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进位制的认识与探究
综合实践
活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换
材料1
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
十进制数 $1024=1×10^3 +0×10^2 +2×10^1 +4$，记作：$(1024)_{10}$；
八进制数 $1024=1×8^3 +0×8^2 +2×8^1 +4$，记作：$(1024)_8$；
二进制数 $1011=1×2^3 +0×2^2 +1×2^1 +1$，记作：$(1011)_2$.
$n(n≥2$，且$n$为整数)进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将$n$进制数的每个数字依次乘$n$的相应次幂，然后相加，就可得到与它相等的十进制数.如：二进制数$(10010)_2$转换为十进制数：$(10010)_2=1×2^4 +0×2^3 +0×2^2 +1×2^1 +×2^0=16+0+0+2+0=18$.
材料2
十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数.同样地，十进制数转化为八进制数可用除八取余法.例如：
$8\enclose{longdiv}{532}$ 余数低位
$8\enclose{longdiv}{66}$ 4
$8\enclose{longdiv}{8}$ 2
$8\enclose{longdiv}{1}$ 0
0 1 高位
$2\enclose{longdiv}{46}$ 余数低位
$2\enclose{longdiv}{23}$ 0
$2\enclose{longdiv}{11}$ 1
$2\enclose{longdiv}{5}$ 1
$2\enclose{longdiv}{2}$ 0
$2\enclose{longdiv}{1}$ 1
0 高位
$532=(1024)_8$ $46=(101110)_2$
解决问题
(1)十进制数89，转换为二进制数为
(2)十进制数89，转换为八进制数为
(3)二进制数$(10111)_2$，转换为十进制数为
(4)二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制.计算机以二进制数进行运算，再把运算结果转换为十进制数，并输出结果.请根据二进制运算法则完成下面运算：
$(10010)_2 + (111)_2 =$
综合实践
活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换
材料1
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
十进制数 $1024=1×10^3 +0×10^2 +2×10^1 +4$，记作：$(1024)_{10}$；
八进制数 $1024=1×8^3 +0×8^2 +2×8^1 +4$，记作：$(1024)_8$；
二进制数 $1011=1×2^3 +0×2^2 +1×2^1 +1$，记作：$(1011)_2$.
$n(n≥2$，且$n$为整数)进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将$n$进制数的每个数字依次乘$n$的相应次幂，然后相加，就可得到与它相等的十进制数.如：二进制数$(10010)_2$转换为十进制数：$(10010)_2=1×2^4 +0×2^3 +0×2^2 +1×2^1 +×2^0=16+0+0+2+0=18$.
材料2
十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数.同样地，十进制数转化为八进制数可用除八取余法.例如：
$8\enclose{longdiv}{532}$ 余数低位
$8\enclose{longdiv}{66}$ 4
$8\enclose{longdiv}{8}$ 2
$8\enclose{longdiv}{1}$ 0
0 1 高位
$2\enclose{longdiv}{46}$ 余数低位
$2\enclose{longdiv}{23}$ 0
$2\enclose{longdiv}{11}$ 1
$2\enclose{longdiv}{5}$ 1
$2\enclose{longdiv}{2}$ 0
$2\enclose{longdiv}{1}$ 1
0 高位
$532=(1024)_8$ $46=(101110)_2$
解决问题
(1)十进制数89，转换为二进制数为
(1011001)₂
；(2)十进制数89，转换为八进制数为
(131)₈
