15.已知点$A(a-1,b+2),B(3,4),C(-1,-2)$在同一个平面直角坐标系中，且AB所在的直线平行于x轴，AC所在的直线平行于y轴，则$a+b=$

15.2

【分析】
解题时先回忆平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等。我们可以先根据AC平行于y轴的条件，列等式求出a的值，再根据AB平行于x轴的条件列等式求出b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
解：
∵AC所在的直线平行于y轴，
∴点A与点C的横坐标相等，
即$a-1=-1$，解得$a=0$；
∵AB所在的直线平行于x轴，
∴点A与点B的纵坐标相等，
即$b+2=4$，解得$b=2$；
∴$a+b=0+2=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 平行于x轴的点的坐标特征
2. 平行于y轴的点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系中点的坐标规律的基础应用题，解题的关键是牢记平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，注意不要混淆横纵坐标对应的规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8

16. 如图,在以点 O 为原点的平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别为$(a,0),(a,b)$,点 C在 y 轴上,且$BC// x$轴,a,b 满足$|a-3|+\sqrt{b-4}=0$.点 P 从原点出发,以 1 个单位长度/秒的速度沿着 O—A—B—C—O 的路线运动(回到点 O 为止).
(1)直接写出点 A,B,C 的坐标.
(2)当点 P 运动 5 秒时,求出点 P 的坐标.

(3)点 P 运动 t 秒后$(t≠0)$,是否存在点 P到 x 轴的距离为$\frac{1}{2}t$个单位长度的情况.若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

16.解:(1)A(3,0),B(3,4),C(0,4). (2)当P运动5秒时,点P运动了1×5=5个单位长度.
∵AO=3,AB=4,
∴点P运动5秒时,点P在线段AB上.
∵AP=5-3=2,
∴点P的坐标是(3,2). (3)存在.如图.
∵t≠0,
∴点P可能运动到AB或BC或OC上.①当点P运动到AB上,即0＜t≤7时,P₁A=t-OA=t-3,
∴t-3=$\frac{1}{2}t$,解得t=6.
∴P₁A=1×6-3=3.
∴点P₁的坐标为(3,3);②当点P运动到BC上,即7＜t≤10时,点P₂到x轴的距离为4,
∴$\frac{1}{2}t=4$,解得t=8.
∴P₂C=3+4+3-1×8=2.
∴点P₂的坐标为(2,4);③当点P运动到OC上,即10＜t≤14时,P₃O=OA+AB+BC+OC-t=14-t,
∴14-t=$\frac{1}{2}t$,解得$t=\frac{28}{3}$.
∵$\frac{28}{3}＜10$,
∴此情况不符合题意,舍去.综上所述,点P运动t秒后,存在点P到x轴的距离为$\frac{1}{2}t$个单位长度的情况,点的P坐标为(3,3)或(2,4).

