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6. (★)若二次函数$y=3x^2+bx+c$的部分图象如图所示，关于$x$的一元二次方程$3x^2+bx+c=0$的一个解$x_1=3$，则另一个解$x_2=$.
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心联系：1. 一元二次方程$3x^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=3x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标；2. 二次函数的图像是轴对称图形，与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个交点的横坐标的平均数等于对称轴的横坐标。首先从图像中读出抛物线的对称轴是直线$x=1$，已知一个解$x_1=3$，利用对称性质就能求出另一个解。
【解析】
由二次函数的图像可得，该抛物线的对称轴为直线$x=1$。
因为一元二次方程$3x^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=3x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以两个交点到对称轴的距离相等。
已知其中一个解$x_1=3$，它到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，因此另一个交点在对称轴左侧，到对称轴的距离也为2，所以另一个解$x_2=1-2=-1$。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数基础题，解题的关键是结合图像获取对称轴信息，利用二次函数的对称性快速求解方程的根，不需要代入解析式计算，掌握二次函数和对应一元二次方程的联系就能轻松解题。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先明确两个核心联系：1. 一元二次方程$3x^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=3x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标；2. 二次函数的图像是轴对称图形，与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个交点的横坐标的平均数等于对称轴的横坐标。首先从图像中读出抛物线的对称轴是直线$x=1$，已知一个解$x_1=3$，利用对称性质就能求出另一个解。
【解析】
由二次函数的图像可得，该抛物线的对称轴为直线$x=1$。
因为一元二次方程$3x^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=3x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以两个交点到对称轴的距离相等。
已知其中一个解$x_1=3$，它到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，因此另一个交点在对称轴左侧，到对称轴的距离也为2，所以另一个解$x_2=1-2=-1$。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数基础题，解题的关键是结合图像获取对称轴信息，利用二次函数的对称性快速求解方程的根，不需要代入解析式计算，掌握二次函数和对应一元二次方程的联系就能轻松解题。
【难度系数】
0.85
7. (★★)如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=3$相交于点$A(0,3)$和点$B$,对称轴为$x=2$,那么关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的解为.
答案
解：
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的解，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时的自变量$x$的值，
已知图象与直线$y=3$交于$A(0,3)$，因此$x=0$是方程的一个解。
又∵ 二次函数图象的对称轴为$x=2$，点$A$、$B$都在直线$y=3$上，两点关于对称轴$x=2$对称，
设点$B$的横坐标为$x_B$，可得$\frac{0+x_B}{2}=2$，
解得$x_B=4$，即点$B$坐标为$(4,3)$，因此$x=4$是方程的另一个解。
∴ 方程$ax^2+bx+c=3$的解为$x_1=0$，$x_2=4$。
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的解，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时的自变量$x$的值，
已知图象与直线$y=3$交于$A(0,3)$，因此$x=0$是方程的一个解。
又∵ 二次函数图象的对称轴为$x=2$，点$A$、$B$都在直线$y=3$上，两点关于对称轴$x=2$对称，
设点$B$的横坐标为$x_B$，可得$\frac{0+x_B}{2}=2$，
解得$x_B=4$，即点$B$坐标为$(4,3)$，因此$x=4$是方程的另一个解。
∴ 方程$ax^2+bx+c=3$的解为$x_1=0$，$x_2=4$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先建立方程与二次函数图象的对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时对应的自变量$x$的取值，也就是二次函数图象与直线$y=3$交点的横坐标。我们已知其中一个交点$A$的坐标为$(0,3)$，可直接得到一个解；再结合二次函数的对称性，直线$y=3$与抛物线的两个交点关于抛物线的对称轴对称，已知对称轴为$x=2$，就能求出另一个交点的横坐标，即方程的另一个解。
