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1 计算下面各题。
$1÷(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7})$
$\dfrac{1}{2}÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6})$
$(\dfrac{8}{9}+\dfrac{2}{3})÷\dfrac{1}{8}$
$\dfrac{4}{7}×\dfrac{28}{31}÷\dfrac{3}{5}$
$1÷(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7})$
$\dfrac{1}{2}÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6})$
$(\dfrac{8}{9}+\dfrac{2}{3})÷\dfrac{1}{8}$
$\dfrac{4}{7}×\dfrac{28}{31}÷\dfrac{3}{5}$
答案
$1÷(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7})$
$=1÷(\dfrac{7}{28}+\dfrac{4}{28})$
$=1÷\dfrac{11}{28}$
$=\dfrac{28}{11}$
$\dfrac{1}{2}÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6})$
$=\dfrac{1}{2}÷(\dfrac{4}{6}-\dfrac{1}{6})$
$=\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}$
$=1$
$(\dfrac{8}{9}+\dfrac{2}{3})÷\dfrac{1}{8}$
$=(\dfrac{8}{9}+\dfrac{6}{9})×8$
$=\dfrac{14}{9}×8$
$=\dfrac{112}{9}$
$\dfrac{4}{7}×\dfrac{28}{31}÷\dfrac{3}{5}$
$=\dfrac{16}{31}×\dfrac{5}{3}$
$=\dfrac{80}{93}$
$=1÷(\dfrac{7}{28}+\dfrac{4}{28})$
$=1÷\dfrac{11}{28}$
$=\dfrac{28}{11}$
$\dfrac{1}{2}÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6})$
$=\dfrac{1}{2}÷(\dfrac{4}{6}-\dfrac{1}{6})$
$=\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}$
$=1$
$(\dfrac{8}{9}+\dfrac{2}{3})÷\dfrac{1}{8}$
$=(\dfrac{8}{9}+\dfrac{6}{9})×8$
$=\dfrac{14}{9}×8$
$=\dfrac{112}{9}$
$\dfrac{4}{7}×\dfrac{28}{31}÷\dfrac{3}{5}$
$=\dfrac{16}{31}×\dfrac{5}{3}$
$=\dfrac{80}{93}$
解析
【分析】
这组题目属于分数四则混合运算，解题思路遵循四则混合运算的通用规则：①有括号的算式先计算括号内的部分，计算异分母分数加减法时，先找分母的最小公倍数通分，转化为同分母分数后再计算分子的加减；②计算分数除法时，按照规则将除法转化为乘除数的倒数，再按分数乘法的方法计算，能约分的先约分简化运算；③没有括号的乘除混合运算，按照从左到右的顺序依次计算即可。
【解析】
$1÷(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7})$
$=1÷(\dfrac{7}{28}+\dfrac{4}{28})$
$=1÷\dfrac{11}{28}$
$=\dfrac{28}{11}$
$\dfrac{1}{2}÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6})$
$=\dfrac{1}{2}÷(\dfrac{4}{6}-\dfrac{1}{6})$
