1.如图，B在线段AC上，E在线段BC上，D是线段AB的中点.若$BC=3AB$，$BE=2EC$，且$DE=7.5$，求AC的长.

解：设$CE=x$,则$BE=2x$,所以$BC=BE+CE=3x$.
因为$BC=3AB$,所以$AB=x$.易得$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x$.
因为$DE=7.5=DB+BE$,所以$\frac{1}{2}x+2x=7.5$,解得$x=3$.
所以$AC=AB+BC=4x=12$.

【分析】
本题是线段长度计算问题，题干给出多组线段的比例关系和已知线段长度，适合用设未知数列方程的方法求解：第一步，根据BE与EC的比例关系，设最短的线段CE为x，依次表示出BE、BC的长度；第二步，结合BC与AB的关系表示出AB的长度，再利用D是AB中点的条件表示出BD的长度；第三步，找到DE的组成（BD+BE），根据DE=7.5列出方程求解x，最后根据AC=AB+BC计算出AC的长度即可。
【解析】
设$CE=x$，
∵$BE=2EC$，
∴$BE=2x$，
∴$BC=BE+CE=2x+x=3x$，
∵$BC=3AB$，
∴$3AB=3x$，即$AB=x$，
∵D是线段AB的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x$，
由图可知$DE=DB+BE$，代入$DE=7.5$得：
$\frac{1}{2}x+2x=7.5$，
合并同类项得$2.5x=7.5$，解得$x=3$，
∴$AC=AB+BC=x+3x=4x=4×3=12$。
【答案】
$12$
【知识点】
线段和差计算、线段中点定义、一元一次方程应用
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，核心解题技巧是根据线段间的比例关系设参数，将所有相关线段用参数表示后，结合已知线段的长度建立方程求解，掌握设参数的方法可以有效简化线段和差类问题的解题过程。
【难度系数】
0.7

2.如图,点 O 在直线 AB 上,OD 平分∠AOC,∠BOE=2∠EOC.
(1)若∠AOD=24°,求∠DOC 的度数;
(2)若∠AOD : ∠EOC=3 : 4,求∠AOD 的度数.

解：(1)因为OD平分$∠AOC$,$∠AOD=24°$,
所以$∠DOC=∠AOD=24°$.
(2)设$∠AOD=3α$,则$∠EOC=4α$,
所以$∠BOE=2∠EOC=8α$.
因为OD平分$∠AOC$,所以$∠AOC=2∠AOD=6α$.
因为$∠AOC+∠EOC+∠BOE=180°$,
所以$6α+4α+8α=180°$,
解得$α=10°$,所以$∠AOD=3α=30°$.

【分析】
(1) 首先提取题干已知条件：OD平分∠AOC，根据角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个大小相等的角，因此∠DOC和∠AOD度数相等，直接代入已知的∠AOD的度数即可求解。
(2) 已知∠AOD和∠EOC的比例关系，可采用设参数的方法，把比例的每一份设为α，将∠AOD、∠EOC都用含α的式子表示，再结合∠BOE和∠EOC的倍数关系、OD平分∠AOC的性质，把∠BOE、∠AOC也用含α的式子表示；最后根据点O在直线AB上，可得∠AOC+∠EOC+∠BOE=平角=180°，建立关于α的方程求解，再计算∠AOD的度数即可。
【解析】
(1) 因为OD平分∠AOC，∠AOD=24°，
根据角平分线的定义，可得∠DOC=∠AOD=24°。
(2) 设∠AOD=3α，由∠AOD : ∠EOC=3 : 4，可得∠EOC=4α，
因为∠BOE=2∠EOC，所以∠BOE=2×4α=8α，
又因为OD平分∠AOC，所以∠AOC=2∠AOD=2×3α=6α，
因为点O在直线AB上，∠AOC+∠EOC+∠BOE=180°，
代入得：6α+4α+8α=180°，
合并同类项得18α=180°，解得α=10°，
所以∠AOD=3α=3×10°=30°。
【答案】
(1) 24°；(2) 30°
【知识点】
角平分线的定义；平角的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于角的计算基础题，解题的关键是准确提取题干中的角平分线、角的倍数关系等条件，第二问利用设参数的方法将比例关系转化为可计算的角度表达式，结合平角的等量关系列方程求解，能够很好地考查对基础概念的掌握和方程思想的应用。
【难度系数】
0.8

3.点C是线段AB的中点，点D是直线AB上的一点，点E是线段AD的中点.若AB=14，AD=4，则线段CE的长为.