【解析】
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的解，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时的自变量$x$的值，即二次函数图象与直线$y=3$交点的横坐标。
已知二次函数图象与直线$y=3$交于$A(0,3)$，因此$x=0$是方程的一个解。
又
∵ 二次函数图象的对称轴为$x=2$，点$A$、$B$都在直线$y=3$上，两点关于对称轴$x=2$对称，
设点$B$的横坐标为$x_B$，可得$\frac{0+x_B}{2}=2$，
解得$x_B=4$，即点$B$坐标为$(4,3)$，因此$x=4$是方程的另一个解。
∴ 方程$ax^2+bx+c=3$的解为$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将方程解的问题转化为函数图象交点的问题，结合二次函数的对称性即可快速求解，无需繁琐的解方程步骤，要熟练掌握函数与方程的转化方法。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以先建立方程与二次函数图象的对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时对应的自变量$x$的取值，也就是二次函数图象与直线$y=3$交点的横坐标。我们已知其中一个交点$A$的坐标为$(0,3)$，可直接得到一个解；再结合二次函数的对称性，直线$y=3$与抛物线的两个交点关于抛物线的对称轴对称，已知对称轴为$x=2$，就能求出另一个交点的横坐标，即方程的另一个解。
【解析】
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=3$的解，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时的自变量$x$的值，即二次函数图象与直线$y=3$交点的横坐标。
已知二次函数图象与直线$y=3$交于$A(0,3)$，因此$x=0$是方程的一个解。
又
∵ 二次函数图象的对称轴为$x=2$，点$A$、$B$都在直线$y=3$上，两点关于对称轴$x=2$对称，
设点$B$的横坐标为$x_B$，可得$\frac{0+x_B}{2}=2$，
解得$x_B=4$，即点$B$坐标为$(4,3)$，因此$x=4$是方程的另一个解。
∴ 方程$ax^2+bx+c=3$的解为$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将方程解的问题转化为函数图象交点的问题，结合二次函数的对称性即可快速求解，无需繁琐的解方程步骤，要熟练掌握函数与方程的转化方法。
【难度系数】
0.7
8. (★)二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为
【 】
A.$x＜1$或$x＞3$
B.$1＜x＜3$
C.$x=1$或$x=3$
D.$x＞1$或$x＜3$
【 】
A.$x＜1$或$x＞3$
B.$1＜x＜3$
C.$x=1$或$x=3$
D.$x＞1$或$x＜3$
答案
B
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＞0$，首先明确它的几何意义：即二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象位于x轴上方时，对应的自变量x的取值范围。解题时先观察图象找到二次函数与x轴的交点坐标，再判断x轴上方的图象对应的x区间即可。
【解析】
不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象在x轴上方部分的x的取值范围。
由图象可知，该二次函数与x轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$，且抛物线开口向下，因此图象在x轴上方时对应的x的范围是$1＜x＜3$，即不等式的解集为$1＜x＜3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与不等式
2. 二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的基础题型，核心是利用数形结合思想，将不等式求解转化为判断函数图象与x轴的位置关系，结合图象交点即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要解不等式$ax^2+bx+c＞0$，首先明确它的几何意义：即二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象位于x轴上方时，对应的自变量x的取值范围。解题时先观察图象找到二次函数与x轴的交点坐标，再判断x轴上方的图象对应的x区间即可。
【解析】
不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象在x轴上方部分的x的取值范围。
由图象可知，该二次函数与x轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$，且抛物线开口向下，因此图象在x轴上方时对应的x的范围是$1＜x＜3$，即不等式的解集为$1＜x＜3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与不等式
2. 二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的基础题型，核心是利用数形结合思想，将不等式求解转化为判断函数图象与x轴的位置关系，结合图象交点即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
9. (★★)如图,直线$y=mx+n$与抛物线$y=ax^2+bx+c$交于$A(-1,p),B(4,q)$两点,则关于$x$的不等式$mx+n＜ax^2+bx+c$的解集是 .