$=\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}$
$=1$
$(\dfrac{8}{9}+\dfrac{2}{3})÷\dfrac{1}{8}$
$=(\dfrac{8}{9}+\dfrac{6}{9})×8$
$=\dfrac{14}{9}×8$
$=\dfrac{112}{9}$
$\dfrac{4}{7}×\dfrac{28}{31}÷\dfrac{3}{5}$
$=\dfrac{16}{31}×\dfrac{5}{3}$
$=\dfrac{80}{93}$
【答案】
$\dfrac{28}{11}$；$1$；$\dfrac{112}{9}$；$\dfrac{80}{93}$
【知识点】
分数四则混合运算；异分母分数加减法；分数除法计算
【点评】
本题是计算类基础题型，核心考查分数四则运算的顺序和计算规则，计算时需注意通分的准确性，以及分数除法转乘法时倒数的正确转换，细心运算即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
这组题目属于分数四则混合运算，解题思路遵循四则混合运算的通用规则：①有括号的算式先计算括号内的部分，计算异分母分数加减法时，先找分母的最小公倍数通分，转化为同分母分数后再计算分子的加减；②计算分数除法时，按照规则将除法转化为乘除数的倒数，再按分数乘法的方法计算，能约分的先约分简化运算；③没有括号的乘除混合运算，按照从左到右的顺序依次计算即可。
【解析】
$1÷(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7})$
$=1÷(\dfrac{7}{28}+\dfrac{4}{28})$
$=1÷\dfrac{11}{28}$
$=\dfrac{28}{11}$
$\dfrac{1}{2}÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6})$
$=\dfrac{1}{2}÷(\dfrac{4}{6}-\dfrac{1}{6})$
$=\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}$
$=1$
$(\dfrac{8}{9}+\dfrac{2}{3})÷\dfrac{1}{8}$
$=(\dfrac{8}{9}+\dfrac{6}{9})×8$
$=\dfrac{14}{9}×8$
$=\dfrac{112}{9}$
$\dfrac{4}{7}×\dfrac{28}{31}÷\dfrac{3}{5}$
$=\dfrac{16}{31}×\dfrac{5}{3}$
$=\dfrac{80}{93}$
【答案】
$\dfrac{28}{11}$；$1$；$\dfrac{112}{9}$；$\dfrac{80}{93}$
【知识点】
分数四则混合运算；异分母分数加减法；分数除法计算
【点评】
本题是计算类基础题型，核心考查分数四则运算的顺序和计算规则，计算时需注意通分的准确性，以及分数除法转乘法时倒数的正确转换，细心运算即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
(1)修一条路，甲队单独修要8天完成，乙队单独修要10天完成。甲、乙两队合修，每天共完成这项工程的（），合修2天后还剩这项工程的（）。
答案
$\frac{1}{8}+\frac{1}{10}=\frac{9}{40}$
$1-\frac{9}{40}×2=\frac{11}{20}$
答：甲、乙两队合修，每天共完成这项工程的$\frac{9}{40}$，合修2天后还剩这项工程的$\frac{11}{20}$。
$1-\frac{9}{40}×2=\frac{11}{20}$
答：甲、乙两队合修，每天共完成这项工程的$\frac{9}{40}$，合修2天后还剩这项工程的$\frac{11}{20}$。
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时首先把这项工程的总工作量看作单位“1”。第一步先求两队的工作效率：根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，甲队单独修8天完成，每天完成总工程的$\frac{1}{8}$；乙队单独修10天完成，每天完成总工程的$\frac{1}{10}$，求合修每天的工作量只需把两队的工作效率相加。第二步求合修2天后剩余的工作量：先算2天一共修的工作量（效率和×工作时间），再用总工作量单位“1”减去已经修的工作量即可。
