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8. (★)在同一平面内,已知⊙O内一点M到圆上的点的最长距离是4 cm,最短距离是2 cm,则OM的长等于 【 】
A.2 cm
B.1 cm
C.3 cm
D.6 cm
A.2 cm
B.1 cm
C.3 cm
D.6 cm
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确圆内一点到圆上各点的最长、最短距离的规律：过圆内一点和圆心作直线，直线与圆的两个交点中，到该点较远的点对应的就是最长距离，较近的点对应的就是最短距离。由此可得最长距离=半径+圆心到该点的距离，最短距离=半径-圆心到该点的距离，联立两个关系即可求出OM的长度。
【解析】
设⊙O的半径为$R$，$OM$的长度为$x$。
∵ 点M在⊙O内，
∴ 点M到圆上点的最长距离为：$R + x = 4\mathrm{cm}$ ①，
点M到圆上点的最短距离为：$R - x = 2\mathrm{cm}$ ②。
用①式减去②式可得：
$(R + x) - (R - x) = 4 - 2$
化简得$2x = 2$，解得$x = 1\mathrm{cm}$。
因此OM的长为1cm，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系，点到圆的距离最值
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是掌握圆内点到圆上点的距离最值和半径、圆心距的数量关系，熟练掌握该规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确圆内一点到圆上各点的最长、最短距离的规律：过圆内一点和圆心作直线，直线与圆的两个交点中，到该点较远的点对应的就是最长距离，较近的点对应的就是最短距离。由此可得最长距离=半径+圆心到该点的距离，最短距离=半径-圆心到该点的距离，联立两个关系即可求出OM的长度。
【解析】
设⊙O的半径为$R$，$OM$的长度为$x$。
∵ 点M在⊙O内，
∴ 点M到圆上点的最长距离为：$R + x = 4\mathrm{cm}$ ①，
点M到圆上点的最短距离为：$R - x = 2\mathrm{cm}$ ②。
用①式减去②式可得：
$(R + x) - (R - x) = 4 - 2$
化简得$2x = 2$，解得$x = 1\mathrm{cm}$。
因此OM的长为1cm，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系，点到圆的距离最值
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是掌握圆内点到圆上点的距离最值和半径、圆心距的数量关系，熟练掌握该规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
9. (★★)如图，AB为半圆的直径，O为圆心，OC⊥AB交半圆于点C. D是半圆上的动点(不与点A,B,C重合)，点D从点A出发向点B运动.过点D作DE⊥AB，DF⊥OC，垂足分别为E,F，分别取DE和DF的中点M,N，连接MN.若AB=10，则下列关于MN长的说法正确的是
【 】
A.先变大后变小
B.等于5
C.先变小后变大
D.等于2.5
【 】
A.先变大后变小
B.等于5
C.先变小后变大
D.等于2.5
答案
D
解析
【分析】
解题时先观察四边形DEOF的角的特征：OC⊥AB，DE⊥AB，DF⊥OC，可得该四边形三个内角为直角，判定为矩形，根据矩形性质得对角线EF=OD；再结合M、N是DE、DF的中点，联想三角形中位线定理，可得MN是△DEF的中位线，即MN=½EF，由此推出MN和半径OD的数量关系；最后结合圆的半径为定值，即可求出MN的长度并判断其变化规律。
【解析】
连接OD、EF：
1. 证明四边形DEOF是矩形：
∵ OC⊥AB，DE⊥AB，DF⊥OC
∴ ∠DEO=∠EOF=∠DFO=90°
∴ 四边形DEOF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，得EF=OD
2. 利用三角形中位线定理推导MN与EF的关系：
∵ M是DE的中点，N是DF的中点
∴ MN是△DEF的中位线
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，得MN=½EF
3. 结合圆的半径计算MN长度：
∵ AB是半圆的直径，AB=10，
∴ 半圆的半径OD=½AB=5
结合EF=OD，MN=½EF，可得MN=½OD=½×5=2.5
∵ 点D在半圆上运动时，OD始终为半圆的半径，长度不变，