答案
解：
不等式$mx+n ＜ ax^2+bx+c$的几何意义是直线$y=mx+n$的函数值小于抛物线$y=ax^2+bx+c$的函数值，对应图象上抛物线位于直线上方部分的横坐标取值范围。
已知两函数图象交于$A(-1,p)$、$B(4,q)$，结合图象可得，当$-1＜x＜4$时，抛物线在直线上方，满足$mx+n ＜ ax^2+bx+c$。
故不等式的解集是$\boldsymbol{-1＜x＜4}$。
不等式$mx+n ＜ ax^2+bx+c$的几何意义是直线$y=mx+n$的函数值小于抛物线$y=ax^2+bx+c$的函数值，对应图象上抛物线位于直线上方部分的横坐标取值范围。
已知两函数图象交于$A(-1,p)$、$B(4,q)$，结合图象可得，当$-1＜x＜4$时，抛物线在直线上方，满足$mx+n ＜ ax^2+bx+c$。
故不等式的解集是$\boldsymbol{-1＜x＜4}$。
解析
【分析】
解决这道题可采用数形结合的思路：不等式$mx+n＜ax^2+bx+c$的本质是一次函数的函数值小于二次函数的函数值，对应到图像上就是直线处于抛物线下方的区域，该区域对应的横坐标取值范围就是不等式的解集。两个函数的交点横坐标是解集的分界点，我们只需结合图像判断分界点之间还是分界点外侧的区域符合位置要求即可。
【解析】
不等式$mx+n ＜ ax^2+bx+c$的几何意义是直线$y=mx+n$的函数值小于抛物线$y=ax^2+bx+c$的函数值，对应图象上抛物线位于直线上方部分的横坐标取值范围。
已知两函数图象交于$A(-1,p)$、$B(4,q)$两点，结合图象可得，当$-1＜x＜4$时，抛物线在直线上方，满足$mx+n ＜ ax^2+bx+c$。
【答案】
$\boldsymbol{-1＜x＜4}$
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，函数与不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在函数不等式求解中的应用，无需复杂代数计算，只要明确不等式对应的函数图象上下位置关系，结合交点坐标就能快速得到解集，熟练掌握图像法解不等式的思路可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解决这道题可采用数形结合的思路：不等式$mx+n＜ax^2+bx+c$的本质是一次函数的函数值小于二次函数的函数值，对应到图像上就是直线处于抛物线下方的区域，该区域对应的横坐标取值范围就是不等式的解集。两个函数的交点横坐标是解集的分界点，我们只需结合图像判断分界点之间还是分界点外侧的区域符合位置要求即可。
【解析】
不等式$mx+n ＜ ax^2+bx+c$的几何意义是直线$y=mx+n$的函数值小于抛物线$y=ax^2+bx+c$的函数值，对应图象上抛物线位于直线上方部分的横坐标取值范围。
已知两函数图象交于$A(-1,p)$、$B(4,q)$两点，结合图象可得，当$-1＜x＜4$时，抛物线在直线上方，满足$mx+n ＜ ax^2+bx+c$。
【答案】
$\boldsymbol{-1＜x＜4}$
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，函数与不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在函数不等式求解中的应用，无需复杂代数计算，只要明确不等式对应的函数图象上下位置关系，结合交点坐标就能快速得到解集，熟练掌握图像法解不等式的思路可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10. (★★)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度$h$(单位:$\mathrm{m}$)与小球的运动时间$t$(单位:$\mathrm{s}$)之间的关系式是$h=6t-t^2$.有下列结论:①小球从抛出到落地需要$6\ \mathrm{s}$;②小球运动中的高度可以是$3\ \mathrm{m}$;③小球落地的水平距离是$6\ \mathrm{m}$;④当小球运动的时间是$3\ \mathrm{s}$时,小球运动的最大高度是$9\ \mathrm{m}$.其中正确结论的个数为
【 】
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
【 】
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
C
解析
【分析】
这是二次函数在竖直上抛运动中的应用问题，我们结合函数实际意义逐个判断4个结论的正确性即可：1. 判断落地时间只需令高度h=0，解出正的时间值；2. 判断高度能否取3m，只需令h=3，看对应的一元二次方程是否有正实根；3. 该运动为竖直上抛，水平方向无位移，可直接判断对应结论正误；4. 求最大高度就是求开口向下的二次函数的顶点纵坐标，用顶点公式计算即可。
【解析】
先将高度关系式整理为标准二次函数形式：$h = -t^2 + 6t$（$t≥0$）。
① 小球落地时高度$h=0$，令$h=0$，得：
$-t^2 + 6t = 0$
因式分解得$t(6 - t) = 0$
解得$t_1=0$（为小球抛出的初始时刻，舍去），$t_2=6\ \mathrm{s}$，即小球从抛出到落地需要6s，①正确。
