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1. (★)下列条件可以画出唯一一个圆的是
【 】
A.已知圆心
B.已知半径
C.已知直径
D.已知不在同一条直线上的三个点
【 】
A.已知圆心
B.已知半径
C.已知直径
D.已知不在同一条直线上的三个点
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个条件能画出唯一圆，首先需明确确定唯一圆的两个核心要素：圆心（决定圆的位置）和半径（决定圆的大小），二者缺一不可。我们可以逐个分析选项，判断每个选项是否能同时确定圆心和半径，进而确定唯一的圆：
1. 若只有圆心，半径不确定，可画无数个同心圆；
2. 若只有半径，圆心不确定，可画无数个等圆；
3. 若仅已知直径的长度，圆心位置仍无法确定，也不能得到唯一圆；
4. 不在同一直线上的三个点，可通过作三边垂直平分线找到唯一的圆心（外心），圆心到任意一点的距离就是唯一的半径，因此能确定唯一圆。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 仅已知圆心，半径可以取任意正值，能画出无数个大小不同的同心圆，无法确定唯一圆，不符合要求；
B. 仅已知半径，圆心可以在平面内任意位置，能画出无数个位置不同的等圆，无法确定唯一圆，不符合要求；
C. 已知直径（通常指直径长度），圆心位置无法确定，仍可画出无数个等圆，无法确定唯一圆，不符合要求；
D. 根据圆的确定定理，不在同一条直线上的三个点，可确定唯一一个圆（圆心是三点连线构成的三角形的外心，即三边垂直平分线的交点，半径为外心到任意一点的距离，二者均唯一），符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 三点定圆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对圆的确定条件的理解，解题的关键是牢记确定唯一圆需要同时明确位置和大小两个要素，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆的结论，避免因漏记要素选错答案。
【难度系数】
0.8
要判断哪个条件能画出唯一圆，首先需明确确定唯一圆的两个核心要素：圆心（决定圆的位置）和半径（决定圆的大小），二者缺一不可。我们可以逐个分析选项，判断每个选项是否能同时确定圆心和半径，进而确定唯一的圆：
1. 若只有圆心，半径不确定，可画无数个同心圆；
2. 若只有半径，圆心不确定，可画无数个等圆；
3. 若仅已知直径的长度，圆心位置仍无法确定，也不能得到唯一圆；
4. 不在同一直线上的三个点，可通过作三边垂直平分线找到唯一的圆心（外心），圆心到任意一点的距离就是唯一的半径，因此能确定唯一圆。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 仅已知圆心，半径可以取任意正值，能画出无数个大小不同的同心圆，无法确定唯一圆，不符合要求；
B. 仅已知半径，圆心可以在平面内任意位置，能画出无数个位置不同的等圆，无法确定唯一圆，不符合要求；
C. 已知直径（通常指直径长度），圆心位置无法确定，仍可画出无数个等圆，无法确定唯一圆，不符合要求；
D. 根据圆的确定定理，不在同一条直线上的三个点，可确定唯一一个圆（圆心是三点连线构成的三角形的外心，即三边垂直平分线的交点，半径为外心到任意一点的距离，二者均唯一），符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 三点定圆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对圆的确定条件的理解，解题的关键是牢记确定唯一圆需要同时明确位置和大小两个要素，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆的结论，避免因漏记要素选错答案。
【难度系数】
0.8
2. (★)(1)
的三个点确定一个圆.
(2)经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫作三角形的,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫作这个三角形的.
(3)如图,⊙O是△ABC的圆,△ABC是⊙O的三角形,点O是△ABC的心,点O到三角形三个顶点的距离相等.
的三个点确定一个圆.
(2)经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫作三角形的,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫作这个三角形的.
(3)如图,⊙O是△ABC的圆,△ABC是⊙O的三角形,点O是△ABC的心,点O到三角形三个顶点的距离相等.
