登录
3. 在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图所示，它们的坐标分别是$(-1,1)$，$(0,0)$和$(1,0)$。
(1)在图(1)中添加一颗棋子C，使得以A，O，B，C四颗棋子为顶点的四边形为一个轴对称图形，但不是中心对称图形，并直接写出棋子C的坐标；
(2)在图(2)中添加一颗棋子P，使得以A，O，B，P四颗棋子为顶点的四边形为中心对称图形，但不是轴对称图形，并直接写出棋子P的坐标。
(1)在图(1)中添加一颗棋子C，使得以A，O，B，C四颗棋子为顶点的四边形为一个轴对称图形，但不是中心对称图形，并直接写出棋子C的坐标；
(2)在图(2)中添加一颗棋子P，使得以A，O，B，P四颗棋子为顶点的四边形为中心对称图形，但不是轴对称图形，并直接写出棋子P的坐标。
答案
解：
(1) 图略，棋子C的坐标可以为$\boldsymbol{(2,1)}$（答案不唯一，符合要求即可）；
(2) 图略，棋子P的坐标可以为$\boldsymbol{(-2,1)}$（答案不唯一，符合要求即可）。
(1) 图略，棋子C的坐标可以为$\boldsymbol{(2,1)}$（答案不唯一，符合要求即可）；
(2) 图略，棋子P的坐标可以为$\boldsymbol{(-2,1)}$（答案不唯一，符合要求即可）。
解析
【分析】
解题时首先明确两类对称图形的定义：①轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；②中心对称图形：绕某一个点旋转180°后，能和自身重合。
(1) 要构造轴对称但非中心对称的四边形，可先确定对称轴，比如选择线段OB的垂直平分线$x=0.5$作为对称轴，找到点A关于该对称轴的对称点即为C，此时得到的四边形是等腰梯形，符合轴对称、非中心对称的要求。
(2) 要构造中心对称但非轴对称的四边形，可构造普通平行四边形（平行四边形是中心对称图形，不含矩形、菱形的普通平行四边形不是轴对称图形），利用平行四边形对边平行且相等的性质，找到符合要求的P点即可。
【解析】
(1) 已知$A(-1,1)$，选对称轴为直线$x=0.5$，点A关于$x=0.5$的对称点C的横坐标为$0.5+[0.5-(-1)]=2$，纵坐标和A相同为1，即$C(2,1)$。此时四边形AOBC为等腰梯形，沿$x=0.5$折叠可重合，是轴对称图形；旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，符合要求（答案不唯一）。
(2) 要构造普通平行四边形，若让AP与OB平行且相等，OB的长度为1，沿水平方向向左平移1个单位长度，点$A(-1,1)$向左平移1个单位得到$P(-1-1,1)=(-2,1)$。此时四边形APOB为平行四边形，绕对角线交点旋转180°可与自身重合，是中心对称图形；不存在对称轴使折叠后两边重合，不是轴对称图形，符合要求（答案不唯一）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,1)}$（答案不唯一，符合要求即可）；
(2) $\boldsymbol{(-2,1)}$（答案不唯一，符合要求即可）。
【知识点】
轴对称图形判定、中心对称图形判定、点的坐标变换
【点评】
本题围绕两类对称图形的性质考查图形构造，解题关键是熟练掌握轴对称、中心对称图形的特征，结合平面直角坐标系中点的平移、对称规律寻找对应点，题目具有一定开放性，能有效考查对概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两类对称图形的定义：①轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；②中心对称图形：绕某一个点旋转180°后，能和自身重合。
(1) 要构造轴对称但非中心对称的四边形，可先确定对称轴，比如选择线段OB的垂直平分线$x=0.5$作为对称轴，找到点A关于该对称轴的对称点即为C，此时得到的四边形是等腰梯形，符合轴对称、非中心对称的要求。
(2) 要构造中心对称但非轴对称的四边形，可构造普通平行四边形（平行四边形是中心对称图形，不含矩形、菱形的普通平行四边形不是轴对称图形），利用平行四边形对边平行且相等的性质，找到符合要求的P点即可。
【解析】
(1) 已知$A(-1,1)$，选对称轴为直线$x=0.5$，点A关于$x=0.5$的对称点C的横坐标为$0.5+[0.5-(-1)]=2$，纵坐标和A相同为1，即$C(2,1)$。此时四边形AOBC为等腰梯形，沿$x=0.5$折叠可重合，是轴对称图形；旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，符合要求（答案不唯一）。
(2) 要构造普通平行四边形，若让AP与OB平行且相等，OB的长度为1，沿水平方向向左平移1个单位长度，点$A(-1,1)$向左平移1个单位得到$P(-1-1,1)=(-2,1)$。此时四边形APOB为平行四边形，绕对角线交点旋转180°可与自身重合，是中心对称图形；不存在对称轴使折叠后两边重合，不是轴对称图形，符合要求（答案不唯一）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,1)}$（答案不唯一，符合要求即可）；