【分析】
解本题需分步骤思考：
1. 第(1)问：利用绝对值和算术平方根的非负性，两个非负数相加和为0时每个非负数的值都为0，求出a、b的数值，再结合BC平行x轴、点C在y轴上的位置特征，即可写出A、B、C三点的坐标。
2. 第(2)问：先根据速度和运动时间计算点P的运动总路程，对比OA、AB的长度判断点P所在的线段，再计算对应坐标即可。
3. 第(3)问：先明确点P运动的四个阶段对应的时间范围，点P在OA上时到x轴距离为0，t≠0故排除该情况，分点P在AB、BC、OC上三种情况，分别用含t的代数式表示点P到x轴的距离，令其等于$\frac{1}{2}t$列方程求解，最后验证解是否符合对应阶段的时间范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1)
∵绝对值和算术平方根均具有非负性，且$|a-3|+\sqrt{b-4}=0$
∴$\begin{cases}a-3=0\\b-4=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3\\b=4\end{cases}$
∴点A坐标为$(3,0)$，点B坐标为$(3,4)$；
又
∵BC//x轴，点C在y轴上，
∴点C纵坐标与B相同，横坐标为0，即$C(0,4)$。
(2) 点P的运动速度为1单位长度/秒，运动5秒的路程为$1×5=5$单位长度。
已知$OA=3$，$AB=4$，$OA＜5＜OA+AB=7$，故点P在线段AB上。
$AP=5-3=2$，因此点P横坐标为3，纵坐标为2，即$P(3,2)$。
(3) 存在，分情况讨论如下：
矩形OABC总周长为$3+4+3+4=14$，即点P运动总时间范围为$0＜t≤14$。
① 当点P在AB上时，对应时间范围$0＜t≤7$，点P到x轴的距离为AP的长度，即$t-3$。
令$t-3=\frac{1}{2}t$，解得$t=6$，符合$0＜t≤7$的范围。
此时$AP=6-3=3$，故点P坐标为$(3,3)$。
② 当点P在BC上时，对应时间范围$7＜t≤10$，点P到x轴的距离为4。
令$\frac{1}{2}t=4$，解得$t=8$，符合$7＜t≤10$的范围。
此时点P运动总路程为8，$CP=10-8=2$，故点P横坐标为2，纵坐标为4，即$P(2,4)$。
③ 当点P在OC上时，对应时间范围$10＜t≤14$，点P到x轴的距离为OP的长度，即$14-t$。
令$14-t=\frac{1}{2}t$，解得$t=\frac{28}{3}\approx9.33$，不在$10＜t≤14$范围内，故舍去该情况。
综上，存在符合条件的点P。
【答案】
(1) $A(3,0)$，$B(3,4)$，$C(0,4)$
(2) 点P的坐标是$(3,2)$
(3) 存在，点P的坐标为$(3,3)$或$(2,4)$，如图
【知识点】
非负数的性质，点到坐标轴的距离，动点分类讨论
【点评】
本题综合考查了非负性的应用、平面直角坐标系中点的坐标特征以及动点问题，解题核心是根据点的运动阶段分类讨论，求出结果后要验证是否符合对应阶段的时间范围，避免多解或错解。
【难度系数】
0.6

【例】 若点$M(5+a,a-3)$在第二、四象限的角平分线上，则$a=$.
分析:在第二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数,由此,利用相反数的概念列一元一次方程即可得解.
【方法指导】

【例】 -1

【分析】
解题时首先从题干条件“点在第二、四象限的角平分线上”入手，回忆对应的坐标特征：第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数，即横坐标=-纵坐标。接下来将点M的横坐标$5+a$、纵坐标$a-3$代入上述等量关系，即可得到关于a的一元一次方程，最后解一元一次方程就能求出a的值。
【解析】
解：
∵点$M(5+a,a-3)$在第二、四象限的角平分线上
根据第二、四象限角平分线上的点的坐标特征：横、纵坐标互为相反数，即$x=-y$，可得：
$5+a = -(a-3)$
去括号得：$5+a = -a+3$
移项得：$a+a = 3-5$
合并同类项得：$2a = -2$
系数化为1得：$a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
象限角平分线的点坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题考查平面直角坐标系中特殊位置点的坐标特征，解题核心是熟记第二、四象限角平分线上点的横纵坐标互为相反数，结合该特征列方程求解即可，属于基础题型，熟练掌握对应坐标特征就能快速解答。
【难度系数】
0.8

1.在平面直角坐标系中，若点$P(2m-3,3m-1)$在第一、三象限的角平分线上，则点$P$的坐标为。

1.(-7,-7)