∴ MN的长度恒为2.5。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定与性质；三角形中位线定理；圆的基本性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是通过连接辅助线OD、EF，搭建起MN和圆半径之间的等量关系，避免被点D的运动误导，能很好地考查学生对基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
解题时先观察四边形DEOF的角的特征：OC⊥AB，DE⊥AB，DF⊥OC，可得该四边形三个内角为直角，判定为矩形，根据矩形性质得对角线EF=OD；再结合M、N是DE、DF的中点，联想三角形中位线定理，可得MN是△DEF的中位线，即MN=½EF，由此推出MN和半径OD的数量关系；最后结合圆的半径为定值，即可求出MN的长度并判断其变化规律。
【解析】
连接OD、EF：
1. 证明四边形DEOF是矩形：
∵ OC⊥AB，DE⊥AB，DF⊥OC
∴ ∠DEO=∠EOF=∠DFO=90°
∴ 四边形DEOF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，得EF=OD
2. 利用三角形中位线定理推导MN与EF的关系：
∵ M是DE的中点，N是DF的中点
∴ MN是△DEF的中位线
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，得MN=½EF
3. 结合圆的半径计算MN长度：
∵ AB是半圆的直径，AB=10，
∴ 半圆的半径OD=½AB=5
结合EF=OD，MN=½EF，可得MN=½OD=½×5=2.5
∵ 点D在半圆上运动时，OD始终为半圆的半径，长度不变，
∴ MN的长度恒为2.5。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定与性质；三角形中位线定理；圆的基本性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是通过连接辅助线OD、EF，搭建起MN和圆半径之间的等量关系，避免被点D的运动误导，能很好地考查学生对基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
10. (★★)如图,OA,OB,OC,OD是圆的四条半径,图中以A为一个端点的弧有条.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧包括劣弧（小于半圆的弧）、优弧（大于半圆的弧）和半圆（等于半圆的弧）。本题中不存在过点A的直径，因此没有以A为端点的半圆。接下来我们找以A为一个端点的弧：首先确定和A搭配的另一个端点，图中圆上除A外还有B、C、D三个点，每两个点之间对应2条不同的弧（1条劣弧、1条优弧），由此就可以计算出总条数。
【解析】
解：根据弧的定义，圆上两点间的部分为弧，以A为一个端点时，另一个端点可以是B、C、D，共3种选择。
由于没有过点A的直径，每一组端点对应2条不同的弧（劣弧、优弧各1条），因此总弧数为 $3×2=6$ 条。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
弧的概念
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是理解弧的分类，注意不要漏记优弧，避免只数劣弧导致答案错误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要明确弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧包括劣弧（小于半圆的弧）、优弧（大于半圆的弧）和半圆（等于半圆的弧）。本题中不存在过点A的直径，因此没有以A为端点的半圆。接下来我们找以A为一个端点的弧：首先确定和A搭配的另一个端点，图中圆上除A外还有B、C、D三个点，每两个点之间对应2条不同的弧（1条劣弧、1条优弧），由此就可以计算出总条数。
【解析】
解：根据弧的定义，圆上两点间的部分为弧，以A为一个端点时，另一个端点可以是B、C、D，共3种选择。
由于没有过点A的直径，每一组端点对应2条不同的弧（劣弧、优弧各1条），因此总弧数为 $3×2=6$ 条。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
弧的概念
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是理解弧的分类，注意不要漏记优弧，避免只数劣弧导致答案错误。
【难度系数】
0.6
11.(★)在同一平面内,已知点P不在直径为8的$\odot O$内,如果设$OP=x$,那么$x$的取值范围是.
