学习探究
探究平面直角坐标系中两点间的距离，设
$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2).$
（1）如图1，当点$P_1,P_2$的纵坐标相同时，
$P_1P_2=\_\_\_\_\_\_$；当点$P_1,P_2$的横坐标
相同时，$P_1P_2=\_\_\_\_\_\_.$

（2）如图2，$P_1C=x_2-x_1,P_2C=y_2-y_1$，由勾股定
理，得$P_1P_2=\_\_\_\_\_\_.$

(1)$x_2-x_1$，$y_2-y_1$ (2)$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

【分析】
解题时先从特殊情况入手：①两点纵坐标相同，说明两点连线平行于x轴，两点距离只和横坐标的差有关，结合题干给出的坐标大小关系，直接用大的横坐标减小的横坐标即可；②两点横坐标相同，说明两点连线平行于y轴，两点距离只和纵坐标的差有关，用大的纵坐标减小的纵坐标即可。再推导一般情况：已知构造的直角三角形两条直角边的长度，直接运用勾股定理计算斜边，也就是两点间的距离即可。
【解析】
（1）当点$P_1,P_2$纵坐标相同时，线段$P_1P_2$平行于x轴，两点间距离为横坐标的差，结合条件可得$P_1P_2=x_2-x_1$；当点$P_1,P_2$横坐标相同时，线段$P_1P_2$平行于y轴，两点间距离为纵坐标的差，可得$P_1P_2=y_2-y_1$。
（2）由题意可知$△ P_1CP_2$是直角三角形，两条直角边长分别为$P_1C=x_2-x_1$，$P_2C=y_2-y_1$，根据勾股定理，斜边$P_1P_2=\sqrt{P_1C^2+P_2C^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。
【答案】
(1)$x_2-x_1$，$y_2-y_1$ (2)$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
【知识点】
坐标与图形性质；勾股定理；两点间的距离公式
【点评】
本题是两点间距离公式的推导类题目，从特殊的水平、竖直方向的两点距离推导到任意两点的距离公式，贴合从特殊到一般的认知规律，能帮助理解公式的来源，是坐标类几何计算的基础。
【难度系数】
0.9

1.在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(5，－1)，(5，2)，则A，B两点间的距离为。

1. 3

【分析】
首先观察A、B两点的坐标特征，发现两点横坐标均为5，说明A、B在平行于y轴的同一条竖直线上，此时两点间的距离不需要用通用的两点距离公式计算，直接用纵坐标差的绝对值即可求解。解题时先判断两点坐标的共性，再对应选择最简单的计算方法，避免复杂运算。
【解析】
解：
∵点A的坐标为$(5,-1)$，点B的坐标为$(5,2)$，
∴两点的横坐标相等，直线AB与y轴平行，
∴A、B两点间的距离为两点纵坐标之差的绝对值，即：
$\vert 2 - (-1)\vert = \vert 2 + 1\vert = 3$
【答案】
3
【知识点】
1. 两点间的距离计算
2. 平行于坐标轴的点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中两点距离的基础计算，解题核心是先识别两点横坐标相同的特征，选择更简便的计算方法，避免套用通用公式增加运算量，掌握特殊位置点的坐标规律可快速得到结果。
【难度系数】
0.9

2. 在平面直角坐标系中，已知点$P(1,-\sqrt{2})$到原点的距离为 （）

A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.3

2. C

【分析】
要求平面直角坐标系中点P到原点的距离，可利用由勾股定理推导得到的距离计算方法：平面内任意一点(x,y)到原点(0,0)的距离等于该点横坐标的平方与纵坐标的平方之和的算术平方根。解题时先明确点P的横、纵坐标分别为1和-√2，再代入公式计算即可，计算时要注意负数的平方为正数，避免符号出错。
【解析】
解：设坐标原点为O，则O的坐标为(0,0)。
根据平面直角坐标系中点到原点的距离计算公式：若点坐标为(x,y)，则到原点的距离为$\sqrt{x^2+y^2}$。
将点$P(1,-\sqrt{2})$的坐标代入公式得：
$OP=\sqrt{1^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$
综上本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 两点间距离公式
2. 勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平面直角坐标系中点到原点距离的计算，计算过程中注意负数平方的符号处理，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9

3. 在平面直角坐标系中,点$A(1,2),B(-3,b)$,当线段$AB$最短时,线段$AB$的长为 ()

A.2
B.3
C.4
D.5

3. C

【分析】
首先判断点B的运动轨迹：点B的横坐标固定为-3，因此点B始终在竖直线x=-3上运动，点A为定点。要找到最短的线段AB，可根据垂线段最短的性质，当AB垂直于直线x=-3时AB最短；也可利用两点间距离公式列出AB长度的表达式，分析最小值的情况，再计算最短长度。
【解析】
方法一（几何法）：
1. 点B坐标为$(-3,b)$，横坐标恒为-3，因此点B在直线$x=-3$上运动。
2. 根据垂线段最短的性质，过点$A(1,2)$作直线$x=-3$的垂线，垂足即为使AB最短的点B，此时AB平行于x轴，点B的纵坐标与点A相等，即$b=2$，对应B点坐标为$(-3,2)$。
3. 计算AB长度：两点纵坐标相同，距离等于横坐标差的绝对值，即$AB=|1 - (-3)|=4$。
方法二（代数法）：
根据两点间距离公式，AB的长度为：
$AB=\sqrt{(1+3)^2 + (2 - b)^2}=\sqrt{16 + (2 - b)^2}$
因为$(2 - b)^2≥0$，所以当$(2 - b)^2=0$即$b=2$时，AB取得最小值，最小值为$\sqrt{16}=4$。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短、两点间距离计算
【点评】
本题考查几何性质与代数计算的结合应用，解题关键是先明确动点的运动规律，再选择合适的方法求解最短距离，既可以用几何性质快速判断，也可以通过代数表达式分析最值，是坐标与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.7

