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10.若点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2(a≠0)$上，则下列各点在抛物线$y=a(x+1)^2$上的是（
A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$
D
）A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$
答案
10.D
解析
【分析】
解题可从两个常见思路切入：一是利用“点在函数图像上，则坐标满足函数解析式”的性质，先由已知条件推导得到n与a、m的关系，再逐一验证各选项坐标是否符合新抛物线的解析式；二是利用二次函数图像的平移规律，y=a(x+1)²是y=ax²向左平移1个单位得到的，根据“左加右减”的坐标变化规律，可直接推导得到对应点的坐标。
【解析】
方法一：代入验证法
∵点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴将$P(m,n)$代入解析式可得：$n=am^2$ ①。
将各选项横坐标依次代入$y=a(x+1)^2$，验证计算结果是否等于对应纵坐标：
A选项：代入$x=m$，得$y=a(m+1)^2≠ n+1$，不符合要求；
B选项：代入$x=m+1$，得$y=a(m+2)^2≠ n$，不符合要求；
C选项：代入$x=m$，得$y=a(m+1)^2≠ n-1$，不符合要求；
D选项：代入$x=m-1$，得$y=a(m-1+1)^2=am^2$，结合①式可知$y=n$，即点$(m-1,n)$满足抛物线解析式，符合要求。
方法二：平移规律法
抛物线$y=a(x+1)^2$是由抛物线$y=ax^2$向左平移1个单位得到的，根据函数图像平移“横坐标左减右加，纵坐标不变”的规律，原抛物线上的点$P(m,n)$平移后，横坐标变为$m-1$，纵坐标保持n不变，即对应点为$(m-1,n)$，该点在$y=a(x+1)^2$上。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数点的坐标特征
2.二次函数平移规律
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的平移性质以及点在函数图像上的判定方法，熟练掌握平移规律或灵活使用代入验证法都可以快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题可从两个常见思路切入：一是利用“点在函数图像上，则坐标满足函数解析式”的性质，先由已知条件推导得到n与a、m的关系，再逐一验证各选项坐标是否符合新抛物线的解析式；二是利用二次函数图像的平移规律，y=a(x+1)²是y=ax²向左平移1个单位得到的，根据“左加右减”的坐标变化规律，可直接推导得到对应点的坐标。
【解析】
方法一：代入验证法
∵点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴将$P(m,n)$代入解析式可得：$n=am^2$ ①。
将各选项横坐标依次代入$y=a(x+1)^2$，验证计算结果是否等于对应纵坐标：
A选项：代入$x=m$，得$y=a(m+1)^2≠ n+1$，不符合要求；
B选项：代入$x=m+1$，得$y=a(m+2)^2≠ n$，不符合要求；
C选项：代入$x=m$，得$y=a(m+1)^2≠ n-1$，不符合要求；
D选项：代入$x=m-1$，得$y=a(m-1+1)^2=am^2$，结合①式可知$y=n$，即点$(m-1,n)$满足抛物线解析式，符合要求。
方法二：平移规律法
抛物线$y=a(x+1)^2$是由抛物线$y=ax^2$向左平移1个单位得到的，根据函数图像平移“横坐标左减右加，纵坐标不变”的规律，原抛物线上的点$P(m,n)$平移后，横坐标变为$m-1$，纵坐标保持n不变，即对应点为$(m-1,n)$，该点在$y=a(x+1)^2$上。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数点的坐标特征
2.二次函数平移规律
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的平移性质以及点在函数图像上的判定方法，熟练掌握平移规律或灵活使用代入验证法都可以快速得到答案。
【难度系数】
0.8
11. 若小明将如图所示的两条水平直线AB,CD中的一条当成x轴,且向右为正方向,两条竖直直线AC,BD中的一条当成y轴,且向上为正方向,并在此平面直角坐标系中画出了二次函数$y=2(x-1)^2$的图象,则坐标原点是（
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
C
）A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
11.C
解析
【分析】
解题时先结合二次函数顶点式的性质，确定该抛物线的顶点坐标，由顶点纵坐标为0判断出x轴的位置；再代入x=0求出抛物线与y轴交点的纵坐标，判断出y轴的位置，x轴和y轴的交点即为坐标原点。
【解析】
1. 分析二次函数$y=2(x-1)^2$的性质：$a=2＞0$，开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
