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1. (★)在平面直角坐标系中,画出二次函数$y=x^2+2x-3,y=x^2-10x+25$和$y=x^2-2x+2$的图象如图所示.
由函数图象可以看出:
(1) 抛物线$y = x^2 + 2x - 3$与$x$轴有个公共点,它们的横坐标分别是,.当$x$取公共点的横坐标时,函数值是.由此可知,方程$x^2 + 2x - 3 = 0$有的实数根.
(2) 抛物线$y = x^2 - 10x + 25$与$x$轴只有个公共点,公共点的横坐标是.当$x$取公共点的横坐标时,函数值是.由此可知,方程$x^2 - 10x + 25 = 0$有的实数根.
(3) 抛物线$y = x^2 - 2x + 2$与$x$轴公共点.由此可知,方程$x^2 - 2x + 2 = 0$实数根.
由函数图象可以看出:
(1) 抛物线$y = x^2 + 2x - 3$与$x$轴有个公共点,它们的横坐标分别是,.当$x$取公共点的横坐标时,函数值是.由此可知,方程$x^2 + 2x - 3 = 0$有的实数根.
(2) 抛物线$y = x^2 - 10x + 25$与$x$轴只有个公共点,公共点的横坐标是.当$x$取公共点的横坐标时,函数值是.由此可知,方程$x^2 - 10x + 25 = 0$有的实数根.
(3) 抛物线$y = x^2 - 2x + 2$与$x$轴公共点.由此可知,方程$x^2 - 2x + 2 = 0$实数根.
答案
解：
(1) 抛物线$y = x^2 + 2x - 3$与$x$轴有$\boldsymbol{2}$个公共点，它们的横坐标分别是$\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{1}$。当$x$取公共点的横坐标时，函数值是$\boldsymbol{0}$。由此可知，方程$x^2 + 2x - 3 = 0$有两个不相等的实数根$\boldsymbol{x_1=-3,\,x_2=1}$。
(2) 抛物线$y = x^2 - 10x + 25$与$x$轴只有$\boldsymbol{1}$个公共点，公共点的横坐标是$\boldsymbol{5}$。当$x$取公共点的横坐标时，函数值是$\boldsymbol{0}$。由此可知，方程$x^2 - 10x + 25 = 0$有两个相等的实数根$\boldsymbol{x_1=x_2=5}$。
(3) 抛物线$y = x^2 - 2x + 2$与$x$轴$\boldsymbol{没有}$公共点。由此可知，方程$x^2 - 2x + 2 = 0$$\boldsymbol{没有}$实数根。
(1) 抛物线$y = x^2 + 2x - 3$与$x$轴有$\boldsymbol{2}$个公共点，它们的横坐标分别是$\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{1}$。当$x$取公共点的横坐标时，函数值是$\boldsymbol{0}$。由此可知，方程$x^2 + 2x - 3 = 0$有两个不相等的实数根$\boldsymbol{x_1=-3,\,x_2=1}$。
(2) 抛物线$y = x^2 - 10x + 25$与$x$轴只有$\boldsymbol{1}$个公共点，公共点的横坐标是$\boldsymbol{5}$。当$x$取公共点的横坐标时，函数值是$\boldsymbol{0}$。由此可知，方程$x^2 - 10x + 25 = 0$有两个相等的实数根$\boldsymbol{x_1=x_2=5}$。
(3) 抛物线$y = x^2 - 2x + 2$与$x$轴$\boldsymbol{没有}$公共点。由此可知，方程$x^2 - 2x + 2 = 0$$\boldsymbol{没有}$实数根。
解析
【分析】
解题思路是利用二次函数图象与x轴的交点和对应一元二次方程根的对应关系求解：①二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根；②交点处的函数值为0；③抛物线与x轴有2个交点对应方程有两个不相等的实数根，有1个交点对应方程有两个相等的实数根，没有交点对应方程无实数根。解题时先观察每个抛物线与x轴的交点个数，再读取交点横坐标，最后对应得到方程的根的情况即可。
【解析】
(1) 观察抛物线$y = x^2 + 2x - 3$的图象，可看出它与x轴有2个交点，交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$，因此交点横坐标是-3和1；x轴上的点纵坐标为0，因此x取这两个值时函数值为0；根据二次函数与一元二次方程的对应关系，可知方程$x^2 + 2x - 3 = 0$有两个不相等的实数根$x_1=-3,x_2=1$。
(2) 观察抛物线$y = x^2 - 10x + 25$的图象，可看出它与x轴只有1个交点，交点坐标为$(5,0)$，因此交点横坐标是5；x取该值时函数值为0，对应方程$x^2 - 10x + 25 = 0$有两个相等的实数根$x_1=x_2=5$。
(3) 观察抛物线$y = x^2 - 2x + 2$的图象，可看出它全程在x轴上方，与x轴没有公共点，因此对应方程$x^2 - 2x + 2 = 0$没有实数根。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{-3}$；$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{0}$；两个不相等；$\boldsymbol{x_1=-3,\,x_2=1}$
(2) $\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{0}$；两个相等；$\boldsymbol{x_1=x_2=5}$
(3) $\boldsymbol{没有}$；$\boldsymbol{没有}$
【知识点】
1. 二次函数的图象
2. 二次函数与一元二次方程的联系
3. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题，通过图象直观呈现了二次函数与对应一元二次方程的内在关联，帮助学生建立数形结合的思想，熟练掌握根据抛物线与x轴交点情况判断方程根的情况的方法，是二次函数部分的核心基础考点。
【难度系数】
0.9
解题思路是利用二次函数图象与x轴的交点和对应一元二次方程根的对应关系求解：①二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根；②交点处的函数值为0；③抛物线与x轴有2个交点对应方程有两个不相等的实数根，有1个交点对应方程有两个相等的实数根，没有交点对应方程无实数根。解题时先观察每个抛物线与x轴的交点个数，再读取交点横坐标，最后对应得到方程的根的情况即可。
【解析】
(1) 观察抛物线$y = x^2 + 2x - 3$的图象，可看出它与x轴有2个交点，交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$，因此交点横坐标是-3和1；x轴上的点纵坐标为0，因此x取这两个值时函数值为0；根据二次函数与一元二次方程的对应关系，可知方程$x^2 + 2x - 3 = 0$有两个不相等的实数根$x_1=-3,x_2=1$。
