【例2】某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程.这个工程由甲队单独做需要10天完成，由乙队单独做需要15天完成.若甲、乙两队共同施工4天，余下的工程由乙队单独完成，问：乙队还需要几天才能完成？
解：
【规律方法】
解决工程问题的基本思路

(1)按做工的顺序列方程，即“开始完成的工作量＋后来完成的工作量＝完成的总工作量”.
(2)按做工的“人”列方程(设一项工程只有甲和乙做)，即“甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝完成的总工作量”.
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【例2】解:乙队还需要5天才能完成.

【分析】
工程问题一般将总工作量看作单位“1”，首先根据“工作效率=总工作量÷单独完成的工作时间”分别求出甲、乙两队的工作效率。我们可以通过列一元一次方程求解，等量关系为：甲乙两队共同施工4天的工作量+乙队单独完成剩余工程的工作量=总工作量1，将对应量代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
设乙队还需要$x$天才能完成剩余工程。
把总工作量看作单位“1”，则甲队的工作效率为$\frac{1}{10}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{15}$。
根据题意可列方程：
$4×(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})+\frac{1}{15}x=1$
先计算括号内的部分：$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{6}$
方程化简为：$4×\frac{1}{6}+\frac{x}{15}=1$
即$\frac{2}{3}+\frac{x}{15}=1$
移项得：$\frac{x}{15}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
解得：$x=\frac{1}{3}×15=5$
【答案】
乙队还需要5天才能完成。
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程类基础应用题，核心是掌握“总工作量为单位1”的设定，理清工作量、工作效率、工作时间三者的关系，找准等量关系即可快速求解，这类题目是一元一次方程实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.8

2.某地修建一条长为400 m的公路，由甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立施工2天后乙工程队加入，两工程队联合施工4天后，还剩70 m.已知甲工程队每天比乙工程队多施工5 m，求甲、乙两工程队每天各施工多少米.
知识建构

2.解:甲工程队每天施工35 m,乙工程队每天施工30 m.

【分析】
这是一道用一元一次方程解决的工程类实际问题，解题思路如下：第一步先梳理已知条件找等量关系：公路总长400m，施工后剩余70m，可得甲乙两队累计完成的工作量为400-70=330m；甲队先独立施工2天，后和乙队联合施工4天，因此甲队总施工时长为2+4=6天，乙队总施工时长为4天；已知甲队每天比乙队多施工5m，两个队的日施工量是未知量。第二步设未知数，可设其中一个队的日施工量为x，用含x的式子表示另一个队的日施工量。第三步根据“甲队总工作量+乙队总工作量=两队共完成的工作量”列方程，最后解方程验证结果即可。
【解析】
解：设乙工程队每天施工$ x $ m，则甲工程队每天施工$ (x+5) $ m。
由题意可得，甲队总工作量为$ (2+4)(x+5) $，乙队总工作量为$ 4x $，两队共完成的工作量为$ 400-70=330 $ m，列方程：
$6(x+5) + 4x = 330$
展开括号得：
$6x + 30 + 4x = 330$
合并同类项得：
$10x + 30 = 330$
移项计算得：
$10x = 300 \quad ⇒ \quad x = 30$
则甲工程队每天施工量为：$ x+5 = 30+5 = 35 $（m）
经检验，甲队6天施工$ 6×35=210 $ m，乙队4天施工$ 4×30=120 $ m，合计$ 210+120=330 $ m，$ 400-330=70 $ m，符合题干剩余工作量的条件，结果正确。
【答案】
甲工程队每天施工35 m，乙工程队每天施工30 m。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题计算
【点评】
本题是典型的一元一次方程实际应用题型，解题的核心是准确梳理出两队各自的施工时长，找准工作量的等量关系，掌握列方程解应用题的基本步骤就能顺利解答。
【难度系数】
0.7

综合与实践——知识建构与应用
利用纸条粘贴长方形
手工课上,小云和小悦剪了很多长方形的小纸条,她俩把小纸条粘成长方形.
【知识准备】
(1)长方形的面积=.
(2)解一元一次方程的步骤:去分母、、移项、合并、系数.
【黏合纸条】
已知剪下的小纸条长30 cm,宽10 cm,两人采用不同的黏合方法.小云把小纸条的宽边黏合起来,黏合长度为6 cm,得到如图①(示意图,单位:cm)所示的大长方形;小悦把小纸条的长边黏合起来,黏合长度为4 cm,得到如图②(示意图,单位:cm)所示的大长方形.
按照小云的黏合方法,黏合a张小纸条,得到大长方形的面积为.
【拓展探究】
如果共有100张这种小纸条,那么小云、小悦各需要多少张小纸条,才能使得两人按各自的方法黏合起来的大长方形的面积相等?(100张小纸条要全部用完)

【知识准备】(1)长×宽 (2)去括号 同类项 化为1
【黏合纸条】$(240a+60)\mathrm{cm}^2$.
【拓展探究】小云需要43张小纸条,小悦需要57张小纸条,才能使得两人按各自的方法黏合起来的大长方形的面积相等.

【分析】
1. 知识准备属于基础识记类内容，直接回忆长方形面积公式、解一元一次方程的标准步骤即可作答。
2. 黏合纸条部分：先明确a张纸条黏合时，黏合处共有(a-1)个，每个黏合处重叠6cm，先算出黏合后大长方形的长，再结合宽为10cm，用长方形面积公式列式化简即可。
3. 拓展探究部分：设小云需要x张纸条，则小悦需要(100-x)张，分别推导两人黏合后大长方形的面积表达式，再根据面积相等列一元一次方程，按解方程步骤求解即可。
【解析】
知识准备
(1) 根据长方形的基本性质，长方形面积=长×宽；
(2) 解一元一次方程的标准步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
黏合纸条
小云采用宽边黏合，a张小纸条的黏合处有$(a-1)$个，每个黏合处重叠6cm，因此黏合后大长方形的长为：
$30a - 6(a-1) = 24a + 6\ \mathrm{cm}$
大长方形的宽等于小纸条的宽10cm，因此面积为：
$10×(24a + 6) = 240a + 60\ \mathrm{cm}^2$
拓展探究
设小云需要x张小纸条，则小悦需要$(100-x)$张小纸条。
小悦采用长边黏合，$(100-x)$张纸条的黏合处有$(100-x-1)$个，每个黏合处重叠4cm，黏合后大长方形的宽为$10(100-x)-4(100-x-1)=6(100-x)+4\ \mathrm{cm}$，长为30cm，面积为$30×[6(100-x)+4]=180(100-x)+120\ \mathrm{cm}^2$。
根据面积相等列方程：
$240x + 60 = 180(100 - x) + 120$
去括号得：$240x + 60 = 18000 - 180x + 120$
移项得：$240x + 180x = 18000 + 120 - 60$
合并同类项得：$420x = 18060$
系数化为1得：$x = 43$
小悦需要的纸条数为$100 - 43 = 57$张。
【答案】
【知识准备】(1)长×宽 (2)去括号 同类项 化为1
【黏合纸条】$(240a+60)\mathrm{cm}^2$
【拓展探究】小云需要43张小纸条,小悦需要57张小纸条,才能使得两人按各自的方法黏合起来的大长方形的面积相等。
【知识点】
1. 长方形面积公式
2. 解一元一次方程
3. 一元一次方程的实际应用
【点评】
本题结合手工黏合纸条的生活场景，既考查基础数学概念的识记，又考查列代数式、建立方程模型解决实际问题的能力，解题关键是准确计算多张纸条黏合时的总长度/总宽度，注意黏合次数比纸条数少1。
【难度系数】
0.7