1.如图，直线$ l_1 // l_2 // l_3 $，直线AC分别交$ l_1,l_2,l_3 $于点A,B,C，直线DF分别交$ l_1,l_2,l_3 $于点D,E,F.若AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则$\frac{DE}{EF}$的值为()

A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$

D

先计算线段AB的长度：$AB=AH+HB=2+1=3$，因为$l_1// l_2// l_3$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$。

2.如图，$△ ABC$的高CD和高BE相交于点O，则与$△ DOB$相似的三角形的个数是（）

A.2
B.3
C.4
D.5

B

已知CD、BE是△ABC的高，因此∠BDO=∠BEA=∠CDA=∠CEO=90°：
1. 由∠OBD=∠ABE，∠BDO=∠BEA=90°，可证△DOB∽△EAB；
2. 由∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO=90°，可证△DOB∽△EOC；
3. 由∠DOB+∠DBO=90°，∠A+∠DBO=90°得∠DOB=∠A，结合∠BDO=∠CDA=90°，可证△DOB∽△DAC。
综上，与△DOB相似的三角形共3个。

3.如图,在平面直角坐标系中,$∠ AOB=90°$,$∠ OAB=30°$,反比例函数$y_1=\frac{m}{x}$的图象经过点$A$,反比例函数$y_2=\frac{n}{x}$的图象经过点$B$.下列关于$m,n$的关系正确的是()


A.$m=\frac{\sqrt{3}}{3}n$
B.$m=-\sqrt{3}n$
C.$m=-\frac{\sqrt{3}}{3}n$
D.$m=-3n$

D

过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D。
∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，又∠OAC+∠AOC=90°，∴∠BOD=∠OAC，又∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA。
在Rt△AOB中，∠OAB=30°，∴$\frac{OB}{OA}=\tan30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即相似比为$\frac{1}{\sqrt{3}}$。
设A$(x_1,y_1)$，则$m=x_1y_1$；设B$(x_2,y_2)$，B在第二象限，$x_2＜0,y_2＞0$，则$n=x_2y_2$。
由相似得：$\frac{BD}{OC}=\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$\frac{y_2}{x_1}=\frac{-x_2}{y_1}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，可得$x_1=\sqrt{3}y_2$，$y_1=-\sqrt{3}x_2$。
代入$m=x_1y_1$得：$m=\sqrt{3}y_2·(-\sqrt{3}x_2)=-3x_2y_2=-3n$。

4.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越能给人一种美感.若某女士的身高为160 cm，她的下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（结果精确到1 cm）.

解：
该女士原本的下半身长为：$160 × 0.60 = 96\ \mathrm{cm}$
设她应穿的高跟鞋的高度为$x\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程：
$\frac{96 + x}{160 + x} = 0.618$
解方程：
$96 + x = 0.618(160 + x)$
$96 + x = 98.88 + 0.618x$
$x - 0.618x = 98.88 - 96$
$0.382x = 2.88$
$x \approx 8$
答：她应穿的高跟鞋的高度大约为$8\ \mathrm{cm}$。

5. 提升题 如图，在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=6$，$P$是$AC$的中点，过点$P$的直线交$AB$于点$Q$.若以$A$，$P$，$Q$为顶点的三角形和$△ ABC$相似，则$AQ$的长为.

解：
∵ P是AC的中点，AC=6，
∴ $AP=\frac{1}{2}AC=3$。
∵ ∠A是△APQ和△ABC的公共角，分两种相似情况讨论：
1. 当$△ APQ ∽ △ ACB$时，
对应边成比例：$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$，
代入$AP=3$，$AC=6$，$AB=8$，得$\frac{3}{6}=\frac{AQ}{8}$，
解得$AQ=4$。
2. 当$△ APQ ∽ △ ABC$时，
对应边成比例：$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
代入$AP=3$，$AB=8$，$AC=6$，得$\frac{3}{8}=\frac{AQ}{6}$，
解得$AQ=\frac{9}{4}$。
综上，AQ的长为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\frac{9}{4}}$。

6.如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，$CD⊥ AB$于点D.若$CD=2\ \mathrm{cm}$，$AD=1\ \mathrm{cm}$，则$AB=$.

$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$

解：连接OC，设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OC=OA=r\ \mathrm{cm}$，
$OD = OA - AD = (r - 1)\ \mathrm{cm}$。
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，由勾股定理得：
$OD^2 + CD^2 = OC^2$，
代入$CD=2\ \mathrm{cm}$，得：
$(r-1)^2 + 2^2 = r^2$
展开化简：
$r^2 - 2r + 1 + 4 = r^2$，
$2r=5$，
$\therefore AB=2r=5\ \mathrm{cm}$。

7.如图,在$△ ABC$中,延长$BC$到点$D$,使$CD=BC$,取$AB$的中点$F$,连接$FD$,交$AC$于点$E$.
(1)求$\frac{AE}{AC}$的值;
(2)若$AB=a$,$FB=EC$,求$AC$的长.

解：(1) 过点F作$FG// AC$，交BC于点G。
∵ F为AB的中点，$FG// AC$，
∴ FG是$△ ABC$的中位线，
∴ $FG = \frac{1}{2}AC$，G是BC中点，即$BG = GC = \frac{1}{2}BC$。
∵ $CD = BC$，
∴ $GD = GC + CD = \frac{1}{2}BC + BC = \frac{3}{2}BC$。
∵ $FG// EC$，
∴ $△ DCE ∽ △ DGF$，
∴ $\frac{EC}{FG} = \frac{CD}{GD} = \frac{BC}{\frac{3}{2}BC} = \frac{2}{3}$，
∴ $EC = \frac{2}{3}FG = \frac{2}{3} × \frac{1}{2}AC = \frac{1}{3}AC$，
∴ $AE = AC - EC = \frac{2}{3}AC$，
即 $\frac{AE}{AC} = \frac{2}{3}$。
(2) ∵ F是AB的中点，$AB = a$，
∴ $FB = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$。
∵ $FB = EC$，
∴ $EC = \frac{a}{2}$。
由(1)得 $EC = \frac{1}{3}AC$，
∴ $AC = 3EC = 3 × \frac{a}{2} = \frac{3}{2}a$。