【解析】
1. 计算合修每天完成的工作量：
甲队工作效率：$1÷8=\frac{1}{8}$
乙队工作效率：$1÷10=\frac{1}{10}$
每天共完成：$\frac{1}{8}+\frac{1}{10}=\frac{5}{40}+\frac{4}{40}=\frac{9}{40}$
2. 计算合修2天后剩余的工作量：
合修2天完成的工作量：$\frac{9}{40}×2=\frac{18}{40}=\frac{9}{20}$
剩余工作量：$1-\frac{9}{20}=\frac{11}{20}$
【答案】
$\frac{9}{40}$；$\frac{11}{20}$
【知识点】
工程问题；分数四则运算
【点评】
本题是工程问题的基础题型，核心要掌握将工作总量设为单位“1”的解题思路，熟练运用“工作效率×工作时间=工作总量”的数量关系求解，计算异分母分数运算时注意先通分，最终结果要约分为最简分数。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，解题时首先把这项工程的总工作量看作单位“1”。第一步先求两队的工作效率：根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，甲队单独修8天完成，每天完成总工程的$\frac{1}{8}$；乙队单独修10天完成，每天完成总工程的$\frac{1}{10}$，求合修每天的工作量只需把两队的工作效率相加。第二步求合修2天后剩余的工作量：先算2天一共修的工作量（效率和×工作时间），再用总工作量单位“1”减去已经修的工作量即可。
【解析】
1. 计算合修每天完成的工作量：
甲队工作效率：$1÷8=\frac{1}{8}$
乙队工作效率：$1÷10=\frac{1}{10}$
每天共完成：$\frac{1}{8}+\frac{1}{10}=\frac{5}{40}+\frac{4}{40}=\frac{9}{40}$
2. 计算合修2天后剩余的工作量：
合修2天完成的工作量：$\frac{9}{40}×2=\frac{18}{40}=\frac{9}{20}$
剩余工作量：$1-\frac{9}{20}=\frac{11}{20}$
【答案】
$\frac{9}{40}$；$\frac{11}{20}$
【知识点】
工程问题；分数四则运算
【点评】
本题是工程问题的基础题型，核心要掌握将工作总量设为单位“1”的解题思路，熟练运用“工作效率×工作时间=工作总量”的数量关系求解，计算异分母分数运算时注意先通分，最终结果要约分为最简分数。
【难度系数】
0.8
(2)明明和轩轩一起去学校操场跑步。绕着操场的跑道跑一圈，明明要8分钟，轩轩要6分钟。如果两人同时同地出发，相背跑出，()分钟后首次相遇。
答案
$1÷(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6})$
$=1÷\dfrac{7}{24}$
$=\dfrac{24}{7}$（分钟）
答：$\dfrac{24}{7}$分钟后首次相遇。
$=1÷\dfrac{7}{24}$
$=\dfrac{24}{7}$（分钟）
答：$\dfrac{24}{7}$分钟后首次相遇。
解析
【分析】这是一道行程中的相背相遇问题，我们可以把操场一圈的总路程看作单位“1”，先分别求出两人的速度：跑一圈明明要8分钟，所以明明每分钟跑全程的$\frac{1}{8}$；轩轩跑一圈要6分钟，所以轩轩每分钟跑全程的$\frac{1}{6}$。相背而行首次相遇时，两人跑的路程和刚好是1圈，也就是总路程为1，根据“相遇时间=总路程÷速度和”就能算出相遇时间。
【解析】把操场一圈的路程看作单位“1”。
明明的速度：$1÷8=\frac{1}{8}$
轩轩的速度：$1÷6=\frac{1}{6}$
相背而行首次相遇的时间=总路程÷两人速度和
$1÷(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6})$
$=1÷\dfrac{7}{24}$
$=\dfrac{24}{7}$（分钟）
【答案】$\dfrac{24}{7}$分钟
【知识点】相遇问题、分数除法计算、单位“1”的应用
【点评】本题将行程相遇问题与分数运算结合，解题核心是合理设定单位“1”表示两人的速度，再结合相遇问题的基本公式求解，属于基础应用类题目，掌握对应公式就能快速作答。