(2) 观察抛物线$y = x^2 - 10x + 25$的图象，可看出它与x轴只有1个交点，交点坐标为$(5,0)$，因此交点横坐标是5；x取该值时函数值为0，对应方程$x^2 - 10x + 25 = 0$有两个相等的实数根$x_1=x_2=5$。
(3) 观察抛物线$y = x^2 - 2x + 2$的图象，可看出它全程在x轴上方，与x轴没有公共点，因此对应方程$x^2 - 2x + 2 = 0$没有实数根。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{-3}$；$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{0}$；两个不相等；$\boldsymbol{x_1=-3,\,x_2=1}$
(2) $\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{0}$；两个相等；$\boldsymbol{x_1=x_2=5}$
(3) $\boldsymbol{没有}$；$\boldsymbol{没有}$
【知识点】
1. 二次函数的图象
2. 二次函数与一元二次方程的联系
3. 一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题，通过图象直观呈现了二次函数与对应一元二次方程的内在关联，帮助学生建立数形结合的思想，熟练掌握根据抛物线与x轴交点情况判断方程根的情况的方法，是二次函数部分的核心基础考点。
【难度系数】
0.9
2. (★)二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$y=0$时，得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，所以如果抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴有公共点，那么公共点的就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根；如果抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴没有公共点，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$实数根. 反之亦然.
答案
解：
横坐标；没有
横坐标；没有
解析
【分析】
解题时先明确两个核心基础思路：首先回忆x轴上点的坐标特征，所有x轴上的点纵坐标都为0；其次理清二次函数与对应一元二次方程的关联，当二次函数的函数值y取0时，解析式就转化为对应的一元二次方程。第一步推导：抛物线与x轴的公共点纵坐标为0，代入解析式得到的方程的根是x的取值，对应公共点的横坐标；第二步推导：若抛物线和x轴无公共点，说明不存在x能让y=0，即对应方程没有实数根。
【解析】
解：
∵x轴上任意点的纵坐标恒为0，
∴抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴的公共点的纵坐标都是0，将$y=0$代入二次函数解析式，即可得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，因此公共点的横坐标就是该一元二次方程的实数根。
如果抛物线与x轴没有公共点，说明不存在x的取值能让函数值$y=0$，因此对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根。
【答案】
横坐标；没有
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于概念类基础题，考查二次函数与一元二次方程的对应关系，熟练掌握二者的关联即可快速作答，该知识点是后续学习二次函数实际应用的核心基础。
【难度系数】
0.9
解题时先明确两个核心基础思路：首先回忆x轴上点的坐标特征，所有x轴上的点纵坐标都为0；其次理清二次函数与对应一元二次方程的关联，当二次函数的函数值y取0时，解析式就转化为对应的一元二次方程。第一步推导：抛物线与x轴的公共点纵坐标为0，代入解析式得到的方程的根是x的取值，对应公共点的横坐标；第二步推导：若抛物线和x轴无公共点，说明不存在x能让y=0，即对应方程没有实数根。
【解析】
解：
∵x轴上任意点的纵坐标恒为0，
∴抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴的公共点的纵坐标都是0，将$y=0$代入二次函数解析式，即可得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，因此公共点的横坐标就是该一元二次方程的实数根。
如果抛物线与x轴没有公共点，说明不存在x的取值能让函数值$y=0$，因此对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根。
【答案】
横坐标；没有
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于概念类基础题，考查二次函数与一元二次方程的对应关系，熟练掌握二者的关联即可快速作答，该知识点是后续学习二次函数实际应用的核心基础。
【难度系数】
0.9
3. (★)若二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是 【 】
A.$x_1=-1,x_2=0$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=3$
D.$x_1=2,x_2=3$
A.$x_1=-1,x_2=0$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=3$
D.$x_1=2,x_2=3$
答案
C
解析
【分析】
解题的核心是利用二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标。因此我们只需观察图象，找到抛物线与$x$轴交点的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：当二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时，对应的$x$的值就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，即抛物线与$x$轴交点的横坐标为方程的解。
观察图象可得，抛物线与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=1$，$x_2=3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数与一元二次方程对应关系的理解，只要掌握二者的联系，结合图象即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标。因此我们只需观察图象，找到抛物线与$x$轴交点的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：当二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时，对应的$x$的值就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，即抛物线与$x$轴交点的横坐标为方程的解。