答案
解：
∵⊙O的直径为8，
∴⊙O的半径为4。
∵点P不在⊙O内，
∴点P在⊙O上或⊙O外，
根据点与圆的位置关系可知，此时点P到圆心O的距离大于或等于圆的半径，
即$OP\ge4$，
∴$x$的取值范围是$x\ge4$。
∵⊙O的直径为8，
∴⊙O的半径为4。
∵点P不在⊙O内，
∴点P在⊙O上或⊙O外，
根据点与圆的位置关系可知，此时点P到圆心O的距离大于或等于圆的半径，
即$OP\ge4$，
∴$x$的取值范围是$x\ge4$。
解析
【分析】
解题时首先要明确点与圆的三种位置关系对应的数量特征：点在圆内等价于点到圆心的距离小于半径，点在圆上等价于点到圆心的距离等于半径，点在圆外等价于点到圆心的距离大于半径。第一步先根据已知的圆直径求出半径，第二步结合“点P不在⊙O内”的条件，判断点P的位置为圆上或圆外，最后对应得到OP与半径的大小关系，即可求出x的取值范围。
【解析】
∵⊙O的直径为8，
∴⊙O的半径为$8÷2=4$。
∵点P不在⊙O内，
∴点P在⊙O上或⊙O外，
根据点与圆的位置关系可知：点在圆上或圆外时，点到圆心的距离大于或等于圆的半径，
即$OP\ge4$，
又
∵$OP=x$，
∴$x$的取值范围是$x\ge4$。
【答案】
$x\ge4$
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本概念
【点评】
本题是基础概念题，主要考查点和圆位置关系的判定，解题时容易忽略“点在圆上不属于圆内”的情况，漏写等号导致结果错误，要注意区分“不在圆内”和“在圆外”的差异。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确点与圆的三种位置关系对应的数量特征：点在圆内等价于点到圆心的距离小于半径，点在圆上等价于点到圆心的距离等于半径，点在圆外等价于点到圆心的距离大于半径。第一步先根据已知的圆直径求出半径，第二步结合“点P不在⊙O内”的条件，判断点P的位置为圆上或圆外，最后对应得到OP与半径的大小关系，即可求出x的取值范围。
【解析】
∵⊙O的直径为8，
∴⊙O的半径为$8÷2=4$。
∵点P不在⊙O内，
∴点P在⊙O上或⊙O外，
根据点与圆的位置关系可知：点在圆上或圆外时，点到圆心的距离大于或等于圆的半径，
即$OP\ge4$，
又
∵$OP=x$，
∴$x$的取值范围是$x\ge4$。
【答案】
$x\ge4$
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本概念
【点评】
本题是基础概念题，主要考查点和圆位置关系的判定，解题时容易忽略“点在圆上不属于圆内”的情况，漏写等号导致结果错误，要注意区分“不在圆内”和“在圆外”的差异。
【难度系数】
0.85
12.(★★)(1)探究:在同一平面内,一点和⊙O上的最近点的距离为4,和最远点的距离为9,则这个圆的半径长是.
(2)应用:若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a＞b),则此圆的半径长为.
(2)应用:若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a＞b),则此圆的半径长为.