答案
解：
(1) 不在同一直线上
(2) 外接圆；外心
(3) 外接；内接；外
(1) 不在同一直线上
(2) 外接圆；外心
(3) 外接；内接；外
解析
【分析】
这是一组与圆的基础概念相关的识记类题目，解题思路是结合对应知识点逐一作答：首先回忆确定圆的条件，明确同一直线上的三点无法确定唯一的圆，可得到第一问的答案；其次回忆三角形外接圆、外心的定义，就能填写第二问的两个空；最后结合图形和外接圆、内接三角形的概念关系，填写第三问的三个空。
【解析】
(1) 根据圆的确定条件：过同一直线上的三点无法作出唯一的圆，只有不在同一直线上的三个点可以确定唯一的一个圆，因此此处填“不在同一直线上”。
(2) 根据定义：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。因此依次填“外接圆”、“外心”。
(3) 观察图形可知⊙O经过△ABC的三个顶点，结合定义可得：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心，且外心到三角形三个顶点的距离相等。因此依次填“外接”、“内接”、“外”。
【答案】
(1) 不在同一直线上
(2) 外接圆；外心
(3) 外接；内接；外
【知识点】
确定圆的条件；三角形外接圆定义；三角形外心定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对圆和三角形相关基础概念的掌握情况，牢记对应概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
这是一组与圆的基础概念相关的识记类题目，解题思路是结合对应知识点逐一作答：首先回忆确定圆的条件，明确同一直线上的三点无法确定唯一的圆，可得到第一问的答案；其次回忆三角形外接圆、外心的定义，就能填写第二问的两个空；最后结合图形和外接圆、内接三角形的概念关系，填写第三问的三个空。
【解析】
(1) 根据圆的确定条件：过同一直线上的三点无法作出唯一的圆，只有不在同一直线上的三个点可以确定唯一的一个圆，因此此处填“不在同一直线上”。
(2) 根据定义：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。因此依次填“外接圆”、“外心”。
(3) 观察图形可知⊙O经过△ABC的三个顶点，结合定义可得：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心，且外心到三角形三个顶点的距离相等。因此依次填“外接”、“内接”、“外”。
【答案】
(1) 不在同一直线上
(2) 外接圆；外心
(3) 外接；内接；外
【知识点】
确定圆的条件；三角形外接圆定义；三角形外心定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对圆和三角形相关基础概念的掌握情况，牢记对应概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3. (★)有下列命题:①圆有且只有一个内接三角形;②一个三角形只有一个外接圆;③三角形的外心是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点;④等边三角形的外心也是三角形的三条中线的交点.其中正确的是(填序号).
答案
解：
①圆上任意三个不共线的点都能构成该圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，①错误；
②不在同一直线上的三个点确定一个圆，三角形的三个顶点不共线，因此一个三角形只有一个外接圆，②正确；
③根据三角形外心的定义，三角形的外心是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点，③正确；
④等边三角形满足三线合一，各边的垂直平分线与对应边的中线重合，因此等边三角形的外心也是三角形的三条中线的交点，④正确。
综上，正确的是②③④。
①圆上任意三个不共线的点都能构成该圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，①错误；
②不在同一直线上的三个点确定一个圆，三角形的三个顶点不共线，因此一个三角形只有一个外接圆，②正确；
③根据三角形外心的定义，三角形的外心是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点，③正确；
④等边三角形满足三线合一，各边的垂直平分线与对应边的中线重合，因此等边三角形的外心也是三角形的三条中线的交点，④正确。
综上，正确的是②③④。
解析
【分析】
本题需要结合圆的内接三角形、三角形外接圆与外心的定义、等边三角形的性质，逐一判断4个命题的正误。解题时先回忆相关基础概念，再对每个命题分别验证即可得出正确结论。
【解析】
①圆上任意三个不共线的点都可以构成该圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，故①错误；
②不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆，三角形的三个顶点不共线，因此一个三角形只有一个外接圆，故②正确；
③根据三角形外心的定义，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，任意两边垂直平分线的交点即可确定这个点，故③正确；
④等边三角形具有三线合一的性质，各边的垂直平分线与对应边的中线完全重合，因此等边三角形的外心也是三角形三条中线的交点，故④正确。
综上，正确的命题是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
圆的内接三角形；三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握相关定义和特殊三角形的性质，难度较低，只要牢记基础知识点就能快速判断出正确结果。
【难度系数】
0.85
本题需要结合圆的内接三角形、三角形外接圆与外心的定义、等边三角形的性质，逐一判断4个命题的正误。解题时先回忆相关基础概念，再对每个命题分别验证即可得出正确结论。
【解析】
①圆上任意三个不共线的点都可以构成该圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，故①错误；
②不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆，三角形的三个顶点不共线，因此一个三角形只有一个外接圆，故②正确；
③根据三角形外心的定义，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，任意两边垂直平分线的交点即可确定这个点，故③正确；
④等边三角形具有三线合一的性质，各边的垂直平分线与对应边的中线完全重合，因此等边三角形的外心也是三角形三条中线的交点，故④正确。
综上，正确的命题是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
圆的内接三角形；三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握相关定义和特殊三角形的性质，难度较低，只要牢记基础知识点就能快速判断出正确结果。
