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9. 若代数式$\frac{5n -1}{6}$的值比$\frac{2n +3}{4}$的值小2，求n的值。
答案
9.由题意,得 $\frac{5n-1}{6}-\frac{2n+3}{4}=-2$,去分母,得 $2(5n-1)-3(2n+3)=-24$,去括号,得 $10n-2-6n-9=-24$,解得$n=-\frac{13}{4}$。
解析
【分析】
首先根据题干的数量关系列方程：“$\frac{5n -1}{6}$的值比$\frac{2n +3}{4}$的值小2”，即前者减后者的差为-2，得到一元一次方程后，按解带分母的一元一次方程的标准步骤求解即可：先找分母的最小公倍数去分母，再去括号，随后移项合并同类项，最后系数化为1得到n的值。
【解析】
由题意，得：
$\frac{5n-1}{6}-\frac{2n+3}{4}=-2$
去分母（两边同乘12，注意不漏乘等号右侧的常数项），得：
$2(5n-1)-3(2n+3)=-24$
去括号（注意负号的变号规则），得：
$10n-2-6n-9=-24$
合并同类项，得：
$4n-11=-24$
移项，得：
$4n=-24+11$
$4n=-13$
系数化为1，得：
$n=-\frac{13}{4}$
【答案】
$n=-\frac{13}{4}$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题核心考查文字表述转化为代数方程的能力，以及带分母一元一次方程的运算规则，解题时容易出现去分母漏乘常数项、去括号符号错误的问题，运算时需格外注意。
【难度系数】
0.7
首先根据题干的数量关系列方程：“$\frac{5n -1}{6}$的值比$\frac{2n +3}{4}$的值小2”，即前者减后者的差为-2，得到一元一次方程后，按解带分母的一元一次方程的标准步骤求解即可：先找分母的最小公倍数去分母，再去括号，随后移项合并同类项，最后系数化为1得到n的值。
【解析】
由题意，得：
$\frac{5n-1}{6}-\frac{2n+3}{4}=-2$
去分母（两边同乘12，注意不漏乘等号右侧的常数项），得：
$2(5n-1)-3(2n+3)=-24$
去括号（注意负号的变号规则），得：
$10n-2-6n-9=-24$
合并同类项，得：
$4n-11=-24$
移项，得：
$4n=-24+11$
$4n=-13$
系数化为1，得：
$n=-\frac{13}{4}$
【答案】
$n=-\frac{13}{4}$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题核心考查文字表述转化为代数方程的能力，以及带分母一元一次方程的运算规则，解题时容易出现去分母漏乘常数项、去括号符号错误的问题，运算时需格外注意。
【难度系数】
0.7
10. 小马在解关于$ x $的方程$\frac{x+2}{3} - \frac{3x -k}{6} = 2$时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得$ x=4 $，则$ k $的值为（
A.1
B.2
C.4
D.6
B
）A.1
B.2
C.4
D.6
答案
10.B
解析
【分析】
本题属于一元一次方程的错解问题，解题思路如下：首先根据题目描述还原小马去分母错误后得到的方程；其次明确小马解得的$x=4$是这个错误方程的解，代入后方程左右两边相等；最后将$x=4$代入错误方程，解关于$k$的一元一次方程即可求出$k$的值。
【解析】
根据题意，小马去分母时等号右边漏乘6，因此得到的错误方程为：
$2(x+2) - (3x - k) = 2$
已知$x=4$是该错误方程的解，将$x=4$代入上述方程：
$2×(4+2) - (3×4 - k) = 2$
计算得：
$12 - (12 - k) = 2$
去括号化简：
$12 - 12 + k = 2$
解得：$k=2$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解，去分母运算
【点评】
本题是典型的方程错解类问题，核心解题思路是“将错就错”，错解是错误变形后方程的正确解，代入错解即可求出未知参数，主要考查对一元一次方程解的定义的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
本题属于一元一次方程的错解问题，解题思路如下：首先根据题目描述还原小马去分母错误后得到的方程；其次明确小马解得的$x=4$是这个错误方程的解，代入后方程左右两边相等；最后将$x=4$代入错误方程，解关于$k$的一元一次方程即可求出$k$的值。
