1.蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人.某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖(第一代)有11只，那么下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第15代的只数是 ()

A.$11^{12}$
B.$11^{13}$
C.$11^{14}$
D.$11^{15}$

1.D

【分析】
这是一道数字规律探究类题目，我们可以先列举出前几代蟑螂的只数，将其写成乘方的形式，再归纳出第n代蟑螂只数的通用表达式，最后将n=15代入表达式即可得到结果。
【解析】
根据题意可知：
第1代蟑螂的只数为11 = $11^1$；
第2代蟑螂的只数为第1代的11倍，即$11×11 = 11^2$；
第3代蟑螂的只数为第2代的11倍，即$11^2×11 = 11^3$；
……
由此可归纳规律：第n代蟑螂的只数为$11^n$。
当n=15时，第15代蟑螂的只数为$11^{15}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究
【点评】
本题考查乘方在实际问题中的应用，解题的核心是通过已知的前几代数量总结出通用规律，主要考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.8

2. 将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在（）


A.A位置
B.B位置
C.C位置
D.D位置

2.D

【分析】
要判断2025的位置，首先观察数字的排列规律：可以发现每4个正整数为一个循环周期，不同位置的数除以4的余数有固定特征，我们只需要计算2025除以4的余数，对照余数对应的位置即可得出答案。
【解析】
观察排列规律可知，数字以4个为一组循环，对应位置的余数特征为：
1. 除以4余数为1的数在D位置；
2. 除以4余数为2的数在A位置；
3. 除以4余数为3的数在B位置；
4. 除以4余数为0（即能被4整除）的数在C位置。
计算2025除以4的结果：
$2025÷4=506······1$，余数为1，符合D位置的数的特征，因此2025在D位置。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，带余除法的应用
【点评】
本题是数字规律类的典型题型，解题的核心是通过观察找到数字排列的周期规律，再结合除法运算的余数定位位置，熟练掌握找规律的方法和有余数的除法计算是解题的关键。
【难度系数】
0.7

3. 小王利用计算机设计了一个计算程序，请根据数据完成下表：
输入 … 1 2 3 4 5 … n
输出 … $\frac{1}{2}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{4}{17}$ …

3.$\frac{5}{26}$ $\frac{n}{n^2+1}$

【分析】
要解决这道规律探究题，我们可以拆分输出的分数，分别观察分子、分母和输入值的对应关系：首先看分子，输入的数是几，对应输出的分子就是几；再看分母，对比输入值和对应分母，可发现分母等于输入值的平方加1，按照这个规律就能求出输入5时的输出值，以及输入为n时的通用表达式。
【解析】
1. 找分子的规律：
输入1时分子为1，输入2时分子为2，输入3时分子为3，输入4时分子为4，可得：输出的分子和输入的数值相等，即输入为n时，分子是n。
2. 找分母的规律：
输入1时，分母$2=1^2+1$；
输入2时，分母$5=2^2+1$；
输入3时，分母$10=3^2+1$；
输入4时，分母$17=4^2+1$；
可得：输出的分母等于输入数值的平方加1，即输入为n时，分母是$n^2+1$。
3. 计算对应结果：
当输入为5时，输出为$\frac{5}{5^2+1}=\frac{5}{26}$；
当输入为n时，输出为$\frac{n}{n^2+1}$。
【答案】
$\frac{5}{26}$；$\frac{n}{n^2+1}$
【知识点】
数字规律探究；列代数式
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，解题核心是将分数拆分为分子、分母两部分，分别寻找两部分和输入值的对应关系，再整合得到通用规律，解题时细心计算平方值即可避免出错。
【难度系数】
0.8

4. 如图,下列是由同种型号的黑、白两种颜色的等边三角形瓷砖按一定规律铺设的图形.仔细观察图形可知:
图1有1块黑色的瓷砖,可表示为$1=\frac{(1+1)×1}{2}$;图2有3块黑色的瓷砖,可表示为$1+2=\frac{(1+2)×2}{2}$.

实践与探索:
(1)请在图3的虚线框内画出第3个图形.
(2)第4个图形有块黑色的瓷砖.
(3)第n个图形有块黑色的瓷砖(用含有n的代数式表示).