2. 因为顶点的纵坐标为0，说明顶点在x轴上，观察图象可知抛物线顶点在水平直线$CD$上，因此$CD$为x轴，向右为正方向。
3. 顶点的横坐标为$1＞0$，说明顶点位于y轴右侧，距离y轴1个单位长度。将$x=0$代入函数解析式，得$y=2×(0-1)^2=2＞0$，即抛物线与y轴的交点在y轴正半轴。
4. 观察图象，抛物线与左侧竖直直线$AC$交于上方的$A$点和下方的$C$点，符合$x=0$时$y=2$的特征，因此$AC$为y轴，向上为正方向。
5. x轴$CD$和y轴$AC$的交点为点$C$，因此坐标原点是点$C$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的图象性质；平面直角坐标系的概念；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象与平面直角坐标系的结合题，解题核心是利用二次函数顶点式的特征确定特殊点的坐标，进而反推坐标系的轴的位置，属于基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
解题时先结合二次函数顶点式的性质，确定该抛物线的顶点坐标，由顶点纵坐标为0判断出x轴的位置；再代入x=0求出抛物线与y轴交点的纵坐标，判断出y轴的位置，x轴和y轴的交点即为坐标原点。
【解析】
1. 分析二次函数$y=2(x-1)^2$的性质：$a=2＞0$，开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
2. 因为顶点的纵坐标为0，说明顶点在x轴上，观察图象可知抛物线顶点在水平直线$CD$上，因此$CD$为x轴，向右为正方向。
3. 顶点的横坐标为$1＞0$，说明顶点位于y轴右侧，距离y轴1个单位长度。将$x=0$代入函数解析式，得$y=2×(0-1)^2=2＞0$，即抛物线与y轴的交点在y轴正半轴。
4. 观察图象，抛物线与左侧竖直直线$AC$交于上方的$A$点和下方的$C$点，符合$x=0$时$y=2$的特征，因此$AC$为y轴，向上为正方向。
5. x轴$CD$和y轴$AC$的交点为点$C$，因此坐标原点是点$C$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的图象性质；平面直角坐标系的概念；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象与平面直角坐标系的结合题，解题核心是利用二次函数顶点式的特征确定特殊点的坐标，进而反推坐标系的轴的位置，属于基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
12.已知二次函数$y=3(x+\dfrac{3}{2})^2$的图象上有三点$A(1,y_1),B(2,y_2),C(-3,y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
B
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
12.B
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三个点的纵坐标大小，首先明确该函数是顶点式二次函数，可先确定其开口方向和对称轴。由于二次项系数a=3＞0，抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。解题步骤为：第一步求出抛物线的对称轴，第二步分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，第三步比较距离大小即可对应得到y值的大小关系，也可直接将三点横坐标代入函数解析式计算出y值后比较大小。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
已知二次函数$y=3(x+\dfrac{3}{2})^2$，其中$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\dfrac{3}{2}$。
开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大：
点$A(1,y_1)$到对称轴的距离：$\left|1 - (-\dfrac{3}{2})\right|=\dfrac{5}{2}$
点$B(2,y_2)$到对称轴的距离：$\left|2 - (-\dfrac{3}{2})\right|=\dfrac{7}{2}$
点$C(-3,y_3)$到对称轴的距离：$\left|-3 - (-\dfrac{3}{2})\right|=\dfrac{3}{2}$
因为$\dfrac{7}{2}＞\dfrac{5}{2}＞\dfrac{3}{2}$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
方法二：代入计算法
将三点横坐标分别代入函数解析式计算：
$y_1=3×(1+\dfrac{3}{2})^2=3×(\dfrac{5}{2})^2=\dfrac{75}{4}$
$y_2=3×(2+\dfrac{3}{2})^2=3×(\dfrac{7}{2})^2=\dfrac{147}{4}$
$y_3=3×(-3+\dfrac{3}{2})^2=3×(-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{27}{4}$