答案
解：
(1) 分两种情况讨论：
① 当该点在⊙O内时，点到圆上最近点、最远点的距离之和等于圆的直径，
可得直径为$4+9=13$，半径为$\frac{13}{2}$；
② 当该点在⊙O外时，点到圆上最远点、最近点的距离之差等于圆的直径，
可得直径为$9-4=5$，半径为$\frac{5}{2}$。
综上，这个圆的半径长是$\frac{13}{2}$或$\frac{5}{2}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点$P$在⊙O内时，直径为$a+b$，半径为$\frac{a+b}{2}$；
② 当点$P$在⊙O外时，直径为$a-b$，半径为$\frac{a-b}{2}$。
因此此圆的半径长为$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$。
(1) 分两种情况讨论：
① 当该点在⊙O内时，点到圆上最近点、最远点的距离之和等于圆的直径，
可得直径为$4+9=13$，半径为$\frac{13}{2}$；
② 当该点在⊙O外时，点到圆上最远点、最近点的距离之差等于圆的直径，
可得直径为$9-4=5$，半径为$\frac{5}{2}$。
综上，这个圆的半径长是$\frac{13}{2}$或$\frac{5}{2}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点$P$在⊙O内时，直径为$a+b$，半径为$\frac{a+b}{2}$；
② 当点$P$在⊙O外时，直径为$a-b$，半径为$\frac{a-b}{2}$。
因此此圆的半径长为$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$。
解析
【分析】
本题考查点与圆的位置关系的应用，解题思路如下：首先明确点到圆上点的最近距离、最远距离对应的线段都在过该点与圆心的直线上，排除点在圆上的情况（点在圆上时最小距离为0，不符合题意），分两种情况讨论：①当点在圆内时，最近距离与最远距离之和等于圆的直径；②当点在圆外时，最远距离与最近距离之差等于圆的直径，最后根据半径是直径的一半计算即可，注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当该点在⊙O内时，点到圆上最近点、最远点的距离之和等于圆的直径，
可得直径为$4+9=13$，半径为$\frac{13}{2}$；
② 当该点在⊙O外时，点到圆上最远点、最近点的距离之差等于圆的直径，
可得直径为$9-4=5$，半径为$\frac{5}{2}$。
综上，这个圆的半径长是$\frac{13}{2}$或$\frac{5}{2}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点$P$在⊙O内时，直径为$a+b$，半径为$\frac{a+b}{2}$；
② 当点$P$在⊙O外时，直径为$a-b$，半径为$\frac{a-b}{2}$。
因此此圆的半径长为$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{13}{2}$或$\frac{5}{2}$；(2)$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$
【知识点】
点与圆的位置关系，圆的基本性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查点与圆位置关系的实际应用，解题关键是理清点到圆上的最大、最小距离和圆直径的数量关系，大部分学生容易忽略分类讨论，只考虑单一情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
本题考查点与圆的位置关系的应用，解题思路如下：首先明确点到圆上点的最近距离、最远距离对应的线段都在过该点与圆心的直线上，排除点在圆上的情况（点在圆上时最小距离为0，不符合题意），分两种情况讨论：①当点在圆内时，最近距离与最远距离之和等于圆的直径；②当点在圆外时，最远距离与最近距离之差等于圆的直径，最后根据半径是直径的一半计算即可，注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当该点在⊙O内时，点到圆上最近点、最远点的距离之和等于圆的直径，
可得直径为$4+9=13$，半径为$\frac{13}{2}$；
② 当该点在⊙O外时，点到圆上最远点、最近点的距离之差等于圆的直径，
可得直径为$9-4=5$，半径为$\frac{5}{2}$。
综上，这个圆的半径长是$\frac{13}{2}$或$\frac{5}{2}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点$P$在⊙O内时，直径为$a+b$，半径为$\frac{a+b}{2}$；
② 当点$P$在⊙O外时，直径为$a-b$，半径为$\frac{a-b}{2}$。
因此此圆的半径长为$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{13}{2}$或$\frac{5}{2}$；(2)$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$
【知识点】
点与圆的位置关系，圆的基本性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查点与圆位置关系的实际应用，解题关键是理清点到圆上的最大、最小距离和圆直径的数量关系，大部分学生容易忽略分类讨论，只考虑单一情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
13. (★★)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,连接AC,BD.
(1)过点D作DF⊥AC于点F,过点A作AE⊥BD于点E,求AE,AF的长;
(2)以点A为圆心画圆,使B,C,D,E,F五个点中至少有1个点在圆内,且至少有2个点在圆外,并求⊙A的半径长r的取值范围.
(1)过点D作DF⊥AC于点F,过点A作AE⊥BD于点E,求AE,AF的长;
(2)以点A为圆心画圆,使B,C,D,E,F五个点中至少有1个点在圆内,且至少有2个点在圆外,并求⊙A的半径长r的取值范围.