② 令$h=3\ \mathrm{m}$，得方程：
$-t^2 + 6t = 3$
整理为$t^2 - 6t + 3 = 0$
判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×3 = 24 ＞ 0$，方程有正实根，说明小球运动中的高度可以是3m，②正确。
③ 小球为竖直向上抛出，水平方向没有运动，落地时水平距离为0，③错误。
④ 二次函数$h=-t^2+6t$中$a=-1＜0$，图象开口向下，顶点处取得最大值，顶点对应的时间为：
$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2×(-1)} = 3\ \mathrm{s}$
代入函数得最大高度$h = -3^2 + 6×3 = 9\ \mathrm{m}$，④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；一元二次方程的求解
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的相关性质，解题时要注意结合实际含义理解变量的意义，避免忽略运动类型错判水平距离相关结论，熟练掌握二次函数顶点求法和一元二次方程的解法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在竖直上抛运动中的应用问题，我们结合函数实际意义逐个判断4个结论的正确性即可：1. 判断落地时间只需令高度h=0，解出正的时间值；2. 判断高度能否取3m，只需令h=3，看对应的一元二次方程是否有正实根；3. 该运动为竖直上抛，水平方向无位移，可直接判断对应结论正误；4. 求最大高度就是求开口向下的二次函数的顶点纵坐标，用顶点公式计算即可。
【解析】
先将高度关系式整理为标准二次函数形式：$h = -t^2 + 6t$（$t≥0$）。
① 小球落地时高度$h=0$，令$h=0$，得：
$-t^2 + 6t = 0$
因式分解得$t(6 - t) = 0$
解得$t_1=0$（为小球抛出的初始时刻，舍去），$t_2=6\ \mathrm{s}$，即小球从抛出到落地需要6s，①正确。
② 令$h=3\ \mathrm{m}$，得方程：
$-t^2 + 6t = 3$
整理为$t^2 - 6t + 3 = 0$
判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×3 = 24 ＞ 0$，方程有正实根，说明小球运动中的高度可以是3m，②正确。
③ 小球为竖直向上抛出，水平方向没有运动，落地时水平距离为0，③错误。
④ 二次函数$h=-t^2+6t$中$a=-1＜0$，图象开口向下，顶点处取得最大值，顶点对应的时间为：
$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2×(-1)} = 3\ \mathrm{s}$
代入函数得最大高度$h = -3^2 + 6×3 = 9\ \mathrm{m}$，④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；一元二次方程的求解
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的相关性质，解题时要注意结合实际含义理解变量的意义，避免忽略运动类型错判水平距离相关结论，熟练掌握二次函数顶点求法和一元二次方程的解法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11. (★★)已知关于$x$的二次函数$y=kx^2 -7x -7$的图象与$x$轴有交点，则$k$的取值范围是【】
A.$k＞-\dfrac{7}{4}$
B.$k≥ -\dfrac{7}{4}$且$k≠0$
C.$k≥ -\dfrac{7}{4}$
D.$k＞-\dfrac{7}{4}$且$k≠0$
A.$k＞-\dfrac{7}{4}$
B.$k≥ -\dfrac{7}{4}$且$k≠0$
C.$k≥ -\dfrac{7}{4}$
D.$k＞-\dfrac{7}{4}$且$k≠0$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先抓住题目给出的“二次函数”这一前提，首先要满足二次函数的定义：二次项系数不为0，即$k≠0$；其次二次函数图象与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，即判别式$\Delta ≥ 0$，联立两个条件就能求出k的取值范围，注意不要遗漏$k≠0$的限制条件。
【解析】
解：
∵ 函数$y=kx^2 -7x -7$是关于x的二次函数
∴ 二次项系数$k≠0$
又
∵ 二次函数图象与x轴有交点
∴ 对应的一元二次方程$kx^2 -7x -7=0$有实数根，即判别式$\Delta ≥ 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta = b^2-4ac$
本题中$a=k$，$b=-7$，$c=-7$，代入得：
$\Delta = (-7)^2 - 4× k× (-7) ≥ 0$
即$49 + 28k ≥ 0$
移项得：$28k ≥ -49$
两边同时除以28化简得：$k ≥ -\frac{7}{4}$