因为$\dfrac{147}{4}＞\dfrac{75}{4}＞\dfrac{27}{4}$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
综上选B。
【答案】B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数值比较；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，既可以通过代入计算直接比较数值，也可以利用开口方向、对称轴与点的位置关系快速判断，后者是解决同类问题的常用技巧，能有效节省解题时间。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数图象上三个点的纵坐标大小，首先明确该函数是顶点式二次函数，可先确定其开口方向和对称轴。由于二次项系数a=3＞0，抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。解题步骤为：第一步求出抛物线的对称轴，第二步分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，第三步比较距离大小即可对应得到y值的大小关系，也可直接将三点横坐标代入函数解析式计算出y值后比较大小。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
已知二次函数$y=3(x+\dfrac{3}{2})^2$，其中$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\dfrac{3}{2}$。
开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大：
点$A(1,y_1)$到对称轴的距离：$\left|1 - (-\dfrac{3}{2})\right|=\dfrac{5}{2}$
点$B(2,y_2)$到对称轴的距离：$\left|2 - (-\dfrac{3}{2})\right|=\dfrac{7}{2}$
点$C(-3,y_3)$到对称轴的距离：$\left|-3 - (-\dfrac{3}{2})\right|=\dfrac{3}{2}$
因为$\dfrac{7}{2}＞\dfrac{5}{2}＞\dfrac{3}{2}$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
方法二：代入计算法
将三点横坐标分别代入函数解析式计算：
$y_1=3×(1+\dfrac{3}{2})^2=3×(\dfrac{5}{2})^2=\dfrac{75}{4}$
$y_2=3×(2+\dfrac{3}{2})^2=3×(\dfrac{7}{2})^2=\dfrac{147}{4}$
$y_3=3×(-3+\dfrac{3}{2})^2=3×(-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{27}{4}$
因为$\dfrac{147}{4}＞\dfrac{75}{4}＞\dfrac{27}{4}$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
综上选B。
【答案】B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数值比较；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，既可以通过代入计算直接比较数值，也可以利用开口方向、对称轴与点的位置关系快速判断，后者是解决同类问题的常用技巧，能有效节省解题时间。
【难度系数】
0.8
13.若抛物线$y=2(x+1)^2$经过$(m,n)$和$(m+3,n)$两点，则$m$的值为
$-\dfrac{5}{2}$
。答案
13.$-\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2$的性质：这类抛物线是轴对称图形，对称轴为直线$x=h$。题目中给出的两点纵坐标均为$n$，说明这两点是抛物线上关于对称轴对称的点，对称轴恰好是两点横坐标的中点。因此我们可以先确定抛物线的对称轴，再根据中点坐标公式列方程求解$m$的值。
【解析】
1. 求抛物线的对称轴：
对于二次函数$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，将$y=2(x+1)^2$变形为$y=2[x-(-1)]^2$，可得该抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
2. 根据对称性列方程：
因为点$(m,n)$和$(m+3,n)$的纵坐标相同，所以两点关于抛物线的对称轴对称，即两点横坐标的中点在对称轴上，根据中点坐标公式可得：
$\frac{m + (m+3)}{2} = -1$
3. 解方程：
等式两边同乘2得：$2m + 3 = -2$
移项计算得：$2m = -5$
解得：$m = -\frac{5}{2}$
【答案】
$-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数$y=a(x-h)^2$的对称轴
【点评】