(2) $\boldsymbol{(-2,1)}$（答案不唯一，符合要求即可）。
【知识点】
轴对称图形判定、中心对称图形判定、点的坐标变换
【点评】
本题围绕两类对称图形的性质考查图形构造，解题关键是熟练掌握轴对称、中心对称图形的特征，结合平面直角坐标系中点的平移、对称规律寻找对应点，题目具有一定开放性，能有效考查对概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
例 如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点O成中心对称的图形。若点A的坐标是(1，4)，求点M和点N的坐标。
归纳总结
中心对称图形上的每一组对应点所连成的线段都被对称中心平分。
归纳总结
中心对称图形上的每一组对应点所连成的线段都被对称中心平分。
答案
解：
∵ 点A与点M关于坐标原点O成中心对称，点A的坐标是(1,4)，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，
∴ 点M的坐标为(-1,-4)。
∵ 点A与点N关于x轴成轴对称，点A的坐标是(1,4)，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴ 点N的坐标为(1,-4)。
答：点M的坐标为(-1,-4)，点N的坐标为(1,-4)。
∵ 点A与点M关于坐标原点O成中心对称，点A的坐标是(1,4)，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，
∴ 点M的坐标为(-1,-4)。
∵ 点A与点N关于x轴成轴对称，点A的坐标是(1,4)，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴ 点N的坐标为(1,-4)。
答：点M的坐标为(-1,-4)，点N的坐标为(1,-4)。
解析
【分析】
解题时先结合题目给出的图形对称性，判断点M、点N与已知点A的对称关系：①图形关于原点O中心对称，因此点M是点A关于原点的对称点；②图形关于x轴对称，因此点N是点A关于x轴的对称点。再分别回忆两种对称对应的坐标变化规律，代入A点坐标计算即可得到M、N的坐标。
【解析】
∵ 点A与点M关于坐标原点O成中心对称，点A的坐标是(1,4)，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，
∴ 点M的坐标为(-1,-4)。
∵ 点A与点N关于x轴成轴对称，点A的坐标是(1,4)，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴ 点N的坐标为(1,-4)。
【答案】
点M的坐标为(-1,-4)，点N的坐标为(1,-4)
【知识点】
原点对称的坐标特点；x轴对称的坐标特点；中心对称的性质
【点评】
本题是坐标与图形对称性的基础应用题，解题关键是准确判断对应点的对称类型，牢记不同对称关系下的坐标变化规律即可轻松求解。
【难度系数】
0.9
解题时先结合题目给出的图形对称性，判断点M、点N与已知点A的对称关系：①图形关于原点O中心对称，因此点M是点A关于原点的对称点；②图形关于x轴对称，因此点N是点A关于x轴的对称点。再分别回忆两种对称对应的坐标变化规律，代入A点坐标计算即可得到M、N的坐标。
【解析】
∵ 点A与点M关于坐标原点O成中心对称，点A的坐标是(1,4)，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，
∴ 点M的坐标为(-1,-4)。
∵ 点A与点N关于x轴成轴对称，点A的坐标是(1,4)，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴ 点N的坐标为(1,-4)。
【答案】
点M的坐标为(-1,-4)，点N的坐标为(1,-4)
【知识点】
原点对称的坐标特点；x轴对称的坐标特点；中心对称的性质
【点评】
本题是坐标与图形对称性的基础应用题，解题关键是准确判断对应点的对称类型，牢记不同对称关系下的坐标变化规律即可轻松求解。
【难度系数】
0.9
1. 如图，正方形ABCD的边长为a，则阴影部分的面积为
$\frac{a^2}{2}$
。答案
1. $\frac{a^2}{2}$
解析
【分析】
题目要求计算不规则阴影部分的面积，直接拆分计算各阴影面积需要用到圆的面积公式，计算较繁琐。我们可以利用转化思想，通过割补法拼接阴影部分：观察图形可知，沿正方形对角线BD切割后，左下方的阴影部分与右上方的空白部分形状完全相同，将左下方阴影平移或旋转到右上方空白处，阴影部分可拼接为正方形面积的一半，直接用正方形面积即可快速求解。
【解析】
解：已知正方形ABCD的边长为$a$，则正方形的面积为：