【解析】
根据题意，小马去分母时等号右边漏乘6，因此得到的错误方程为：
$2(x+2) - (3x - k) = 2$
已知$x=4$是该错误方程的解，将$x=4$代入上述方程：
$2×(4+2) - (3×4 - k) = 2$
计算得：
$12 - (12 - k) = 2$
去括号化简：
$12 - 12 + k = 2$
解得：$k=2$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解，去分母运算
【点评】
本题是典型的方程错解类问题，核心解题思路是“将错就错”，错解是错误变形后方程的正确解，代入错解即可求出未知参数，主要考查对一元一次方程解的定义的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
11. 已知关于$x$的方程$x-\frac{x+2}{3}=\frac{3-a}{6}$的解为非负整数,请你写出一个符合条件的自然数$a$的值:
3(答案不唯一)
。答案
11.3(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先把a看作常数，按照解一元一次方程的常规步骤求出x关于a的表达式，再结合“解为非负整数”“a是自然数”两个限制条件，推导a的可能取值，任选一个符合要求的即可。
【解析】
第一步：解关于x的一元一次方程$x-\frac{x+2}{3}=\frac{3-a}{6}$
1. 去分母，方程两边同时乘6，得：$6x - 2(x+2) = 3 - a$
2. 去括号，得：$6x - 2x - 4 = 3 - a$
3. 合并同类项，得：$4x - 4 = 3 - a$
4. 移项，得：$4x = 7 - a$
5. 系数化为1，得：$x = \frac{7 - a}{4}$
第二步：根据条件筛选a的值
因为方程的解x为非负整数，a为自然数：
① 由$x ≥ 0$可得$\frac{7 - a}{4} ≥ 0$，即$a ≤ 7$；
② 由x为整数可得$7 - a$是4的非负整数倍，结合$a ≤7$，可得$7 - a=4$或$7 - a=0$。
当$7 - a=4$时，$a=3$，此时$x=1$，符合所有要求。
【答案】
3(答案不唯一，7也正确)
【知识点】
解一元一次方程；方程的解的定义；非负整数概念
【点评】
本题属于中等综合题，解题核心是先求出含参数的方程解，再结合限制条件筛选参数，解题时要注意非负整数、自然数的取值范围，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以先把a看作常数，按照解一元一次方程的常规步骤求出x关于a的表达式，再结合“解为非负整数”“a是自然数”两个限制条件，推导a的可能取值，任选一个符合要求的即可。
【解析】
第一步：解关于x的一元一次方程$x-\frac{x+2}{3}=\frac{3-a}{6}$
1. 去分母，方程两边同时乘6，得：$6x - 2(x+2) = 3 - a$
2. 去括号，得：$6x - 2x - 4 = 3 - a$
3. 合并同类项，得：$4x - 4 = 3 - a$
4. 移项，得：$4x = 7 - a$
5. 系数化为1，得：$x = \frac{7 - a}{4}$
第二步：根据条件筛选a的值
因为方程的解x为非负整数，a为自然数：
① 由$x ≥ 0$可得$\frac{7 - a}{4} ≥ 0$，即$a ≤ 7$；
② 由x为整数可得$7 - a$是4的非负整数倍，结合$a ≤7$，可得$7 - a=4$或$7 - a=0$。
当$7 - a=4$时，$a=3$，此时$x=1$，符合所有要求。
【答案】
3(答案不唯一，7也正确)
【知识点】
解一元一次方程；方程的解的定义；非负整数概念
【点评】
本题属于中等综合题，解题核心是先求出含参数的方程解，再结合限制条件筛选参数，解题时要注意非负整数、自然数的取值范围，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
12. 关于x的两个一元一次方程$x-1=a$ ①，$3x+1=2a$ ②，已知方程①的解比方程②的解大1，求a的值。
答案
12.解方程①得 $x=a+1$,解方程②得 $x=\frac{2a-1}{3}$,因为方程①的解比方程②的解大 1,所以 $a+1=\frac{2a-1}{3}+1$,解得 $a=-1$。
解析
【分析】