【难度系数】0.7
【解析】把操场一圈的路程看作单位“1”。
明明的速度：$1÷8=\frac{1}{8}$
轩轩的速度：$1÷6=\frac{1}{6}$
相背而行首次相遇的时间=总路程÷两人速度和
$1÷(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6})$
$=1÷\dfrac{7}{24}$
$=\dfrac{24}{7}$（分钟）
【答案】$\dfrac{24}{7}$分钟
【知识点】相遇问题、分数除法计算、单位“1”的应用
【点评】本题将行程相遇问题与分数运算结合，解题核心是合理设定单位“1”表示两人的速度，再结合相遇问题的基本公式求解，属于基础应用类题目，掌握对应公式就能快速作答。
【难度系数】0.7
3 公园路面要铺设地砖，甲工程队单独铺需要 10 天完成，乙工程队 10 天能完成总任务的$\frac{5}{8}$。
(1)算式$10÷\frac{5}{8}$求的是()。
(2)甲、乙两个工程队合铺，多少天可以完成任务？
(1)算式$10÷\frac{5}{8}$求的是()。
(2)甲、乙两个工程队合铺，多少天可以完成任务？
答案
(1) 乙工程队单独完成总任务需要的天数
(2)
$\frac{5}{8}÷10=\frac{1}{16}$
$1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{16})=\frac{80}{13}$（天）
答：甲、乙两个工程队合铺，$\frac{80}{13}$天可以完成任务。
(2)
$\frac{5}{8}÷10=\frac{1}{16}$
$1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{16})=\frac{80}{13}$（天）
答：甲、乙两个工程队合铺，$\frac{80}{13}$天可以完成任务。
解析
【分析】
（1）解决第一问时，我们要明确已知条件的对应关系：乙工程队10天对应的工作量是总任务的$\frac{5}{8}$，在工程问题中，用部分工作量对应的工作时间除以该部分工作量占总工作量的分率，就能得到完成总工作量的总时间，由此可判断算式的含义。
（2）解决第二问的合作完工问题，首先把总任务看作单位“1”，先分别求出甲、乙两队的工作效率：甲的工作效率用总工作量1除以甲单独完成的时间即可得到；乙的工作效率用乙10天完成的工作量$\frac{5}{8}$除以10得到。再求出两队的工作效率之和，最后用总工作量1除以两队效率之和，就能得到合作完成的时间。
【解析】
（1）已知乙10天完成总任务的$\frac{5}{8}$，$10÷\frac{5}{8}$就是用部分工作时间除以对应工作量的分率，计算的是乙工程队单独完成总任务需要的天数。
（2）第一步，计算乙工程队的工作效率：
$\frac{5}{8}÷10=\frac{1}{16}$
第二步，计算甲工程队的工作效率为$1÷10=\frac{1}{10}$，再计算两队合作的工作效率之和为$\frac{1}{10}+\frac{1}{16}=\frac{13}{80}$
第三步，计算合作完成总任务的时间：
$1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{16})=\frac{80}{13}$（天）
【答案】
(1) 乙工程队单独完成总任务需要的天数
(2) 甲、乙两个工程队合铺，$\frac{80}{13}$天可以完成任务。
【知识点】
1.工程问题基本公式
2.分数除法应用
3.合作完工问题
【点评】
本题是工程问题的常规考法，第一问侧重考查分率与对应量的关系，第二问考查合作完工的基本解题思路，核心是掌握将总工作量看作单位“1”的方法，理清工作效率、工作时间、工作量三者的对应关系即可解题。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问时，我们要明确已知条件的对应关系：乙工程队10天对应的工作量是总任务的$\frac{5}{8}$，在工程问题中，用部分工作量对应的工作时间除以该部分工作量占总工作量的分率，就能得到完成总工作量的总时间，由此可判断算式的含义。
（2）解决第二问的合作完工问题，首先把总任务看作单位“1”，先分别求出甲、乙两队的工作效率：甲的工作效率用总工作量1除以甲单独完成的时间即可得到；乙的工作效率用乙10天完成的工作量$\frac{5}{8}$除以10得到。再求出两队的工作效率之和，最后用总工作量1除以两队效率之和，就能得到合作完成的时间。