答案
解：
(1) 在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD=3，AD=4，
由勾股定理得：$AC=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}BD· AE$，
$\therefore AE=\frac{AB· AD}{BD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
$\because DF⊥ AC$，$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}AC· DF$，
$\therefore DF=\frac{AD· CD}{AC}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ADF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$。
(2) 点B、C、D、E、F到点A的距离分别为：
$AB=3$，$AC=5$，$AD=4$，$AE=\frac{12}{5}$，$AF=\frac{16}{5}$，
将各距离从小到大排序：$\frac{12}{5}＜3＜\frac{16}{5}＜4＜5$。
要使五个点中至少有1个点在圆内，需$r＞\frac{12}{5}$；
要使五个点中至少有2个点在圆外，需$r＜4$。
$\therefore \odot A$的半径长$r$的取值范围是$\frac{12}{5}＜r＜4$。
(1) 在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD=3，AD=4，
由勾股定理得：$AC=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}BD· AE$，
$\therefore AE=\frac{AB· AD}{BD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
$\because DF⊥ AC$，$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}AC· DF$，
$\therefore DF=\frac{AD· CD}{AC}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ADF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$。
(2) 点B、C、D、E、F到点A的距离分别为：
$AB=3$，$AC=5$，$AD=4$，$AE=\frac{12}{5}$，$AF=\frac{16}{5}$，
将各距离从小到大排序：$\frac{12}{5}＜3＜\frac{16}{5}＜4＜5$。
要使五个点中至少有1个点在圆内，需$r＞\frac{12}{5}$；
要使五个点中至少有2个点在圆外，需$r＜4$。
$\therefore \odot A$的半径长$r$的取值范围是$\frac{12}{5}＜r＜4$。
解析
【分析】
(1) 解题先从矩形性质入手，矩形内角为直角、对边相等，可先用勾股定理求出对角线AC、BD的长度；求AE时，△ABD的面积有两种计算方式：以AB、AD为直角边计算，或以BD为底、AE为高计算，利用等面积法即可求出AE的长度；同理用等面积法求出△ADC中AC边上的高DF，再在Rt△ADF中用勾股定理求出AF的长度。
(2) 先求出B、C、D、E、F五个点到圆心A的距离，按从小到大排序后，若至少1个点在圆内，则半径r需大于最小的点距；若至少2个点在圆外，则半径r需小于从大到小排列的第二个点距，综合两个条件即可得到r的取值范围。
【解析】
(1) 在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD=3，AD=4，
由勾股定理得：$AC=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}BD· AE$，
$\therefore AE=\frac{AB· AD}{BD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
$\because DF⊥ AC$，$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}AC· DF$，
$\therefore DF=\frac{AD· CD}{AC}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ADF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$。
(2) 点B、C、D、E、F到点A的距离分别为：
$AB=3$，$AC=5$，$AD=4$，$AE=\frac{12}{5}$，$AF=\frac{16}{5}$，
将各距离从小到大排序：$\frac{12}{5}＜3＜\frac{16}{5}＜4＜5$。
要使五个点中至少有1个点在圆内，需$r＞\frac{12}{5}$；
要使五个点中至少有2个点在圆外，需$r＜4$。
$\therefore \odot A$的半径长$r$的取值范围是$\frac{12}{5}＜r＜4$。
【答案】
(1) $AE=\frac{12}{5}$，$AF=\frac{16}{5}$；