【难度系数】
0.85
4. (★)下列命题不正确的是 【 】
A.三点确定一个圆
B.三角形的外接圆有且只有一个
C.经过一点有无数个圆
D.经过两点有无数个圆
A.三点确定一个圆
B.三角形的外接圆有且只有一个
C.经过一点有无数个圆
D.经过两点有无数个圆
答案
A
解析
【分析】
本题考查与圆相关的命题正误判断，解题核心是明确确定圆的条件：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，需结合该条件逐一分析每个选项的正确性，最终选出错误命题即可。要注意“三点确定一个圆”的前提是三点不在同一直线上，这是本题的易错点。
【解析】
结合确定圆的条件逐一分析选项：
选项A：只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线，无法作出同时经过这三点的圆，因此该命题缺少前提条件，表述错误；
选项B：三角形的三个顶点一定不在同一直线上，因此可以确定唯一的一个圆即三角形的外接圆，故“三角形的外接圆有且只有一个”表述正确；
选项C：经过一个点时，圆心可以是平面内除该点外的任意点，只要圆心到该点的距离等于半径即可，因此经过一点可以作无数个圆，表述正确；
选项D：经过两个点时，圆心必须在这两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点可作为圆心，因此经过两点可以作无数个圆，表述正确。
综上，不正确的命题是A。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；三角形外接圆
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查圆的基础性质，解题的关键是牢记“不在同一直线上的三点确定一个圆”的适用前提，不要忽略三点共线的特殊情况，掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查与圆相关的命题正误判断，解题核心是明确确定圆的条件：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，需结合该条件逐一分析每个选项的正确性，最终选出错误命题即可。要注意“三点确定一个圆”的前提是三点不在同一直线上，这是本题的易错点。
【解析】
结合确定圆的条件逐一分析选项：
选项A：只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线，无法作出同时经过这三点的圆，因此该命题缺少前提条件，表述错误；
选项B：三角形的三个顶点一定不在同一直线上，因此可以确定唯一的一个圆即三角形的外接圆，故“三角形的外接圆有且只有一个”表述正确；
选项C：经过一个点时，圆心可以是平面内除该点外的任意点，只要圆心到该点的距离等于半径即可，因此经过一点可以作无数个圆，表述正确；
选项D：经过两个点时，圆心必须在这两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点可作为圆心，因此经过两点可以作无数个圆，表述正确。
综上，不正确的命题是A。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；三角形外接圆
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查圆的基础性质，解题的关键是牢记“不在同一直线上的三点确定一个圆”的适用前提，不要忽略三点共线的特殊情况，掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
5. (★)已知线段AB=6 cm,则过A,B两点的最小圆的半径长为 cm,过A,B两点(填“有”或“无”)最大圆.
答案
$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{无}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确过A、B两点的圆的圆心的位置特征：圆上任意一点到圆心的距离相等，因此过A、B两点的圆的圆心必然在线段AB的垂直平分线上。接下来思考半径的大小由圆心到A（或B）的距离决定：①要得到最小圆，就是要让圆心到A的距离最短，根据垂线段最短的性质，当圆心恰好是AB的中点时，距离最小，对应半径最小；②要判断是否有最大圆，只需看圆心到A的距离能不能无限大，由于圆心可以在AB的垂直平分线上无限远离线段AB，因此半径可以无限增大，不存在最大圆。
【解析】
1. 求过A、B两点的最小圆半径：
过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等，因此圆心在线段AB的垂直平分线上。
当圆心为线段AB的中点时，圆心到A的距离最短，此时圆的半径最小，为：
$r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$
2. 判断是否存在最大圆：
由于圆心可以在AB的垂直平分线上向远离AB的方向无限移动，此时圆心到A的距离可以无限增大，即圆的半径可以无限大，因此过A、B两点没有最大圆。
【答案】
$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{无}$
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用，解题核心是抓住过两点的圆的圆心轨迹，结合几何最值规律判断半径范围，容易掌握。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先要明确过A、B两点的圆的圆心的位置特征：圆上任意一点到圆心的距离相等，因此过A、B两点的圆的圆心必然在线段AB的垂直平分线上。接下来思考半径的大小由圆心到A（或B）的距离决定：①要得到最小圆，就是要让圆心到A的距离最短，根据垂线段最短的性质，当圆心恰好是AB的中点时，距离最小，对应半径最小；②要判断是否有最大圆，只需看圆心到A的距离能不能无限大，由于圆心可以在AB的垂直平分线上无限远离线段AB，因此半径可以无限增大，不存在最大圆。
【解析】
1. 求过A、B两点的最小圆半径：
过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等，因此圆心在线段AB的垂直平分线上。
当圆心为线段AB的中点时，圆心到A的距离最短，此时圆的半径最小，为：
$r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$
2. 判断是否存在最大圆：
由于圆心可以在AB的垂直平分线上向远离AB的方向无限移动，此时圆心到A的距离可以无限增大，即圆的半径可以无限大，因此过A、B两点没有最大圆。
【答案】
$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{无}$
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用，解题核心是抓住过两点的圆的圆心轨迹，结合几何最值规律判断半径范围，容易掌握。
【难度系数】