解题时首先需要分别求出两个一元一次方程的解，用含参数a的代数式表示；再根据“方程①的解比方程②的解大1”这一条件，找到两个解之间的等量关系，列出关于a的一元一次方程，最后解这个方程即可求出a的值。
【解析】
1. 求解方程①：对$x-1=a$移项，可得$x=a+1$；
2. 求解方程②：对$3x+1=2a$先移项得$3x=2a-1$，再将系数化为1，可得$x=\frac{2a-1}{3}$；
3. 根据“方程①的解比方程②的解大1”列等式：
$a+1=\frac{2a-1}{3}+1$
4. 解关于a的方程：
两边同时乘3消去分母，得$3(a+1)=2a-1+3$
去括号得$3a+3=2a+2$
移项合并同类项得$a=-1$
【答案】
$a=-1$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；列方程求参数
【点评】
本题属于一元一次方程的基础应用类题目，核心是利用两个方程解的大小关系建立新方程，解题的关键是能正确解出含参数的一元一次方程，准确找准等量关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要分别求出两个一元一次方程的解，用含参数a的代数式表示；再根据“方程①的解比方程②的解大1”这一条件，找到两个解之间的等量关系，列出关于a的一元一次方程，最后解这个方程即可求出a的值。
【解析】
1. 求解方程①：对$x-1=a$移项，可得$x=a+1$；
2. 求解方程②：对$3x+1=2a$先移项得$3x=2a-1$，再将系数化为1，可得$x=\frac{2a-1}{3}$；
3. 根据“方程①的解比方程②的解大1”列等式：
$a+1=\frac{2a-1}{3}+1$
4. 解关于a的方程：
两边同时乘3消去分母，得$3(a+1)=2a-1+3$
去括号得$3a+3=2a+2$
移项合并同类项得$a=-1$
【答案】
$a=-1$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；列方程求参数
【点评】
本题属于一元一次方程的基础应用类题目，核心是利用两个方程解的大小关系建立新方程，解题的关键是能正确解出含参数的一元一次方程，准确找准等量关系。
【难度系数】
0.8
13. 观察下列三个等式：$2+2=2×2$，$3+\frac{3}{2}=3×\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}+(-1)=\frac{1}{2}×(-1)$，我们将使等式$a+b=ab$成立的一对实数$a,b$称为“美好数对”，记为$(a,b)$，如数对$(2,2)$，$(3,\frac{3}{2})$，$(\frac{1}{2},-1)$都是“美好数对”，请回答下列问题：
(1) 数对$(-4,\frac{4}{5})$是“美好数对”吗？请说明理由。
(2) 若$(a,\frac{2}{3})$是“美好数对”，求$a$的值。
(3) 若$(-3,m^2-2m)$是“美好数对”，求代数式$m^2-2m$的值。
(1) 数对$(-4,\frac{4}{5})$是“美好数对”吗？请说明理由。
(2) 若$(a,\frac{2}{3})$是“美好数对”，求$a$的值。
(3) 若$(-3,m^2-2m)$是“美好数对”，求代数式$m^2-2m$的值。
答案
13.(1)数对$(-4,\frac{4}{5})$是“美好数对”。理由如下:因为$-4+\frac{4}{5}=-\frac{16}{5},(-4)×\frac{4}{5}=-\frac{16}{5}$,则$-4+\frac{4}{5}=(-4)×\frac{4}{5}$,所以$(-4,\frac{4}{5})$是“美好数对”。
(2)因为$(a,\frac{2}{3})$是“美好数对”,所以 $a+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}a$,解得 $a=-2$。
(3)根据定义得$-3+m^2-2m=-3(m^2-2m)$,所以 $4(m^2-2m)=3$,即 $m^2-2m=\frac{3}{4}$。
(2)因为$(a,\frac{2}{3})$是“美好数对”,所以 $a+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}a$,解得 $a=-2$。
(3)根据定义得$-3+m^2-2m=-3(m^2-2m)$,所以 $4(m^2-2m)=3$,即 $m^2-2m=\frac{3}{4}$。
解析
【分析】
解决本题的核心是准确理解“美好数对”的定义：若数对$(a,b)$满足$a+b=ab$，则为“美好数对”。