；(3)二进制数$(10111)_2$，转换为十进制数为
23
；(4)二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制.计算机以二进制数进行运算，再把运算结果转换为十进制数，并输出结果.请根据二进制运算法则完成下面运算：
$(10010)_2 + (111)_2 =$
(11001)₂
(结果用二进制数表示).答案
1. $(1011001)_2$
2. $(131)_8$
3. $23$
4. $(11001)_2$
2. $(131)_8$
3. $23$
4. $(11001)_2$
解析
【分析】
本题是信息类的进位制问题，结合材料给出的规则逐一求解即可：
1. 十进制转二进制、八进制时，使用材料2的“除基取余法”：用目标进制的基数连续除十进制数，直到商为0，再将得到的余数从后往前逆序排列，即可得到对应进制的数；
2. 二进制转十进制时，使用材料1的按权展开法：将二进制每个数位的数字乘2的对应次幂（最右侧数位对应2⁰，向左依次幂次加1），相加后得到对应的十进制数；
3. 二进制加法遵循“逢二进一”的规则，数位对齐后从最低位开始相加，每一位相加满2就向高一位进1，本位保留0。
【解析】
(1) 十进制数89转二进制，用除2取余法：
2除89，商44，余数1；
2除44，商22，余数0；
2除22，商11，余数0；
2除11，商5，余数1；
2除5，商2，余数1；
2除2，商1，余数0；
2除1，商0，余数1；
将余数逆序排列得：1011001，即$(1011001)_2$。
(2) 十进制数89转八进制，用除8取余法：
8除89，商11，余数1；
8除11，商1，余数3；
8除1，商0，余数1；
将余数逆序排列得：131，即$(131)_8$。
(3) 二进制数$(10111)_2$转十进制，按权展开：
$(10111)_2=1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0=16+0+4+2+1=23$。
(4) 二进制加法运算，对齐数位后从最低位开始加，逢二进一：
$\begin{aligned}&\quad10010\\+&\quad00111\\\hline&\quad11001\end{aligned}$
即结果为$(11001)_2$。
【答案】
1. $(1011001)_2$
2. $(131)_8$
3. $23$
4. $(11001)_2$
【知识点】
进制转换，二进制运算，按权展开记数
【点评】
本题属于信息给予类题目，解题的关键是读懂材料给出的进位制相关规则，将规则直接套用即可完成求解，通过练习能帮助理解不同进位制的记数逻辑，体会进位制在科技领域的实际应用。
【难度系数】
0.7
本题是信息类的进位制问题，结合材料给出的规则逐一求解即可：
1. 十进制转二进制、八进制时，使用材料2的“除基取余法”：用目标进制的基数连续除十进制数，直到商为0，再将得到的余数从后往前逆序排列，即可得到对应进制的数；
2. 二进制转十进制时，使用材料1的按权展开法：将二进制每个数位的数字乘2的对应次幂（最右侧数位对应2⁰，向左依次幂次加1），相加后得到对应的十进制数；
3. 二进制加法遵循“逢二进一”的规则，数位对齐后从最低位开始相加，每一位相加满2就向高一位进1，本位保留0。
【解析】
(1) 十进制数89转二进制，用除2取余法：
2除89，商44，余数1；
2除44，商22，余数0；
2除22，商11，余数0；
2除11，商5，余数1；
2除5，商2，余数1；
2除2，商1，余数0；
2除1，商0，余数1；
将余数逆序排列得：1011001，即$(1011001)_2$。
(2) 十进制数89转八进制，用除8取余法：
8除89，商11，余数1；
8除11，商1，余数3；
8除1，商0，余数1；
将余数逆序排列得：131，即$(131)_8$。
(3) 二进制数$(10111)_2$转十进制，按权展开：
$(10111)_2=1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0=16+0+4+2+1=23$。
(4) 二进制加法运算，对齐数位后从最低位开始加，逢二进一：
$\begin{aligned}&\quad10010\\+&\quad00111\\\hline&\quad11001\end{aligned}$
即结果为$(11001)_2$。
【答案】
1. $(1011001)_2$
2. $(131)_8$
3. $23$
4. $(11001)_2$
【知识点】
进制转换，二进制运算，按权展开记数
【点评】
本题属于信息给予类题目，解题的关键是读懂材料给出的进位制相关规则，将规则直接套用即可完成求解，通过练习能帮助理解不同进位制的记数逻辑，体会进位制在科技领域的实际应用。
【难度系数】
0.7