0.9
6. (★)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A,B,C,D,E,F,G都在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是 【 】
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
答案
A
解析
【分析】
要确定△ABC的外心，首先回忆三角形外心的核心性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，且到三角形三个顶点的距离相等。解题有两个思路：一是作出△ABC任意两边的垂直平分线，交点即为外心；二是计算各选项中点到A、B、C三点的距离，距离全部相等的点就是外心，结合网格特征可快速完成判断。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据外心“到三角形三个顶点距离相等”的性质逐一验证：
1. 验证点D：计算可得$DB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$DC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$DA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，即$DA=DB=DC$，满足外心的性质要求。
2. 验证其余点：点E、F、G到A、B、C三点的距离均不全部相等，不符合外心的定义。
因此△ABC的外心是点D。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，围绕三角形外心的性质命题，解题关键是熟练掌握外心的定义与特征，结合网格的结构特征很容易完成判断。
【难度系数】
0.8
要确定△ABC的外心，首先回忆三角形外心的核心性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，且到三角形三个顶点的距离相等。解题有两个思路：一是作出△ABC任意两边的垂直平分线，交点即为外心；二是计算各选项中点到A、B、C三点的距离，距离全部相等的点就是外心，结合网格特征可快速完成判断。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据外心“到三角形三个顶点距离相等”的性质逐一验证：
1. 验证点D：计算可得$DB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$DC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$DA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，即$DA=DB=DC$，满足外心的性质要求。
2. 验证其余点：点E、F、G到A、B、C三点的距离均不全部相等，不符合外心的定义。
因此△ABC的外心是点D。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，围绕三角形外心的性质命题，解题关键是熟练掌握外心的定义与特征，结合网格的结构特征很容易完成判断。
【难度系数】
0.8
7. (★★)在$△ ABC$中，$AB = 8\ \mathrm{cm}$，$AC = 15\ \mathrm{cm}$，$BC = 17\ \mathrm{cm}$，则此三角形是直角三角形，它的外心在，外接圆的半径长为 cm.
答案
斜边$BC$的中点处；$8.5$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形外心的定义：外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等。已知该三角形是直角三角形，结合直角三角形“斜边中线等于斜边的一半”的性质，可知斜边的中点到三个顶点的距离相等，刚好满足外心的特征，因此外心在斜边的中点处；而外接圆的半径就是外心到顶点的距离，即斜边长度的一半，代入数值计算即可得到半径长度。
【解析】
1. 确定外心位置：
三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也是外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。
已知△ABC是直角三角形，最长边BC为斜边，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，可知斜边BC的中点到A、B、C三点的距离相等，因此该三角形的外心在斜边BC的中点处。
2. 计算外接圆半径：
直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，因此外接圆半径$R=\frac{1}{2}BC$，代入$BC=17\mathrm{cm}$，得$R=\frac{1}{2}×17=8.5\mathrm{cm}$。
【答案】
斜边$BC$的中点处；$8.5$
【知识点】
三角形外心概念；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查直角三角形外心的位置和外接圆半径的计算，熟记直角三角形外接圆的圆心在斜边中点、半径为斜边长度的一半是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形外心的定义：外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等。已知该三角形是直角三角形，结合直角三角形“斜边中线等于斜边的一半”的性质，可知斜边的中点到三个顶点的距离相等，刚好满足外心的特征，因此外心在斜边的中点处；而外接圆的半径就是外心到顶点的距离，即斜边长度的一半，代入数值计算即可得到半径长度。
【解析】
1. 确定外心位置：
三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也是外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。
已知△ABC是直角三角形，最长边BC为斜边，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，可知斜边BC的中点到A、B、C三点的距离相等，因此该三角形的外心在斜边BC的中点处。
2. 计算外接圆半径：
直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，因此外接圆半径$R=\frac{1}{2}BC$，代入$BC=17\mathrm{cm}$，得$R=\frac{1}{2}×17=8.5\mathrm{cm}$。
【答案】
斜边$BC$的中点处；$8.5$
【知识点】
三角形外心概念；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查直角三角形外心的位置和外接圆半径的计算，熟记直角三角形外接圆的圆心在斜边中点、半径为斜边长度的一半是解题的关键。
【难度系数】
0.8