本题是二次函数对称性的基础应用题型，解题的核心是抓住纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称这一特点，结合对称轴公式列方程计算即可，是二次函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2$的性质：这类抛物线是轴对称图形，对称轴为直线$x=h$。题目中给出的两点纵坐标均为$n$，说明这两点是抛物线上关于对称轴对称的点，对称轴恰好是两点横坐标的中点。因此我们可以先确定抛物线的对称轴，再根据中点坐标公式列方程求解$m$的值。
【解析】
1. 求抛物线的对称轴：
对于二次函数$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，将$y=2(x+1)^2$变形为$y=2[x-(-1)]^2$，可得该抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
2. 根据对称性列方程：
因为点$(m,n)$和$(m+3,n)$的纵坐标相同，所以两点关于抛物线的对称轴对称，即两点横坐标的中点在对称轴上，根据中点坐标公式可得：
$\frac{m + (m+3)}{2} = -1$
3. 解方程：
等式两边同乘2得：$2m + 3 = -2$
移项计算得：$2m = -5$
解得：$m = -\frac{5}{2}$
【答案】
$-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数$y=a(x-h)^2$的对称轴
【点评】
本题是二次函数对称性的基础应用题型，解题的核心是抓住纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称这一特点，结合对称轴公式列方程计算即可，是二次函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
14. 新考向·新定义问题 定义:若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点,则称该点为这个函数图象的“梅岭点”.抛物线$y=-\dfrac{1}{4}(x+3)^2$上的“梅岭点”的坐标为
$(-1,-1),(-9,-9)$
.答案
14.$(-1,-1),(-9,-9)$
解析
【分析】
首先理解“梅岭点”的核心定义：函数图象上横、纵坐标相等的点，即满足$y=x$的点。要找到抛物线上的“梅岭点”，只需将$y=x$代入抛物线解析式，得到关于$x$的一元二次方程，求解方程后，对应的$y$值与$x$相等，即可得到所求点的坐标。
【解析】
根据“梅岭点”的定义，该点横、纵坐标相等，即满足$y=x$。
将$y=x$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{4}(x+3)^2$，可得：
$x=-\dfrac{1}{4}(x+3)^2$
两边同时乘4消去分母：
$4x=-(x^2+6x+9)$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2+10x+9=0$
因式分解得：
$(x+1)(x+9)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=-9$。
当$x=-1$时，$y=-1$；当$x=-9$时，$y=-9$。
【答案】
$(-1,-1),(-9,-9)$
【知识点】
新定义问题、二次函数点的坐标特征、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是把陌生的新定义转化为已学的等量关系$y=x$，再结合函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，通过解方程即可求解，主要考察知识迁移能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
首先理解“梅岭点”的核心定义：函数图象上横、纵坐标相等的点，即满足$y=x$的点。要找到抛物线上的“梅岭点”，只需将$y=x$代入抛物线解析式，得到关于$x$的一元二次方程，求解方程后，对应的$y$值与$x$相等，即可得到所求点的坐标。
【解析】
根据“梅岭点”的定义，该点横、纵坐标相等，即满足$y=x$。
将$y=x$代入抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{4}(x+3)^2$，可得：
$x=-\dfrac{1}{4}(x+3)^2$
两边同时乘4消去分母：
$4x=-(x^2+6x+9)$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2+10x+9=0$
因式分解得：
$(x+1)(x+9)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=-9$。
当$x=-1$时，$y=-1$；当$x=-9$时，$y=-9$。
【答案】
$(-1,-1),(-9,-9)$
【知识点】
新定义问题、二次函数点的坐标特征、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是把陌生的新定义转化为已学的等量关系$y=x$，再结合函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，通过解方程即可求解，主要考察知识迁移能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
15.已知二次函数$y=2(x-h)^2$.
