4≤x＜28$时,在甲商店购买比较便宜;当$x=28$时,两个商店价格相同;当$x＞28$时,在乙商店购买比较便宜。
(3) 最省钱的购买方案是:在甲商店购买2副乒乓球拍,获赠4盒乒乓球,到乙商店购买16盒乒乓球。
解析
【分析】
（1）推导函数关系式时，先分析甲店优惠：买2副球拍赠送4盒乒乓球，因此仅需支付超出4盒部分的乒乓球费用，加2副球拍的定价即可得$y_1$；乙店所有商品九折，先算2副球拍和x盒乒乓球的原价总和，再乘0.9即可得$y_2$。
（2）判断哪家商店更便宜，本质是比较$y_1$和$y_2$的大小，分$y_1=y_2$、$y_1＜y_2$、$y_1＞y_2$三种情况，解方程或不等式即可得到对应的x取值范围。
（3）求x=20时的最优方案，除了对比全在甲、全在乙购买的费用，还可结合两家优惠规则：优先在甲店买球拍获赠4盒乒乓球，剩余乒乓球去乙店享受九折优惠，再对比总费用即可得出最省钱方案。
【解析】
（1）甲商店购买时，2副球拍花费$2×60=120$元，赠送4盒乒乓球，需付费的乒乓球为$(x-4)$盒，因此：
$y_1=120+10(x-4)=10x+80$
乙商店所有商品打九折，2副球拍和x盒乒乓球原价总和为$120+10x$，因此：
$y_2=0.9×(120+10x)=9x+108$
（2）分三种情况讨论：
① 当$y_1=y_2$时，$10x+80=9x+108$，解得$x=28$，此时两家商店费用相同；
② 当$y_1＜y_2$时，$10x+80＜9x+108$，解得$x＜28$，结合题设$x≥4$，即$4≤ x＜28$时甲商店更便宜；
③ 当$y_1＞y_2$时，$10x+80＞9x+108$，解得$x＞28$，此时乙商店更便宜。
（3）当$x=20$时：
全在甲店购买费用：$y_1=10×20+80=280$元；
全在乙店购买费用：$y_2=9×20+108=288$元；
混合购买：在甲店买2副球拍获赠4盒乒乓球，剩余$20-4=16$盒乒乓球在乙店购买，总费用为$2×60 + 16×10×0.9=264$元；
对比可知混合购买费用最低。
【答案】
(1) $y_1=10x+80$，$y_2=9x+108$
(2) 当$4≤x＜28$时，在甲商店购买比较便宜；当$x=28$时，两个商店价格相同；当$x＞28$时，在乙商店购买比较便宜。
(3) 最省钱的购买方案是：在甲商店购买2副乒乓球拍，获赠4盒乒乓球，到乙商店购买16盒乒乓球。
【知识点】
一次函数解析式求解，一元一次不等式的应用，最优方案设计
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查一次函数与不等式的综合应用，需要学生掌握分类讨论的思想，同时能灵活结合优惠规则设计方案，贴近生活实际，有助于提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）推导函数关系式时，先分析甲店优惠：买2副球拍赠送4盒乒乓球，因此仅需支付超出4盒部分的乒乓球费用，加2副球拍的定价即可得$y_1$；乙店所有商品九折，先算2副球拍和x盒乒乓球的原价总和，再乘0.9即可得$y_2$。
（2）判断哪家商店更便宜，本质是比较$y_1$和$y_2$的大小，分$y_1=y_2$、$y_1＜y_2$、$y_1＞y_2$三种情况，解方程或不等式即可得到对应的x取值范围。
（3）求x=20时的最优方案，除了对比全在甲、全在乙购买的费用，还可结合两家优惠规则：优先在甲店买球拍获赠4盒乒乓球，剩余乒乓球去乙店享受九折优惠，再对比总费用即可得出最省钱方案。
【解析】
（1）甲商店购买时，2副球拍花费$2×60=120$元，赠送4盒乒乓球，需付费的乒乓球为$(x-4)$盒，因此：
$y_1=120+10(x-4)=10x+80$
乙商店所有商品打九折，2副球拍和x盒乒乓球原价总和为$120+10x$，因此：
$y_2=0.9×(120+10x)=9x+108$
（2）分三种情况讨论：
① 当$y_1=y_2$时，$10x+80=9x+108$，解得$x=28$，此时两家商店费用相同；
② 当$y_1＜y_2$时，$10x+80＜9x+108$，解得$x＜28$，结合题设$x≥4$，即$4≤ x＜28$时甲商店更便宜；
③ 当$y_1＞y_2$时，$10x+80＞9x+108$，解得$x＞28$，此时乙商店更便宜。
（3）当$x=20$时：
全在甲店购买费用：$y_1=10×20+80=280$元；
全在乙店购买费用：$y_2=9×20+108=288$元；
混合购买：在甲店买2副球拍获赠4盒乒乓球，剩余$20-4=16$盒乒乓球在乙店购买，总费用为$2×60 + 16×10×0.9=264$元；
对比可知混合购买费用最低。
【答案】
(1) $y_1=10x+80$，$y_2=9x+108$
(2) 当$4≤x＜28$时，在甲商店购买比较便宜；当$x=28$时，两个商店价格相同；当$x＞28$时，在乙商店购买比较便宜。
(3) 最省钱的购买方案是：在甲商店购买2副乒乓球拍，获赠4盒乒乓球，到乙商店购买16盒乒乓球。
【知识点】
一次函数解析式求解，一元一次不等式的应用，最优方案设计
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查一次函数与不等式的综合应用，需要学生掌握分类讨论的思想，同时能灵活结合优惠规则设计方案，贴近生活实际，有助于提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