【分析】
首先回忆第一、三象限角平分线上的点的坐标特征：位于第一、三象限角平分线上的点，横坐标和纵坐标相等。解题时先利用该特征列出关于m的一元一次方程，解出m的值后，再分别代入点P的横、纵坐标表达式，即可求出点P的坐标。
【解析】
∵ 第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等，点$P(2m-3,3m-1)$在该角平分线上
∴ 可列方程：$2m - 3 = 3m - 1$
移项得：$2m - 3m = -1 + 3$
合并同类项得：$-m = 2$
系数化为1得：$m = -2$
将$m=-2$代入横坐标表达式：$2m-3=2×(-2)-3=-7$
代入纵坐标表达式：$3m-1=3×(-2)-1=-7$
∴ 点P的坐标为$(-7,-7)$
【答案】
$(-7,-7)$
【知识点】
1. 象限角平分线坐标特征
2. 解一元一次方程
3. 点坐标计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握第一、三象限角平分线上点的横纵坐标相等的性质，结合方程求解即可得到结果，是平面直角坐标系点坐标特征类的典型基础题。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在x轴、y轴上分别截取OA,OB,使OA=OB,再分别以点A,B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧相交于点P.若点P的坐标为$(a,2a-3)$,则a的值为.

2.3

【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断点P在∠AOB的角平分线上，∠AOB是第一象限的直角，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，对应到平面直角坐标系中，第一象限角平分线上的点横坐标和纵坐标相等，且横、纵坐标均为正数。结合点P的坐标$(a,2a-3)$，列等式求解后验证结果符合坐标要求即可。
【解析】
由尺规作图的操作可知，点P是∠AOB的角平分线上的点，
∵∠AOB是第一象限的直角，角平分线上的点到x轴、y轴的距离相等，即点的横坐标与纵坐标相等，且横、纵坐标都大于0，
已知点P的坐标为$(a,2a-3)$，因此可列方程：
$a=2a-3$
移项计算得：$2a-a=3$，即$a=3$。
验证：当$a=3$时，$2a-3=3＞0$，$a=3＞0$，符合点P在第一象限的坐标要求，因此a的值为3。
【答案】
3
【知识点】
1. 角平分线的尺规作图
2. 角平分线的性质
3. 象限角平分线的坐标特征
【点评】
本题综合考察尺规作图的识别和平面直角坐标系的坐标性质，解题的关键是判断出点P在第一象限角平分线上，进而建立方程求解，属于基础的综合应用题，侧重对基础知识的灵活掌握考察。
【难度系数】
0.7

3. 已知点 $ P(2a + 5, 10 - 3a) $ 位于两坐标轴所成角的平分线上，则点 $ P $ 的坐标为.

3.(7,7)或(35,-35)

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确两坐标轴夹角平分线的点的坐标特征：共有两条平分线，①第一、三象限的角平分线上的点，横坐标与纵坐标相等；②第二、四象限的角平分线上的点，横坐标与纵坐标互为相反数。因此我们需要分两种情况列方程求解a的值，再代入计算点P的坐标即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P在第一、三象限的角平分线上时，横、纵坐标相等，可列方程：
$2a + 5 = 10 - 3a$
移项得：$2a + 3a = 10 - 5$
合并同类项得：$5a = 5$
解得：$a = 1$
将$a=1$代入点P坐标，得$2a+5=2×1+5=7$，$10-3a=10-3×1=7$，此时点P坐标为$(7,7)$。
2. 当点P在第二、四象限的角平分线上时，横、纵坐标互为相反数，可列方程：
$2a + 5 + (10 - 3a) = 0$
化简得：$15 - a = 0$
解得：$a = 15$
将$a=15$代入点P坐标，得$2a+5=2×15+5=35$，$10-3a=10-3×15=-35$，此时点P坐标为$(35,-35)$。
综上，点P的坐标为$(7,7)$或$(35,-35)$。
【答案】
$(7,7)$或$(35,-35)$
【知识点】
1. 象限角平分线的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题解题的关键是牢记两坐标轴夹角平分线包含两种情况，需分类讨论求解，很多同学容易只考虑其中一种情况导致漏解，做题时要注意思维的严谨性。
【难度系数】
0.7