观察图象可得，抛物线与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=1$，$x_2=3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数与一元二次方程对应关系的理解，只要掌握二者的联系，结合图象即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
4. (★) 抛物线 $ y = 2x^2 + x - 3 $ 与x轴的交点个数为.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
判断抛物线与x轴的交点个数，可转化为判断当y=0时对应的一元二次方程的实数根的个数。二者的对应关系为：当判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有2个交点；Δ=0时，方程有两个相等的实数根，对应抛物线与x轴有1个交点；Δ＜0时，方程没有实数根，对应抛物线与x轴没有交点。因此只需令y=0得到对应一元二次方程，计算判别式的符号即可得出结论。
【解析】
令抛物线解析式中$y=0$，可得一元二次方程：
$2x^2 + x - 3 = 0$
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$，代入判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$计算得：
$\Delta = 1^2 - 4 × 2 × (-3) = 1 + 24 = 25 ＞ 0$
说明该方程有两个不相等的实数根，因此抛物线$y=2x^2 + x - 3$与x轴的交点个数为2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与x轴交点个数的判断方法，解题的关键是明确抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程判别式符号的对应关系，熟练掌握判别式的计算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
判断抛物线与x轴的交点个数，可转化为判断当y=0时对应的一元二次方程的实数根的个数。二者的对应关系为：当判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有2个交点；Δ=0时，方程有两个相等的实数根，对应抛物线与x轴有1个交点；Δ＜0时，方程没有实数根，对应抛物线与x轴没有交点。因此只需令y=0得到对应一元二次方程，计算判别式的符号即可得出结论。
【解析】
令抛物线解析式中$y=0$，可得一元二次方程：
$2x^2 + x - 3 = 0$
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$，代入判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$计算得：
$\Delta = 1^2 - 4 × 2 × (-3) = 1 + 24 = 25 ＞ 0$
说明该方程有两个不相等的实数根，因此抛物线$y=2x^2 + x - 3$与x轴的交点个数为2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与x轴交点个数的判断方法，解题的关键是明确抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程判别式符号的对应关系，熟练掌握判别式的计算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. (★)若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1=-3,x_2=1$,则二次函数$y=ax^2+bx+c$图象的对称轴是 【 】
A.$x=1$
B.$y$轴
C.$x=-1$
D.$x=-2$
A.$x=1$
B.$y$轴
C.$x=-1$
D.$x=-2$
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确一元二次方程的根与对应二次函数图象的关系：一元二次方程的两个根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。其次，二次函数的图象是抛物线，属于轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴是过两个交点中点且垂直于x轴的直线，对称轴对应的x值等于两个交点横坐标的平均数，代入已知根计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1=-3$，$x_2=1$，
∴ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的两个交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$。
∵ 抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，
∴ 图象的对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-3+1}{2}=-1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的对称性，对称轴计算
【点评】
本题是基础题，考察二次函数和对应一元二次方程的关联，结合抛物线的对称性求解对称轴，熟练掌握二次函数图象的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确一元二次方程的根与对应二次函数图象的关系：一元二次方程的两个根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。其次，二次函数的图象是抛物线，属于轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴是过两个交点中点且垂直于x轴的直线，对称轴对应的x值等于两个交点横坐标的平均数，代入已知根计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1=-3$，$x_2=1$，
∴ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的两个交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$。
∵ 抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，
∴ 图象的对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-3+1}{2}=-1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的对称性，对称轴计算
【点评】
本题是基础题，考察二次函数和对应一元二次方程的关联，结合抛物线的对称性求解对称轴，熟练掌握二次函数图象的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