【解析】
（1）已知乙10天完成总任务的$\frac{5}{8}$，$10÷\frac{5}{8}$就是用部分工作时间除以对应工作量的分率，计算的是乙工程队单独完成总任务需要的天数。
（2）第一步，计算乙工程队的工作效率：
$\frac{5}{8}÷10=\frac{1}{16}$
第二步，计算甲工程队的工作效率为$1÷10=\frac{1}{10}$，再计算两队合作的工作效率之和为$\frac{1}{10}+\frac{1}{16}=\frac{13}{80}$
第三步，计算合作完成总任务的时间：
$1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{16})=\frac{80}{13}$（天）
【答案】
(1) 乙工程队单独完成总任务需要的天数
(2) 甲、乙两个工程队合铺，$\frac{80}{13}$天可以完成任务。
【知识点】
1.工程问题基本公式
2.分数除法应用
3.合作完工问题
【点评】
本题是工程问题的常规考法，第一问侧重考查分率与对应量的关系，第二问考查合作完工的基本解题思路，核心是掌握将总工作量看作单位“1”的方法，理清工作效率、工作时间、工作量三者的对应关系即可解题。
【难度系数】
0.8
4 新桥镇准备种植一些树美化环境，甲村单独种植要10天完成，乙村单独种植要12天完成，丙村单独种植要15天完成。甲、乙两村合植4天后，剩下的由丙村单独种植，还需多少天才能完成？
答案
把总种植任务看作单位“1”。
$\begin{aligned}&[1 - (\frac{1}{10} + \frac{1}{12}) × 4] ÷ \frac{1}{15}\\=&[1 - \frac{11}{60} × 4] ÷ \frac{1}{15}\\=&[1 - \frac{11}{15}] ÷ \frac{1}{15}\\=&\frac{4}{15} ÷ \frac{1}{15}\\=&4\end{aligned}$
答：还需4天才能完成。
$\begin{aligned}&[1 - (\frac{1}{10} + \frac{1}{12}) × 4] ÷ \frac{1}{15}\\=&[1 - \frac{11}{60} × 4] ÷ \frac{1}{15}\\=&[1 - \frac{11}{15}] ÷ \frac{1}{15}\\=&\frac{4}{15} ÷ \frac{1}{15}\\=&4\end{aligned}$
答：还需4天才能完成。
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时首先将总种植任务看作单位“1”。我们可以根据“工作效率=工作总量÷工作时间”先求出三个村的工作效率：甲村每天完成总任务的$\frac{1}{10}$，乙村每天完成总任务的$\frac{1}{12}$，丙村每天完成总任务的$\frac{1}{15}$。解题步骤分三步：第一步计算甲乙两村合作4天完成的工作量，用两村的效率和乘合作时间即可；第二步用总工作量1减去甲乙已完成的工作量，得到剩余工作量；第三步用剩余工作量除以丙村的工作效率，即可求出丙村单独完成剩余任务的时间。
【解析】
把总种植任务看作单位“1”。
$\begin{aligned}&[1 - (\frac{1}{10} + \frac{1}{12}) × 4] ÷ \frac{1}{15}\\=&[1 - \frac{11}{60} × 4] ÷ \frac{1}{15}\\=&[1 - \frac{11}{15}] ÷ \frac{1}{15}\\=&\frac{4}{15} ÷ \frac{1}{15}\\=&4\end{aligned}$
答：还需4天才能完成。
【答案】
还需4天才能完成
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、工作量=效率×时间
【点评】
本题是工程类基础应用题，核心考察工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，解题关键是先求出剩余工作量，再结合丙村的工作效率计算所需时间，掌握工程问题的基本模型就能快速解题。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题时首先将总种植任务看作单位“1”。我们可以根据“工作效率=工作总量÷工作时间”先求出三个村的工作效率：甲村每天完成总任务的$\frac{1}{10}$，乙村每天完成总任务的$\frac{1}{12}$，丙村每天完成总任务的$\frac{1}{15}$。解题步骤分三步：第一步计算甲乙两村合作4天完成的工作量，用两村的效率和乘合作时间即可；第二步用总工作量1减去甲乙已完成的工作量，得到剩余工作量；第三步用剩余工作量除以丙村的工作效率，即可求出丙村单独完成剩余任务的时间。