(1)若$x＞3$时，y随x的增大而增大，则h的取值满足
(2)若$x＜3$时，y随x的增大而减小，则h的取值满足
(1)若$x＞3$时，y随x的增大而增大，则h的取值满足
$h≤3$
.(2)若$x＜3$时，y随x的增大而减小，则h的取值满足
$h≥3$
.答案
15.(1)$h≤3$ (2)$h≥3$
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$，在对称轴左侧（$x＜h$）y随x的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞h$）y随x的增大而增大。解题时先明确本题$a=2＞0$，再结合题干给出的增减性对应的自变量范围，判断该范围与对称轴左右侧的包含关系，即可列出不等式求出h的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-h)^2$：
$\because a=2＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$。
(1) 开口向上的抛物线中，当$x＞h$时，y随x的增大而增大。
已知$x＞3$时y随x的增大而增大，说明$x＞3$的区间全部在对称轴右侧，即对称轴$x=h$不能在$x=3$的右侧，因此$h≤3$。
(2) 开口向上的抛物线中，当$x＜h$时，y随x的增大而减小。
已知$x＜3$时y随x的增大而减小，说明$x＜3$的区间全部在对称轴左侧，即对称轴$x=h$不能在$x=3$的左侧，因此$h≥3$。
【答案】
(1)$h≤3$；(2)$h≥3$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是先根据开口方向明确增减性与对称轴的对应关系，再结合给定的自变量范围判断对称轴的位置，解题时要注意端点值的取舍，避免漏写等号。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$，在对称轴左侧（$x＜h$）y随x的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞h$）y随x的增大而增大。解题时先明确本题$a=2＞0$，再结合题干给出的增减性对应的自变量范围，判断该范围与对称轴左右侧的包含关系，即可列出不等式求出h的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-h)^2$：
$\because a=2＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$。
(1) 开口向上的抛物线中，当$x＞h$时，y随x的增大而增大。
已知$x＞3$时y随x的增大而增大，说明$x＞3$的区间全部在对称轴右侧，即对称轴$x=h$不能在$x=3$的右侧，因此$h≤3$。
(2) 开口向上的抛物线中，当$x＜h$时，y随x的增大而减小。
已知$x＜3$时y随x的增大而减小，说明$x＜3$的区间全部在对称轴左侧，即对称轴$x=h$不能在$x=3$的左侧，因此$h≥3$。
【答案】
(1)$h≤3$；(2)$h≥3$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是先根据开口方向明确增减性与对称轴的对应关系，再结合给定的自变量范围判断对称轴的位置，解题时要注意端点值的取舍，避免漏写等号。
【难度系数】
0.8
16. (本课时 T13 变式)如图,抛物线 $y=(x-h)^2$与x轴只有一个交点M,且与平行于x轴的直线l交于A,B两点.若AB=3,求点M到直线l的距离.
答案
16. 解:
∵抛物线$y=(x-h)^2$与x轴只有一个交点M,
∴M为抛物线的顶点.
∵AB//x轴,AB=3,抛物线的对称轴为直线$x=h$,
∴点B的横坐标为$h+\frac{3}{2}$.当$x=h+\frac{3}{2}$时,$y=(h+\frac{3}{2}-h)^2=\frac{9}{4}$.
∴点B的纵坐标为$\frac{9}{4}$.
∴点M到直线l的距离为$\frac{9}{4}$.
∵抛物线$y=(x-h)^2$与x轴只有一个交点M,
∴M为抛物线的顶点.
∵AB//x轴,AB=3,抛物线的对称轴为直线$x=h$,
∴点B的横坐标为$h+\frac{3}{2}$.当$x=h+\frac{3}{2}$时,$y=(h+\frac{3}{2}-h)^2=\frac{9}{4}$.
∴点B的纵坐标为$\frac{9}{4}$.
∴点M到直线l的距离为$\frac{9}{4}$.