4.解:(1)图略. (2)10 (3)$\frac{1}{2}n(n+1)$

【分析】
本题属于图形规律探究类问题，解题思路如下：
①先观察已知图形的黑色瓷砖数量规律：图1有1块黑色瓷砖，对应1的和；图2有3块黑色瓷砖，对应1+2的和，可推导出第k个图形的黑色瓷砖数为从1到k的连续正整数之和。
②第(1)问画第3个图形，延续前两个图形的排布规律，黑色瓷砖总数为1+2+3=6块，在更大的等边三角形中按黑白间隔的规律绘制即可。
③第(2)问求第4个图形的黑色瓷砖数，直接计算1+2+3+4的和即可得到结果。
④第(3)问求第n个图形的黑色瓷砖数，只需计算从1到n的连续正整数之和，用“（首项+末项）×项数÷2”的求和方法推导即可。
【解析】
(1) 第3个图形为边长等于4个小等边三角形长度的大等边三角形，黑色瓷砖共6块，排布规律为从上到下每层黑色瓷砖数依次为1、2、3块，按前两图的黑白间隔规律画出即可（图略）。
(2) 第1个图形黑色瓷砖数：$1$
第2个图形黑色瓷砖数：$1+2=3$
第3个图形黑色瓷砖数：$1+2+3=6$
第4个图形黑色瓷砖数：$1+2+3+4=10$
(3) 第n个图形的黑色瓷砖数是从1到n的连续正整数的和，根据求和公式：
$1+2+3+\dots+n=\frac{(1+n)× n}{2}=\frac{1}{2}n(n+1)$
【答案】
(1) 图略；(2) $10$；(3) $\frac{1}{2}n(n+1)$
【知识点】
图形规律探究，整数求和，列代数式
【点评】
本题是规律探究类典型题型，核心考查从特殊案例归纳一般规律的能力，解题的关键是准确找到黑色瓷砖数量随图形序号变化的规律，再结合整数求和方法推导通用表达式，掌握从特殊到一般的归纳思维可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7

5.(教材P102习题T1变式)观察：
$2^1 - 1 = 1, 2^2 - 1 = 3, 2^3 - 1 = 7, 2^4 - 1 = 15,$
$2^5 - 1 = 31, 2^6 - 1 = 63, 2^7 - 1 = 127, 2^8 - 1 = 255,$
……
(1)归纳计算结果中的个位数字的规律.
(2)写出其中个位数字分别为1,3,7,5的算式各两个.
(3)指出$2^{100} - 1$的个位数字.

5.解:(1)个位数字的规律为 1,3,7,5 四个数字循环.
(2)$2^9 - 1 = 511,2^{10} - 1 = 1\ 023,2^{11} - 1 = 2\ 047,2^{12} - 1 = 4\ 095,2^{13} - 1 = 8\ 191,2^{14} - 1 = 16\ 383,2^{15} - 1 = 32\ 767,2^{16} - 1 = 65\ 535.$(答案不唯一) (3)$\because 100÷4=25,\therefore 2^{100}-1$的个位数字与$2^4-1$的个位数字相同,为 5.

【分析】
解决本题首先从已知的计算结果入手，先提取每个算式结果的个位数字，观察其变化特征：(1)将所有个位数字按顺序排列，可发现每4个数字为一组重复出现，即可归纳出循环规律；(2)根据总结的循环规律，明确指数除以4的余数与个位数字的对应关系，选取符合要求的指数写出算式即可；(3)计算100除以4的余数，根据余数对应循环中的位置，即可确定$2^{100}-1$的个位数字。
【解析】
(1) 观察已知算式的结果个位：$2^1-1$个位为1，$2^2-1$个位为3，$2^3-1$个位为7，$2^4-1$个位为5，$2^5-1$个位为1，$2^6-1$个位为3……，由此可得个位数字按照1、3、7、5四个数字为一个周期循环出现。
(2) 根据循环规律：当指数除以4余1时，结果个位为1；当指数除以4余2时，结果个位为3；当指数除以4余3时，结果个位为7；当指数除以4整除时，结果个位为5，据此可写出符合要求的算式。
(3) 计算$100÷4=25$，没有余数，说明$2^{100}-1$的个位数字与周期中第4个数字对应的个位相同，即和$2^4-1$的个位数字一致，为5。
【答案】
(1)个位数字的规律为 1,3,7,5 四个数字循环。
(2)示例：$2^9 - 1 = 511,2^{10} - 1 = 1023,2^{11} - 1 = 2047,2^{12} - 1 = 4095,2^{13} - 1 = 8191,2^{14} - 1 = 16383,2^{15} - 1 = 32767,2^{16} - 1 = 65535$（答案不唯一）
(3)$2^{100}-1$的个位数字为5。
【知识点】
乘方规律探究，周期循环规律
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，核心是通过观察已知样本归纳出数字的循环特征，再利用周期规律解决对应的问题，能有效锻炼学生的观察归纳能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