$S_{正方形}=a × a = a^2$
通过割补法，将左下角的阴影部分补到右上角的空白弓形区域，阴影部分刚好组成正方形面积的一半，因此阴影部分的面积为：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{正方形}=\frac{a^2}{2}$
【答案】
$\frac{a^2}{2}$
【知识点】
割补法求阴影面积；正方形面积计算
【点评】
本题是典型的不规则图形面积计算问题，核心解题思路是利用割补法将不规则图形转化为规则图形，省去了复杂的圆相关运算，能很好地考查学生对几何转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
题目要求计算不规则阴影部分的面积，直接拆分计算各阴影面积需要用到圆的面积公式，计算较繁琐。我们可以利用转化思想，通过割补法拼接阴影部分：观察图形可知，沿正方形对角线BD切割后，左下方的阴影部分与右上方的空白部分形状完全相同，将左下方阴影平移或旋转到右上方空白处，阴影部分可拼接为正方形面积的一半，直接用正方形面积即可快速求解。
【解析】
解：已知正方形ABCD的边长为$a$，则正方形的面积为：
$S_{正方形}=a × a = a^2$
通过割补法，将左下角的阴影部分补到右上角的空白弓形区域，阴影部分刚好组成正方形面积的一半，因此阴影部分的面积为：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{正方形}=\frac{a^2}{2}$
【答案】
$\frac{a^2}{2}$
【知识点】
割补法求阴影面积；正方形面积计算
【点评】
本题是典型的不规则图形面积计算问题，核心解题思路是利用割补法将不规则图形转化为规则图形，省去了复杂的圆相关运算，能很好地考查学生对几何转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知六边形 ABCDEF 是以点 O 为对称中心的中心对称图形。请补全该六边形，并指出所有的对应点和对应线段。
答案
解：作图略。
点A的对应点是D，点B的对应点是E，点C的对应点是F；线段AB的对应线段是DE，线段BC的对应线段是EF，线段CD的对应线段是AF。
点A的对应点是D，点B的对应点是E，点C的对应点是F；线段AB的对应线段是DE，线段BC的对应线段是EF，线段CD的对应线段是AF。
解析
【分析】
要补全以O为对称中心的中心对称六边形，需运用中心对称图形的核心性质：中心对称图形中每组对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。解题思路如下：首先确定已知顶点A、B、C，利用上述性质作出它们关于点O的对应点（A的对应点D已给出），再顺次连接各点补全图形，最后根据对称关系梳理对应点和对应线段即可。
【解析】
作图步骤：
1. 连接BO并延长至点E，使OE=OB，得到点B的对应点E；
2. 连接CO并延长至点F，使OF=OC，得到点C的对应点F；
3. 顺次连接DE、EF、FA，即可补全六边形ABCDEF。
对应关系梳理：
对应点：点A与点D对称，点B与点E对称，点C与点F对称；
对应线段：线段AB与线段DE对称，线段BC与线段EF对称，线段CD与线段AF对称。
【答案】
作图略。点A的对应点是D，点B的对应点是E，点C的对应点是F；线段AB的对应线段是DE，线段BC的对应线段是EF，线段CD的对应线段是AF。
【知识点】
中心对称图形性质，中心对称作图，对应元素识别
【点评】
本题是中心对称性质的基础应用题，解题核心是牢记“对应点连线过对称中心且被对称中心平分”的特点，准确找到对应点是补全图形、识别对应线段的关键。
【难度系数】
0.8
要补全以O为对称中心的中心对称六边形，需运用中心对称图形的核心性质：中心对称图形中每组对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。解题思路如下：首先确定已知顶点A、B、C，利用上述性质作出它们关于点O的对应点（A的对应点D已给出），再顺次连接各点补全图形，最后根据对称关系梳理对应点和对应线段即可。
【解析】
作图步骤：
1. 连接BO并延长至点E，使OE=OB，得到点B的对应点E；
2. 连接CO并延长至点F，使OF=OC，得到点C的对应点F；
3. 顺次连接DE、EF、FA，即可补全六边形ABCDEF。
对应关系梳理：
对应点：点A与点D对称，点B与点E对称，点C与点F对称；
对应线段：线段AB与线段DE对称，线段BC与线段EF对称，线段CD与线段AF对称。
【答案】
作图略。点A的对应点是D，点B的对应点是E，点C的对应点是F；线段AB的对应线段是DE，线段BC的对应线段是EF，线段CD的对应线段是AF。
【知识点】
中心对称图形性质，中心对称作图，对应元素识别
【点评】
本题是中心对称性质的基础应用题，解题核心是牢记“对应点连线过对称中心且被对称中心平分”的特点，准确找到对应点是补全图形、识别对应线段的关键。
【难度系数】
0.8