解析
【分析】
首先梳理抛物线$y=(x-h)^2$的基本性质：它的顶点是$(h,0)$，即与x轴的唯一交点M，对称轴为直线$x=h$。由于直线$l$平行于x轴，因此A、B两点关于抛物线的对称轴对称，已知$AB=3$，可得点B到对称轴的水平距离为AB长度的一半$\frac{3}{2}$，即可推出点B的横坐标，将其代入抛物线解析式求出点B的纵坐标，该纵坐标值就是x轴上的点M到直线$l$的垂直距离。
【解析】
$\because$ 抛物线 $y=(x-h)^2$ 与x轴只有一个交点M，
$\therefore$ M为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为直线$x=h$。
$\because AB// x$轴，$AB=3$，
$\therefore$ 点B的横坐标为$h+\frac{3}{2}$。
把$x=h+\frac{3}{2}$代入$y=(x-h)^2$，得：
$y=(h+\frac{3}{2}-h)^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，即点B的纵坐标为$\frac{9}{4}$，也就是直线$l$的纵坐标为$\frac{9}{4}$。
$\because$ 点M在x轴上，纵坐标为0，
$\therefore$ 点M到直线$l$的距离为$\frac{9}{4}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数对称性
3. 函数图象点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查二次函数顶点式的性质和对称性的应用，解题关键是利用抛物线的对称性确定交点的横坐标，代入解析式即可快速求出对应距离。
【难度系数】
0.7
首先梳理抛物线$y=(x-h)^2$的基本性质：它的顶点是$(h,0)$，即与x轴的唯一交点M，对称轴为直线$x=h$。由于直线$l$平行于x轴，因此A、B两点关于抛物线的对称轴对称，已知$AB=3$，可得点B到对称轴的水平距离为AB长度的一半$\frac{3}{2}$，即可推出点B的横坐标，将其代入抛物线解析式求出点B的纵坐标，该纵坐标值就是x轴上的点M到直线$l$的垂直距离。
【解析】
$\because$ 抛物线 $y=(x-h)^2$ 与x轴只有一个交点M，
$\therefore$ M为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为直线$x=h$。
$\because AB// x$轴，$AB=3$，
$\therefore$ 点B的横坐标为$h+\frac{3}{2}$。
把$x=h+\frac{3}{2}$代入$y=(x-h)^2$，得：
$y=(h+\frac{3}{2}-h)^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，即点B的纵坐标为$\frac{9}{4}$，也就是直线$l$的纵坐标为$\frac{9}{4}$。
$\because$ 点M在x轴上，纵坐标为0，
$\therefore$ 点M到直线$l$的距离为$\frac{9}{4}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数对称性
3. 函数图象点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查二次函数顶点式的性质和对称性的应用，解题关键是利用抛物线的对称性确定交点的横坐标，代入解析式即可快速求出对应距离。
【难度系数】
0.7
17.已知二次函数$y=\frac{1}{3}(x-h)^2$，当自变量$x$的值满足$3≤ x≤5$时，与其对应的函数值$y$的最小值为3，求常数$h$的值。
答案
17. 解:
∵$y=\frac{1}{3}(x-h)^2$,
∴该函数图象开口向上,对称轴是直线$x=h$,当$x=h$时,该函数取最小值0.
∵当自变量x的值满足$3≤x≤5$时,与其对应的函数值y的最小值为3,
∴①若$h＜3$,在对称轴右侧,y随x的增大而增大,则当$x=3$时,y取最小值3,即$\frac{1}{3}(3-h)^2=3$,解得$h_1=6$(不符合题意,舍去),$h_2=0$;②若$3≤h≤5$,则当$x=h$时,y取最小值0,与题设矛盾,故该种情况不存在;③若$h＞5$,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,则当$x=5$时,y取最小值3,即$\frac{1}{3}(5-h)^2=3$,解得$h_3=2$(不符合题意,舍去),$h_4=8$.综上所述,常数h的值是0或8.
∵$y=\frac{1}{3}(x-h)^2$,
∴该函数图象开口向上,对称轴是直线$x=h$,当$x=h$时,该函数取最小值0.
∵当自变量x的值满足$3≤x≤5$时,与其对应的函数值y的最小值为3,
∴①若$h＜3$,在对称轴右侧,y随x的增大而增大,则当$x=3$时,y取最小值3,即$\frac{1}{3}(3-h)^2=3$,解得$h_1=6$(不符合题意,舍去),$h_2=0$;②若$3≤h≤5$,则当$x=h$时,y取最小值0,与题设矛盾,故该种情况不存在;③若$h＞5$,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,则当$x=5$时,y取最小值3,即$\frac{1}{3}(5-h)^2=3$,解得$h_3=2$(不符合题意,舍去),$h_4=8$.综上所述,常数h的值是0或8.