【解析】
把总种植任务看作单位“1”。
$\begin{aligned}&[1 - (\frac{1}{10} + \frac{1}{12}) × 4] ÷ \frac{1}{15}\\=&[1 - \frac{11}{60} × 4] ÷ \frac{1}{15}\\=&[1 - \frac{11}{15}] ÷ \frac{1}{15}\\=&\frac{4}{15} ÷ \frac{1}{15}\\=&4\end{aligned}$
答：还需4天才能完成。
【答案】
还需4天才能完成
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、工作量=效率×时间
【点评】
本题是工程类基础应用题，核心考察工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，解题关键是先求出剩余工作量，再结合丙村的工作效率计算所需时间，掌握工程问题的基本模型就能快速解题。
【难度系数】
0.7
一批零件,甲单独制作要8天完成,乙单独制作要10天完成,甲、乙两人合作2天后,还剩143个。这批零件共有多少个？
答案
$(\frac{1}{8}+\frac{1}{10})×2=\frac{9}{20}$ $143÷(1-\frac{9}{20})=260(\mathrm{个})$
解析
【分析】
这是一道分数工程类应用题，解题时先把这批零件的总数量看作单位“1”。首先求出甲、乙各自的工作效率：甲单独8天完成，每天完成总工作量的$\frac{1}{8}$；乙单独10天完成，每天完成总工作量的$\frac{1}{10}$。接着计算两人合作2天完成的工作量占总工作量的分率，再求出剩下的143个零件对应的占总工作量的分率，最后根据“单位‘1’的量=对应量÷对应分率”，用剩下的零件数除以其对应分率即可求出总零件数。
【解析】
把这批零件总个数看作单位“1”。
1. 计算甲、乙合作2天完成的工作量：
$(\frac{1}{8}+\frac{1}{10})×2$
$=(\frac{5}{40}+\frac{4}{40})×2$
$=\frac{9}{40}×2$
$=\frac{9}{20}$
2. 计算剩余零件对应的分率：
$1-\frac{9}{20}=\frac{11}{20}$
3. 计算零件总个数：
$143÷\frac{11}{20}=143×\frac{20}{11}=260$（个）
【答案】
260个
【知识点】
工程问题、单位“1”的应用、分数四则混合运算
【点评】
本题是典型的分数应用类工程问题，解题核心是找准具体数量和对应分率的匹配关系，熟练掌握单位“1”未知时用除法求解的方法，就能轻松解决同类题型。
【难度系数】
0.7
这是一道分数工程类应用题，解题时先把这批零件的总数量看作单位“1”。首先求出甲、乙各自的工作效率：甲单独8天完成，每天完成总工作量的$\frac{1}{8}$；乙单独10天完成，每天完成总工作量的$\frac{1}{10}$。接着计算两人合作2天完成的工作量占总工作量的分率，再求出剩下的143个零件对应的占总工作量的分率，最后根据“单位‘1’的量=对应量÷对应分率”，用剩下的零件数除以其对应分率即可求出总零件数。
【解析】
把这批零件总个数看作单位“1”。
1. 计算甲、乙合作2天完成的工作量：
$(\frac{1}{8}+\frac{1}{10})×2$
$=(\frac{5}{40}+\frac{4}{40})×2$
$=\frac{9}{40}×2$
$=\frac{9}{20}$
2. 计算剩余零件对应的分率：
$1-\frac{9}{20}=\frac{11}{20}$
3. 计算零件总个数：
$143÷\frac{11}{20}=143×\frac{20}{11}=260$（个）
【答案】
260个
【知识点】
工程问题、单位“1”的应用、分数四则混合运算
【点评】
本题是典型的分数应用类工程问题，解题核心是找准具体数量和对应分率的匹配关系，熟练掌握单位“1”未知时用除法求解的方法，就能轻松解决同类题型。
【难度系数】
0.7