5或9

【分析】
本题需要结合线段中点的性质计算线段长度，注意点D在直线AB上，位置不唯一，因此要分两种情况讨论求解：①点D在线段AB上；②点D在BA的延长线上。解题时先根据中点定义分别求出AC、AE的长度，再结合两种位置下CE与AC、AE的和差关系计算即可。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的中点，AB=14
∴AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×14 = 7
∵点E是线段AD的中点，AD=4
∴AE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×4 = 2
分两种情况讨论：
1. 当点D在线段AB上时：
CE = AC - AE = 7 - 2 = 5
2. 当点D在BA的延长线上（点A左侧）时：
CE = AC + AE = 7 + 2 = 9
综上，线段CE的长为5或9。
【答案】
5或9
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直线可向两端无限延伸的性质，漏考虑点D在BA延长线的情况导致少解，解决这类问题时要注意明确点在直线上还是线段上，不确定位置时要分类讨论。
【难度系数】
0.6

4. 中考趋势·过程性问题 阅读材料并回答问题.
数学课上,老师给出了如下问题:如图①, $∠ AOB=90°$, $OC$ 平分 $∠ AOB$. 若 $∠ COD=65°$, 请你补全图形,并求 $∠ BOD$ 的度数.
同学一的解答如下:
解:如图②,作 $∠ COD=65°$.
因为 $∠ AOB=90°$, $OC$ 平分 $∠ AOB$,
所以 $∠ BOC=∠ AOC=$ .
因为 $∠ COD=65°$,
所以 $∠ BOD=∠ BOC+∠$ $=$ .
同学二说:“符合题目要求的图形还有一种情况.”
请你完成以下问题:
(1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整.
(2)判断同学二的说法是否正确,若不正确,请说明理由;若正确,请你在图③中画出另一种情况对应的图形,并求该情况下 $∠ BOD$ 的度数.

解：(1)$45°$;$COD$;$110°$
(2)同学二的说法正确,如图,作$∠COD=65°$.
因为$∠AOB=90°$,$OC$平分$∠AOB$,
所以$∠BOC=∠AOC=45°$.
因为$∠COD=65°$,
所以$∠BOD=∠COD-∠BOC=20°$.

【分析】
解题时先从已知条件入手：1. 第一问中，已知∠AOB是直角，OC是它的角平分线，根据角平分线的定义可先算出∠BOC的度数；再观察同学一的图形，∠COD在∠BOC的外侧，因此∠BOD是两个角的和，代入数值计算即可补全空缺。2. 第二问中，∠COD的位置不唯一：除了OD在OB远离OA的一侧，还有可能OB在∠COD的内部，因此存在第二种情况，先判断同学二说法正确，再根据角的差的关系计算该情况的∠BOD即可。
【解析】
(1) 补全同学一的解答：
因为$∠ AOB=90°$，$OC$平分$∠ AOB$，所以$∠ BOC=∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$；
观察图形可知$∠ COD$在$∠ BOC$的外侧，所以$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=45°+65°=110°$。
(2) 同学二的说法正确，$∠ COD$以$OC$为边时，$OD$的位置有两种情况，第二种情况为$OB$在$∠ COD$内部，对应图形为。
计算该情况的$∠ BOD$：
由$∠ AOB=90°$，$OC$平分$∠ AOB$，得$∠ BOC=45°$，
已知$∠ COD=65°$，因此$∠ BOD=∠ COD-∠ BOC=65°-45°=20°$。
【答案】
(1)$45°$;$COD$;$110°$
(2)同学二的说法正确,如图,作$∠COD=65°$。
因为$∠AOB=90°$,$OC$平分$∠AOB$,
所以$∠BOC=∠AOC=45°$。
因为$∠COD=65°$,
所以$∠BOD=∠COD-∠BOC=20°$。
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查角的相关运算，需要注意当角的位置没有明确限定时，要考虑所有可能的情况，避免漏解，同时要熟练运用角平分线的性质进行角度计算。
【难度系数】
0.7