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的最值应用，解题思路如下：首先明确二次函数$y=\frac{1}{3}(x-h)^2$的基本性质：开口向上，对称轴为直线$x=h$，顶点处取得最小值0。题目给出$3≤x≤5$时y的最小值为3，说明顶点不在该区间内，因此需要分三种情况讨论对称轴$x=h$与区间$[3,5]$的位置关系：①h在区间左侧（$h＜3$），②h在区间内（$3≤h≤5$），③h在区间右侧（$h＞5$），再结合开口向上时函数的增减性分别列方程求解，最后舍去不符合分类前提的解即可得到h的值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=\frac{1}{3}(x-h)^2$，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=h$，当$x=h$时，函数取得最小值0。
∵当$3≤x≤5$时，对应的函数值y的最小值为3，因此分三种情况讨论：
①若$h＜3$，此时区间$[3,5]$在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因此当$x=3$时y取得最小值3，
列方程得：$\frac{1}{3}(3-h)^2=3$，
解得$h_1=6$（不符合$h＜3$的前提，舍去），$h_2=0$；
②若$3≤h≤5$，此时对称轴在区间内，当$x=h$时y取得最小值0，与题设最小值为3矛盾，故该情况不存在；
③若$h＞5$，此时区间$[3,5]$在对称轴左侧，y随x的增大而减小，因此当$x=5$时y取得最小值3，
列方程得：$\frac{1}{3}(5-h)^2=3$，
解得$h_3=2$（不符合$h＞5$的前提，舍去），$h_4=8$。
综上所述，常数h的值为0或8。
【答案】
0或8
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质 2. 二次函数最值求解 3. 分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题型，解题核心是明确开口方向、对称轴与给定区间的位置关系对函数最值的影响，需要注意分类讨论时不要漏情况，求解后要验证解是否符合对应分类的前提条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
本题考查二次函数顶点式的最值应用，解题思路如下：首先明确二次函数$y=\frac{1}{3}(x-h)^2$的基本性质：开口向上，对称轴为直线$x=h$，顶点处取得最小值0。题目给出$3≤x≤5$时y的最小值为3，说明顶点不在该区间内，因此需要分三种情况讨论对称轴$x=h$与区间$[3,5]$的位置关系：①h在区间左侧（$h＜3$），②h在区间内（$3≤h≤5$），③h在区间右侧（$h＞5$），再结合开口向上时函数的增减性分别列方程求解，最后舍去不符合分类前提的解即可得到h的值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=\frac{1}{3}(x-h)^2$，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=h$，当$x=h$时，函数取得最小值0。
∵当$3≤x≤5$时，对应的函数值y的最小值为3，因此分三种情况讨论：
①若$h＜3$，此时区间$[3,5]$在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因此当$x=3$时y取得最小值3，
列方程得：$\frac{1}{3}(3-h)^2=3$，
解得$h_1=6$（不符合$h＜3$的前提，舍去），$h_2=0$；
②若$3≤h≤5$，此时对称轴在区间内，当$x=h$时y取得最小值0，与题设最小值为3矛盾，故该情况不存在；
③若$h＞5$，此时区间$[3,5]$在对称轴左侧，y随x的增大而减小，因此当$x=5$时y取得最小值3，
列方程得：$\frac{1}{3}(5-h)^2=3$，
解得$h_3=2$（不符合$h＞5$的前提，舍去），$h_4=8$。
综上所述，常数h的值为0或8。
【答案】
0或8
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质 2. 二次函数最值求解 3. 分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题型，解题核心是明确开口方向、对称轴与给定区间的位置关系对函数最值的影响，需要注意分类讨论时不要漏情况，求解后要验证解是否符合对应分类的前提条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