结合二次函数的条件$k≠0$，最终k的取值范围是$k≥ -\frac{7}{4}$且$k≠0$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义，判别式的应用
【点评】
本题的易错点是忽略题目中“二次函数”的限定，遗漏$k≠0$的条件误选C，解题时要先明确函数类型对应的系数限制，再结合图象交点的条件列式求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题目给出的“二次函数”这一前提，首先要满足二次函数的定义：二次项系数不为0，即$k≠0$；其次二次函数图象与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实数根，即判别式$\Delta ≥ 0$，联立两个条件就能求出k的取值范围，注意不要遗漏$k≠0$的限制条件。
【解析】
解：
∵ 函数$y=kx^2 -7x -7$是关于x的二次函数
∴ 二次项系数$k≠0$
又
∵ 二次函数图象与x轴有交点
∴ 对应的一元二次方程$kx^2 -7x -7=0$有实数根，即判别式$\Delta ≥ 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta = b^2-4ac$
本题中$a=k$，$b=-7$，$c=-7$，代入得：
$\Delta = (-7)^2 - 4× k× (-7) ≥ 0$
即$49 + 28k ≥ 0$
移项得：$28k ≥ -49$
两边同时除以28化简得：$k ≥ -\frac{7}{4}$
结合二次函数的条件$k≠0$，最终k的取值范围是$k≥ -\frac{7}{4}$且$k≠0$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义，判别式的应用
【点评】
本题的易错点是忽略题目中“二次函数”的限定，遗漏$k≠0$的条件误选C，解题时要先明确函数类型对应的系数限制，再结合图象交点的条件列式求解。
【难度系数】
0.7
12. (★★)已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的顶点为$(1,5)$，那么关于$x$的一元二次方程$-x^2+bx+c-4=0$的根的情况是 【 】
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
解题可以从两种思路入手：思路1：先利用二次函数的顶点坐标求出函数解析式，再代入对应的一元二次方程，计算根的判别式，根据判别式符号判断根的情况；思路2：利用二次函数与一元二次方程的关系，方程$-x^2+bx+c-4=0$的根等价于二次函数$y=-x^2+bx+c$的函数值等于4时对应的x值，结合二次函数的最值即可快速判断。已知二次函数开口向下，顶点纵坐标是函数最大值5，5＞4说明函数能取到4，对应两个x值，即可得出结论。
【解析】
方法一：求解析式计算判别式
已知二次函数$y=-x^2+bx+c$顶点为$(1,5)$，二次项系数$a=-1$，因此函数顶点式为：
$y=-(x-1)^2+5$
展开得$y=-x^2+2x+4$，即$b=2$，$c=4$。
代入方程$-x^2+bx+c-4=0$得：
$-x^2+2x+4-4=0$
整理为一般式：$x^2-2x=0$
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×1×0=4＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
方法二：利用函数与方程的关系
方程$-x^2+bx+c-4=0$可变形为$-x^2+bx+c=4$，它的根就是二次函数$y=-x^2+bx+c$与直线$y=4$交点的横坐标。
已知二次函数开口向下，顶点纵坐标为5，即函数最大值为5，$4＜5$，因此抛物线与直线$y=4$有2个不同交点，对应方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过常规计算判别式的方法求解，也可以利用二次函数性质快速得出结论，解题时可灵活选择简便方法，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题可以从两种思路入手：思路1：先利用二次函数的顶点坐标求出函数解析式，再代入对应的一元二次方程，计算根的判别式，根据判别式符号判断根的情况；思路2：利用二次函数与一元二次方程的关系，方程$-x^2+bx+c-4=0$的根等价于二次函数$y=-x^2+bx+c$的函数值等于4时对应的x值，结合二次函数的最值即可快速判断。已知二次函数开口向下，顶点纵坐标是函数最大值5，5＞4说明函数能取到4，对应两个x值，即可得出结论。
【解析】
方法一：求解析式计算判别式
已知二次函数$y=-x^2+bx+c$顶点为$(1,5)$，二次项系数$a=-1$，因此函数顶点式为：
$y=-(x-1)^2+5$
展开得$y=-x^2+2x+4$，即$b=2$，$c=4$。
代入方程$-x^2+bx+c-4=0$得：
$-x^2+2x+4-4=0$
整理为一般式：$x^2-2x=0$
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×1×0=4＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