(1)判断给定数对是否符合要求，只需分别计算两数的和与积，比较二者是否相等即可；
(2)已知数对中的一个数，将$a$和$b=\frac{2}{3}$代入定义的等式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值；
(3)将$a=-3$，$b=m^2-2m$代入定义等式，把$m^2-2m$看作一个整体计算，无需单独求解$m$，可简化计算过程。
【解析】
(1) 分别计算数对$(-4,\frac{4}{5})$对应两数的和与积：
两数之和：$-4+\frac{4}{5}=-\frac{20}{5}+\frac{4}{5}=-\frac{16}{5}$
两数之积：$(-4)×\frac{4}{5}=-\frac{16}{5}$
因为$-4+\frac{4}{5}=(-4)×\frac{4}{5}$，满足“美好数对”的定义，所以$(-4,\frac{4}{5})$是“美好数对”。
(2) 已知$(a,\frac{2}{3})$是“美好数对”，代入定义$a+b=ab$可得：
$a+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}a$
移项得：$a-\frac{2}{3}a=-\frac{2}{3}$
合并同类项得：$\frac{1}{3}a=-\frac{2}{3}$
系数化为1得：$a=-2$
(3) 已知$(-3,m^2-2m)$是“美好数对”，代入定义可得：
$-3+(m^2-2m)=-3(m^2-2m)$
移项得：$(m^2-2m)+3(m^2-2m)=3$
合并同类项得：$4(m^2-2m)=3$
系数化为1得：$m^2-2m=\frac{3}{4}$
【答案】
(1) 是“美好数对”，理由见解析；
(2) $a=-2$；
(3) $m^2-2m=\frac{3}{4}$
【知识点】
新定义运算，一元一次方程解法，整体代入求值
【点评】
本题以新定义为载体，考查方程的实际应用，解题关键是准确理解新定义的运算规则，将陌生的新定义问题转化为常规的等式运算、解方程问题，第三问运用整体思想可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是准确理解“美好数对”的定义：若数对$(a,b)$满足$a+b=ab$，则为“美好数对”。
(1)判断给定数对是否符合要求，只需分别计算两数的和与积，比较二者是否相等即可；
(2)已知数对中的一个数，将$a$和$b=\frac{2}{3}$代入定义的等式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值；
(3)将$a=-3$，$b=m^2-2m$代入定义等式，把$m^2-2m$看作一个整体计算，无需单独求解$m$，可简化计算过程。
【解析】
(1) 分别计算数对$(-4,\frac{4}{5})$对应两数的和与积：
两数之和：$-4+\frac{4}{5}=-\frac{20}{5}+\frac{4}{5}=-\frac{16}{5}$
两数之积：$(-4)×\frac{4}{5}=-\frac{16}{5}$
因为$-4+\frac{4}{5}=(-4)×\frac{4}{5}$，满足“美好数对”的定义，所以$(-4,\frac{4}{5})$是“美好数对”。
(2) 已知$(a,\frac{2}{3})$是“美好数对”，代入定义$a+b=ab$可得：
$a+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}a$
移项得：$a-\frac{2}{3}a=-\frac{2}{3}$
合并同类项得：$\frac{1}{3}a=-\frac{2}{3}$
系数化为1得：$a=-2$
(3) 已知$(-3,m^2-2m)$是“美好数对”，代入定义可得：
$-3+(m^2-2m)=-3(m^2-2m)$
移项得：$(m^2-2m)+3(m^2-2m)=3$
合并同类项得：$4(m^2-2m)=3$
系数化为1得：$m^2-2m=\frac{3}{4}$
【答案】
(1) 是“美好数对”，理由见解析；
(2) $a=-2$；
(3) $m^2-2m=\frac{3}{4}$
【知识点】
新定义运算，一元一次方程解法，整体代入求值
【点评】
本题以新定义为载体，考查方程的实际应用，解题关键是准确理解新定义的运算规则，将陌生的新定义问题转化为常规的等式运算、解方程问题，第三问运用整体思想可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