(2) $\frac{12}{5}＜r＜4$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题综合性较强，既考查了矩形的基本性质、等面积法求高、勾股定理的应用，又考查了点与圆位置关系的判断，解题时需注意先理清各线段的数量关系，再结合题意确定半径的取值范围。
【难度系数】
0.65
(1) 解题先从矩形性质入手，矩形内角为直角、对边相等，可先用勾股定理求出对角线AC、BD的长度；求AE时，△ABD的面积有两种计算方式：以AB、AD为直角边计算，或以BD为底、AE为高计算，利用等面积法即可求出AE的长度；同理用等面积法求出△ADC中AC边上的高DF，再在Rt△ADF中用勾股定理求出AF的长度。
(2) 先求出B、C、D、E、F五个点到圆心A的距离，按从小到大排序后，若至少1个点在圆内，则半径r需大于最小的点距；若至少2个点在圆外，则半径r需小于从大到小排列的第二个点距，综合两个条件即可得到r的取值范围。
【解析】
(1) 在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD=3，AD=4，
由勾股定理得：$AC=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}BD· AE$，
$\therefore AE=\frac{AB· AD}{BD}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
$\because DF⊥ AC$，$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}AC· DF$，
$\therefore DF=\frac{AD· CD}{AC}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ADF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$。
(2) 点B、C、D、E、F到点A的距离分别为：
$AB=3$，$AC=5$，$AD=4$，$AE=\frac{12}{5}$，$AF=\frac{16}{5}$，
将各距离从小到大排序：$\frac{12}{5}＜3＜\frac{16}{5}＜4＜5$。
要使五个点中至少有1个点在圆内，需$r＞\frac{12}{5}$；
要使五个点中至少有2个点在圆外，需$r＜4$。
$\therefore \odot A$的半径长$r$的取值范围是$\frac{12}{5}＜r＜4$。
【答案】
(1) $AE=\frac{12}{5}$，$AF=\frac{16}{5}$；
(2) $\frac{12}{5}＜r＜4$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题综合性较强，既考查了矩形的基本性质、等面积法求高、勾股定理的应用，又考查了点与圆位置关系的判断，解题时需注意先理清各线段的数量关系，再结合题意确定半径的取值范围。
【难度系数】
0.65
14. (★★)如图,AB是$\odot O$的弦,C是$\overset{\frown}{ACB}$上的动点(点C不与点A,B重合),$CH ⊥ AB$,垂足为H,M是BC的中点.若$\odot O$的半径长是3,则MH长的最大值是
【】
A.3
B.4
C.5
D.6
【】
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
A
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：CH⊥AB可得△CHB是直角三角形，已知M是BC中点，首先联想到直角三角形斜边中线的性质，可推出MH与BC的数量关系，将求MH的最大值转化为求圆内弦BC的最大值；再结合圆的性质，圆内最长的弦是直径，即可求出BC的最大值，进而得到MH的最大值。
【解析】
∵ CH⊥AB，
∴ ∠CHB=90°，即△CHB是直角三角形。
又
∵ M是BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$MH=\frac{1}{2}BC$。
BC是⊙O的弦，圆内最长的弦为直径，已知⊙O的半径为3，因此直径长度为$2×3=6$，即BC的最大值为6。
∴ MH的最大值为$\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的弦的性质，转化思想
【点评】
本题综合考查直角三角形和圆的基础性质，解题的核心是通过直角三角形斜边中线的性质，将未知线段的最值问题转化为圆内弦的最值问题，牢记圆内最长弦为直径即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：CH⊥AB可得△CHB是直角三角形，已知M是BC中点，首先联想到直角三角形斜边中线的性质，可推出MH与BC的数量关系，将求MH的最大值转化为求圆内弦BC的最大值；再结合圆的性质，圆内最长的弦是直径，即可求出BC的最大值，进而得到MH的最大值。
【解析】
∵ CH⊥AB，
∴ ∠CHB=90°，即△CHB是直角三角形。
又
∵ M是BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$MH=\frac{1}{2}BC$。
BC是⊙O的弦，圆内最长的弦为直径，已知⊙O的半径为3，因此直径长度为$2×3=6$，即BC的最大值为6。
∴ MH的最大值为$\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的弦的性质，转化思想
【点评】
本题综合考查直角三角形和圆的基础性质，解题的核心是通过直角三角形斜边中线的性质，将未知线段的最值问题转化为圆内弦的最值问题，牢记圆内最长弦为直径即可快速求解。
【难度系数】
0.7
