登录
1.如图,有一个池塘,要测量池塘两端A,B间的距离,可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C,连接AC并延长至点D,使CD=CA,连接BC并延长至点E,使CE=CB,连接ED。若测量出DE=58 m,则AB间的距离为(
A.29 m
B.58 m
C.60 m
D.116 m
B
)A.29 m
B.58 m
C.60 m
D.116 m
答案
1. B
解析
【分析】
本题要测量无法直接得到的AB的长度，可通过构造全等三角形将其转化为可测量的线段长度。首先梳理已知条件：CD=CA、CE=CB，同时AC和BD相交形成的对顶角∠ACB与∠DCE相等，刚好满足全等三角形的SAS判定条件，证明两个三角形全等后，对应边相等即可直接得到AB的长度。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}CA=CD（已知）\\∠ ACB=∠ DCE（对顶角相等）\\CB=CE（已知）\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEC(\mathrm{SAS})$
根据全等三角形对应边相等，可得$AB=DE$
已知$DE=58\ \mathrm{m}$，因此$AB=58\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，利用全等测距离
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，通过构造全等将不可直接测量的距离转化为可直接测量的线段长度，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.85
本题要测量无法直接得到的AB的长度，可通过构造全等三角形将其转化为可测量的线段长度。首先梳理已知条件：CD=CA、CE=CB，同时AC和BD相交形成的对顶角∠ACB与∠DCE相等，刚好满足全等三角形的SAS判定条件，证明两个三角形全等后，对应边相等即可直接得到AB的长度。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}CA=CD（已知）\\∠ ACB=∠ DCE（对顶角相等）\\CB=CE（已知）\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEC(\mathrm{SAS})$
根据全等三角形对应边相等，可得$AB=DE$
已知$DE=58\ \mathrm{m}$，因此$AB=58\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，利用全等测距离
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，通过构造全等将不可直接测量的距离转化为可直接测量的线段长度，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.85
2.如图，要测量河中礁石A到岸边B点的距离，采取的方法如下：顺着河岸的方向任作一条线段BC，作∠CBA' = ∠CBA，∠BCA' = ∠BCA，可得△A'BC ≌ △ABC，所以A'B=AB，所以测量出A'B的长即可得AB的长。判定图中两个三角形全等的依据是(
A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.AAS
B
)A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.AAS
答案
2. B
解析
【分析】
解决这道题首先梳理题目给出的已知相等条件，再对应全等三角形的判定定理判断即可：第一步先找△A'BC和△ABC的相等元素：题目明确给出∠CBA' = ∠CBA、∠BCA' = ∠BCA，其次两个三角形共有的边BC是公共边，长度相等；第二步判断相等边和相等角的位置关系：BC是两个相等角∠CBA与∠BCA的夹边，也对应是∠CBA'与∠BCA'的夹边，符合两角及其夹边对应相等的全等判定条件。
【解析】
在△A'BC和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠ CBA'=∠ CBA（已知）\\BC=BC（公共边相等）\\∠ BCA'=∠ BCA（已知）\end{array} $
满足两角及其夹边对应相等，因此△A'BC ≌ △ABC的判定依据是ASA，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；公共边的性质；全等三角形的应用
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题关键是准确判断相等边和相等角的位置关系，注意区分ASA（两角夹边）和AAS（两角及其中一角的对边）的适用条件，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先梳理题目给出的已知相等条件，再对应全等三角形的判定定理判断即可：第一步先找△A'BC和△ABC的相等元素：题目明确给出∠CBA' = ∠CBA、∠BCA' = ∠BCA，其次两个三角形共有的边BC是公共边，长度相等；第二步判断相等边和相等角的位置关系：BC是两个相等角∠CBA与∠BCA的夹边，也对应是∠CBA'与∠BCA'的夹边，符合两角及其夹边对应相等的全等判定条件。
【解析】
在△A'BC和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠ CBA'=∠ CBA（已知）\\BC=BC（公共边相等）\\∠ BCA'=∠ BCA（已知）\end{array} $
满足两角及其夹边对应相等，因此△A'BC ≌ △ABC的判定依据是ASA，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；公共边的性质；全等三角形的应用
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题关键是准确判断相等边和相等角的位置关系，注意区分ASA（两角夹边）和AAS（两角及其中一角的对边）的适用条件，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
3.如图，把等腰直角三角形ABC按如图所示的方式立在桌面上，顶点A在桌面上。过另外两个顶点向桌面作垂线，垂足分别为点D和点E。若BD=5 cm，CE=3 cm，则垂足之间的距离DE的长为( 
)
A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.不确定
)A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.不确定