4. 已知$△ ABC$各顶点的坐标分别为$A(-1,4)$，$B(-3,1)$，$C(1,1)$，请判定$△ ABC$的形状，并说明理由。

4. 解：$△ ABC$ 是等腰三角形，理由如下：$\because AB = \sqrt{(-1+3)^2+(4-1)^2}=\sqrt{13},BC= \sqrt{(-3-1)^2+(1-1)^2}=4,AC= \sqrt{(-1-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{13},\therefore AB=AC,AB^2+AC^2 ≠ BC^2.\therefore△ ABC$ 为等腰三角形.

【分析】
要判定三角形的形状，可先通过坐标计算三角形三条边的长度，再根据边的长度特征判断：首先回忆两点间距离公式，若有两点P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)，则PQ的长度为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，我们可以分别代入A、B、C三点的坐标算出AB、BC、AC的长度，再观察是否有边相等、是否满足勾股定理逆定理，即可确定三角形形状。
【解析】
解：$△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
根据两点间距离公式计算各边长度：
$AB = \sqrt{(-1+3)^2+(4-1)^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，
$BC= \sqrt{(-3-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{(-4)^2+0^2}=4$，
$AC= \sqrt{(-1-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}$，
$\therefore AB=AC$，
又$\because AB^2+AC^2=13+13=26$，$BC^2=4^2=16$，$26≠16$，即$AB^2+AC^2 ≠ BC^2$，
$\therefore△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
两点间距离公式；等腰三角形的判定
【点评】
本题考查坐标平面内几何图形形状的判定，解题核心是熟练运用两点间距离公式准确计算边长，再结合边长的数量关系判断三角形类型，计算时要注意坐标符号不要出错。
【难度系数】
0.8

5. 如图,已知点$A(3,0),B(0,4)$,在$x$轴上找一点$C$,使$△ ABC$为等腰三角形,求所有点$C$的坐标.

5. 解:设 $C(x,0).\because A(3,0),B(0,4),\therefore AB= \sqrt{3^2+4^2}=5,AC= \sqrt{(3-x)^2}=|3-x|,BC= \sqrt{x^2+16}.$ ①当 $AB=AC$ 时,$△ ABC$ 为等腰三角形. $\therefore |3-x|=5,$解得 $x=-2$ 或 $x=8.$ $\therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(-2,0)$或$(8,0).$ ②当 $AB=BC$ 时,$△ ABC$ 为等腰三角形. $\therefore \sqrt{x^2+16}=5,$解得 $x=3$ 或 $x=-3.$ 当 $x=3$ 时,$A,C$ 两点重合,不合题意,舍去. $\therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(-3,0).$ ③当$AC=BC$时，$△ ABC$ 为等腰三角形. $\therefore |3-x|= \sqrt{x^2+16},$解得 $x=-\frac{7}{6}.\therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(-\frac{7}{6},0).$ 综上所述,点 $C$ 的坐标为$(-2,0),(8,0),(-3,0)$或$(-\frac{7}{6},0).$

【分析】
本题是x轴上的等腰三角形存在性问题，解题思路如下：首先，点C在x轴上，因此可设其坐标为$(x,0)$，先利用两点间距离公式计算出AB的长度，再分别表示出AC、BC的长度。由于等腰三角形的腰和底未明确，需分三种情况分类讨论：①AB=AC（A为等腰三角形顶角顶点）；②AB=BC（B为等腰三角形顶角顶点）；③AC=BC（AB为等腰三角形的底）。对每种情况列方程求解后，要舍去不符合题意的解（如点重合无法构成三角形的情况），最终得到所有符合条件的C点坐标。
【解析】
设点$C$的坐标为$(x,0)$，
已知$A(3,0)$，$B(0,4)$，由两点间距离公式可得：
$AB=\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$AC=\sqrt{(x-3)^2+(0-0)^2}=|x-3|$，
$BC=\sqrt{(x-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{x^2+16}$。
分三种情况讨论：
① 当$AB=AC$时，$△ ABC$为等腰三角形：
即$|x-3|=5$，
解得$x-3=5$或$x-3=-5$，即$x=8$或$x=-2$，
此时点$C$的坐标为$(8,0)$或$(-2,0)$；
② 当$AB=BC$时，$△ ABC$为等腰三角形：
即$\sqrt{x^2+16}=5$，
两边平方得$x^2+16=25$，解得$x=3$或$x=-3$，
当$x=3$时，点$C$与点$A$重合，无法构成三角形，舍去，
此时点$C$的坐标为$(-3,0)$；
③ 当$AC=BC$时，$△ ABC$为等腰三角形：
即$|x-3|=\sqrt{x^2+16}$，
两边平方得$(x-3)^2=x^2+16$，
展开得$x^2-6x+9=x^2+16$，
化简得$-6x=7$，解得$x=-\frac{7}{6}$，
此时点$C$的坐标为$(-\frac{7}{6},0)$。
【答案】
$(-2,0),(8,0),(-3,0),(-\frac{7}{6},0)$
【知识点】
等腰三角形的判定；两点间距离公式；分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形的存在性问题，解题的核心是根据腰和底的不确定性进行分类讨论，求解后要注意检验解的合理性，舍去不能构成三角形的情况，避免出现多解、漏解的错误。
【难度系数】
0.6