方法二：利用函数与方程的关系
方程$-x^2+bx+c-4=0$可变形为$-x^2+bx+c=4$，它的根就是二次函数$y=-x^2+bx+c$与直线$y=4$交点的横坐标。
已知二次函数开口向下，顶点纵坐标为5，即函数最大值为5，$4＜5$，因此抛物线与直线$y=4$有2个不同交点，对应方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过常规计算判别式的方法求解，也可以利用二次函数性质快速得出结论，解题时可灵活选择简便方法，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
13. (★★)(1)若抛物线$y=x^2 -4x -5$与x轴交于点$A(x_1,0),B(x_2,0)$，则$x_1x_2=$。
(2)已知二次函数$y=x^2 +bx +c$与x轴交于点$(-2,0)$和$(4,0)$，则二次函数的顶点为。
(2)已知二次函数$y=x^2 +bx +c$与x轴交于点$(-2,0)$和$(4,0)$，则二次函数的顶点为。
答案
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{(1,-9)}$
解析
【分析】
(1) 抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个根，求两根之积可直接利用一元二次方程根与系数的关系快速计算，无需解方程。
(2) 已知二次函数与x轴的两个交点，可先将两点坐标代入解析式求出未知系数b、c，再通过配方或顶点坐标公式求出顶点坐标；也可利用交点的对称性先求对称轴，再代入解析式计算顶点纵坐标。
【解析】
(1) 抛物线$y=x^2-4x-5$与x轴交点的横坐标$x_1、x_2$是方程$x^2-4x-5=0$的两个实数根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1，c=-5$，因此$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$。
(2) 将点$(-2,0)$和$(4,0)$代入二次函数$y=x^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}(-2)^2 -2b +c=0 \\4^2 +4b +c=0\end{cases}$
化简为：
$\begin{cases}4-2b+c=0 ① \\16+4b+c=0 ②\end{cases}$
用②式减去①式得：$12+6b=0$，解得$b=-2$。
将$b=-2$代入①式得：$4+4+c=0$，解得$c=-8$。
因此二次函数解析式为$y=x^2-2x-8$，配方得：
$y=x^2-2x-8=(x-1)^2-9$
所以二次函数的顶点坐标为$(1,-9)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{(1,-9)}$
【知识点】
根与系数的关系，二次函数与x轴交点，二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考察二次函数与一元二次方程的关联应用，熟练掌握根与系数关系、二次函数性质及顶点坐标求法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个根，求两根之积可直接利用一元二次方程根与系数的关系快速计算，无需解方程。
(2) 已知二次函数与x轴的两个交点，可先将两点坐标代入解析式求出未知系数b、c，再通过配方或顶点坐标公式求出顶点坐标；也可利用交点的对称性先求对称轴，再代入解析式计算顶点纵坐标。
【解析】
(1) 抛物线$y=x^2-4x-5$与x轴交点的横坐标$x_1、x_2$是方程$x^2-4x-5=0$的两个实数根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1，c=-5$，因此$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$。
(2) 将点$(-2,0)$和$(4,0)$代入二次函数$y=x^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}(-2)^2 -2b +c=0 \\4^2 +4b +c=0\end{cases}$
化简为：
$\begin{cases}4-2b+c=0 ① \\16+4b+c=0 ②\end{cases}$
用②式减去①式得：$12+6b=0$，解得$b=-2$。
将$b=-2$代入①式得：$4+4+c=0$，解得$c=-8$。
因此二次函数解析式为$y=x^2-2x-8$，配方得：
$y=x^2-2x-8=(x-1)^2-9$
所以二次函数的顶点坐标为$(1,-9)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{(1,-9)}$
【知识点】
根与系数的关系，二次函数与x轴交点，二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考察二次函数与一元二次方程的关联应用，熟练掌握根与系数关系、二次函数性质及顶点坐标求法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