答案
3. C
解析
【分析】
首先根据等腰直角三角形的性质得到边和角的等量关系，再结合垂直条件得到两个直角三角形的直角相等，通过同角的余角相等推出一组对应角相等，满足全等三角形的判定条件，证明两个直角三角形全等后，利用全等三角形对应边相等的性质，将DE转化为已知线段BD和CE的和，即可计算出结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴$AC=BA$，$∠ CAB=90°$，
∴$∠ CAE+∠ BAD=180°-∠ CAB=90°$，
∵$CE⊥ ED$，$BD⊥ ED$，
∴$∠ CEA=∠ ADB=90°$，
∴$∠ CAE+∠ ECA=90°$，
∴$∠ ECA=∠ BAD$（同角的余角相等），
在$△ CEA$和$△ ADB$中：
$\begin{cases}∠ CEA=∠ ADB \\∠ ECA=∠ BAD \\AC=BA\end{cases}$
∴$△ CEA≌△ ADB$（AAS），
∴$CE=AD=3\mathrm{cm}$，$AE=BD=5\mathrm{cm}$，
∴$DE=AE+AD=5+3=8\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 余角的性质
【点评】
本题是利用三角形全等求解线段长度的典型应用，解题核心是通过角的互余关系找到相等的对应角，结合等腰直角三角形的等边条件证明三角形全等，实现未知线段向已知线段的转化。
【难度系数】
0.7
首先根据等腰直角三角形的性质得到边和角的等量关系，再结合垂直条件得到两个直角三角形的直角相等，通过同角的余角相等推出一组对应角相等，满足全等三角形的判定条件，证明两个直角三角形全等后，利用全等三角形对应边相等的性质，将DE转化为已知线段BD和CE的和，即可计算出结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴$AC=BA$，$∠ CAB=90°$，
∴$∠ CAE+∠ BAD=180°-∠ CAB=90°$，
∵$CE⊥ ED$，$BD⊥ ED$，
∴$∠ CEA=∠ ADB=90°$，
∴$∠ CAE+∠ ECA=90°$，
∴$∠ ECA=∠ BAD$（同角的余角相等），
在$△ CEA$和$△ ADB$中：
$\begin{cases}∠ CEA=∠ ADB \\∠ ECA=∠ BAD \\AC=BA\end{cases}$
∴$△ CEA≌△ ADB$（AAS），
∴$CE=AD=3\mathrm{cm}$，$AE=BD=5\mathrm{cm}$，
∴$DE=AE+AD=5+3=8\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 余角的性质
【点评】
本题是利用三角形全等求解线段长度的典型应用，解题核心是通过角的互余关系找到相等的对应角，结合等腰直角三角形的等边条件证明三角形全等，实现未知线段向已知线段的转化。
【难度系数】
0.7
4.如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)到地面的距离是50 cm。当小敏从水平位置CD下降40 cm时，小明离地面的高度是
90 cm
。答案
4. 90 cm
解析
【分析】
解题时首先明确支点O是跷跷板的中点，可得OF=OG；观察图形可知△FOC和△GOD中，有两个直角相等，还有一组对顶角相等，结合边相等的条件可证明两个三角形全等；根据全等三角形对应边相等，得到小明上升的高度等于小敏下降的40cm，最后加上支点O到地面的50cm，即可求出小明离地面的高度。
【解析】
解：
∵O是跷跷板的中点，
∴$OF=OG$，
由图可知，$∠FCO=∠GDO=90°$，
在$△ FOC$和$△ GOD$中：
$\begin{cases}∠FCO=∠GDO \\∠FOC=∠GOD \\OF=OG\end{cases}$
∴$△ FOC≌△ GOD$（AAS），
∴$FC=GD=40\ \mathrm{cm}$，
∵支点O到地面的距离是50 cm，
∴小明离地面的高度为$40+50=90\ \mathrm{cm}$。
【答案】
90 cm
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、全等三角形的实际应用
【点评】
本题结合跷跷板的生活场景考查全等三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形模型，利用全等的性质得到对应线段的长度，注重知识的实际运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确支点O是跷跷板的中点，可得OF=OG；观察图形可知△FOC和△GOD中，有两个直角相等，还有一组对顶角相等，结合边相等的条件可证明两个三角形全等；根据全等三角形对应边相等，得到小明上升的高度等于小敏下降的40cm，最后加上支点O到地面的50cm，即可求出小明离地面的高度。
【解析】
解：
∵O是跷跷板的中点，
∴$OF=OG$，
由图可知，$∠FCO=∠GDO=90°$，
在$△ FOC$和$△ GOD$中：
$\begin{cases}∠FCO=∠GDO \\∠FOC=∠GOD \\OF=OG\end{cases}$
∴$△ FOC≌△ GOD$（AAS），
∴$FC=GD=40\ \mathrm{cm}$，
∵支点O到地面的距离是50 cm，
∴小明离地面的高度为$40+50=90\ \mathrm{cm}$。
【答案】
90 cm
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、全等三角形的实际应用
【点评】
本题结合跷跷板的生活场景考查全等三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形模型，利用全等的性质得到对应线段的长度，注重知识的实际运用。
【难度系数】
0.7
5.如图，A,B,C,D是四个村庄，B,D,C在一条东西走向的公路沿线上，$BD=1\ \mathrm{km}$，$DC=1\ \mathrm{km}$，村庄A,C和A,D间也有公路相连，且公路AD是南北走向，$AC=3\ \mathrm{km}$，只有A,B之间隔了一个小湖，无直接相连的公路。现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得$AE=1.4\ \mathrm{km}$，$BF=0.7\ \mathrm{km}$，则斜拉桥的长至少为
0.9
km。答案
5. 0.9
解析
【分析】
要计算斜拉桥的最短长度，首先需要求出AB的长度。根据题意可知AD垂直BC，且BD=DC，AD为公共边，可通过SAS证明△ADB≌△ADC，从而得到AB=AC=3km；斜拉桥最短时位于线段AB上，因此用AB的总长度减去已知的AE、BF的长度，即可得到斜拉桥的最小长度。
【解析】
∵B、D、C在东西走向公路上，AD为南北走向，
∴AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°。
在△ADB和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}BD=DC\\ ∠ ADB=∠ ADC\\ AD=AD\end{array} $
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB=AC=3km。
要使斜拉桥长度最短，桥需修在AB线段上，因此斜拉桥长度为：
$AB - AE - BF=3-1.4-0.7=0.9(\mathrm{km})$
【答案】
0.9
【知识点】
全等三角形的判定与性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是全等三角形在实际生活中的应用类题目，解题的核心是通过证明三角形全等得到无直接通路的AB段的长度，再结合线段的和差关系计算所求长度，能有效考查学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
要计算斜拉桥的最短长度，首先需要求出AB的长度。根据题意可知AD垂直BC，且BD=DC，AD为公共边，可通过SAS证明△ADB≌△ADC，从而得到AB=AC=3km；斜拉桥最短时位于线段AB上，因此用AB的总长度减去已知的AE、BF的长度，即可得到斜拉桥的最小长度。
【解析】
∵B、D、C在东西走向公路上，AD为南北走向，
∴AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°。
在△ADB和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}BD=DC\\ ∠ ADB=∠ ADC\\ AD=AD\end{array} $
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB=AC=3km。
要使斜拉桥长度最短，桥需修在AB线段上，因此斜拉桥长度为：
$AB - AE - BF=3-1.4-0.7=0.9(\mathrm{km})$
【答案】
0.9
【知识点】
全等三角形的判定与性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是全等三角形在实际生活中的应用类题目，解题的核心是通过证明三角形全等得到无直接通路的AB段的长度，再结合线段的和差关系计算所求长度，能有效考查学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
6.如图,小明用7块相同的长8 cm、宽3 cm的长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AB=BC,∠ABC=90°),点B在DE上,点A和点C分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之间的距离为
36
cm。答案
6. 36
解析
【分析】
解题时先结合已知条件分析图形特征：已知AB=BC，∠ABC=90°，且两堵木墙都与地面垂直，即AD⊥DE、CE⊥DE，可得两个直角相等；再根据同角的余角相等推出一组锐角相等，即可证明△ADB和△BEC全等，得到对应边相等。最后结合小木块的尺寸计算两堵木墙的高度，利用全等的性质将DE转化为两堵木墙的高度之和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠BAD + ∠ABD = 90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD + ∠CBE = 90°，
∴∠BAD = ∠CBE。
在△ADB和△BEC中：
$\{\begin{array}{l}∠D=∠E \\∠BAD=∠CBE \\AB=BC\end{array} $
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴AD=BE，BD=CE。
由题意可知，左边木墙由3个小木块垒成，高度为3个小木块的长：$AD=3×8=24\ \mathrm{cm}$，
右边木墙由4个小木块垒成，高度为4个小木块的宽：$CE=4×3=12\ \mathrm{cm}$，
∴两堵木墙之间的距离$DE=BD+BE=CE+AD=12+24=36\ \mathrm{cm}$。
【答案】
36
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形在实际场景中的应用题目，解题核心是通过角度互余关系推导角相等，进而证明三角形全等，将待求的距离转化为可直接计算的线段之和，能够很好地考查学生结合图形分析问题、运用全等知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
解题时先结合已知条件分析图形特征：已知AB=BC，∠ABC=90°，且两堵木墙都与地面垂直，即AD⊥DE、CE⊥DE，可得两个直角相等；再根据同角的余角相等推出一组锐角相等，即可证明△ADB和△BEC全等，得到对应边相等。最后结合小木块的尺寸计算两堵木墙的高度，利用全等的性质将DE转化为两堵木墙的高度之和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠BAD + ∠ABD = 90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD + ∠CBE = 90°，
∴∠BAD = ∠CBE。
在△ADB和△BEC中：
$\{\begin{array}{l}∠D=∠E \\∠BAD=∠CBE \\AB=BC\end{array} $
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴AD=BE，BD=CE。
由题意可知，左边木墙由3个小木块垒成，高度为3个小木块的长：$AD=3×8=24\ \mathrm{cm}$，
右边木墙由4个小木块垒成，高度为4个小木块的宽：$CE=4×3=12\ \mathrm{cm}$，
∴两堵木墙之间的距离$DE=BD+BE=CE+AD=12+24=36\ \mathrm{cm}$。
【答案】
36
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形在实际场景中的应用题目，解题核心是通过角度互余关系推导角相等，进而证明三角形全等，将待求的距离转化为可直接计算的线段之和，能够很好地考查学生结合图形分析问题、运用全等知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