6.探索规律是深入认识事物的一种方法,通过观察、归纳、猜想、验证等思维方式,历经从具体到抽象的过程来揭示一般规律.
问题情景:如图1,把火柴棒搭成正方形.
(1)问题提出:①按图1的方式,搭4个正方形需要根火柴棒.
②其学生是按照图2思考的,根据他思考的方法求出搭x个正方形所需火柴棒根数的代数式.
(2)问题解决:你还有其他的思考方法并得到正方形的个数x与火柴棒的根数之间的关系吗?说明思考方法,画出对应图形,并求出代数式.
(3)问题运用:改变火柴棒的摆放方法搭成别的图形,画出图形,求出图形个数a与火柴棒根数之间关系的代数式.

6.解:(1)①13 ②搭1个正方形需要4根,搭2个正方形需要火柴棒4+3=7(根),搭3个正方形需要火柴棒4+3×2=10(根),搭4个正方形需要火柴棒4+3×3=13(根),……
∴搭x个正方形所需火柴棒的根数为4+3(x-1)=(3x+1)根.
(2)如图， 搭1个正方形需要火柴棒(4×1-0)根,搭2个正方形需要火柴棒(4×2-1)根,搭3个正方形需要火柴棒(4×3-2)根……
∴搭x个正方形所需火柴棒的根数为4x-(x-1)=(3x+1)根.
(3)答案不唯一,例如:按如图的方式搭出下列图形， 同理可得,第a个图形所需火柴棒的根数为6+5(a-1)=(5a+1)根.

【分析】
本题是图形规律探究类问题，解题可按以下思路展开：
1. 解第(1)问时，先从简单情况入手，数出搭1、2、3个正方形的火柴棒数量，发现每新增1个正方形火柴棒增加3根，即可算出搭4个正方形的火柴棒数；推导x个正方形的数量时，结合图2的思路：第一个正方形用4根，后续每个正方形与前一个共用1条边，仅需新增3根，即可列代数式。
2. 解第(2)问时，可从“公共边重复计算”的角度思考：先算x个独立正方形的总火柴棒数，再减去重复计算的公共边数，即可得到总根数，同时画出对应示意图即可。
3. 解第(3)问时，可类比正方形的规律探究方法，选择其他拼接的多边形图形（如正六边形），从特殊到一般推导a个图形的火柴棒数量规律即可。
【解析】
(1) ① 观察图形可知：搭1个正方形需要4根火柴棒，搭2个正方形需要$4+3=7$根，搭3个正方形需要$4+3×2=10$根，因此搭4个正方形需要$4+3×3=13$根。
② 按照图2的思路：搭第1个正方形用4根火柴棒，之后每多搭1个正方形，与前一个正方形共用1条边，仅需新增3根火柴棒。那么搭x个正方形时，除第一个正方形外，剩余$(x-1)$个正方形每个新增3根，总火柴棒根数为：
$4+3(x-1)=3x+1$（根）
(2) 思考方法：先计算x个独立正方形需要的火柴棒总数，再减去相邻正方形之间被重复计算的公共边数。
对应图形：
搭1个独立正方形需要$4×1=4$根，无公共边，总根数为$4×1-0=4$；
搭2个正方形时，2个独立正方形原本需要$4×2=8$根，有1条公共边（多计算1次），总根数为$4×2-1=7$；
搭3个正方形时，3个独立正方形原本需要$4×3=12$根，有2条公共边，总根数为$4×3-2=10$；
以此类推，搭x个正方形时有$(x-1)$条公共边，总火柴棒根数为：
$4x-(x-1)=3x+1$（根）
(3) 答案不唯一，示例：搭建连续拼接的正六边形，图形如下：
思考方法：搭1个正六边形需要6根火柴棒，之后每多搭1个正六边形，与前一个共用1条边，仅需新增5根火柴棒。那么搭a个正六边形时，总火柴棒根数为：
$6+5(a-1)=5a+1$（根）
【答案】
(1)①$\boxed{13}$；②搭x个正方形所需火柴棒的根数为$\boxed{3x+1}$根。
(2) 对应图形，搭x个正方形所需火柴棒的根数为$\boxed{3x+1}$根。
(3) 答案不唯一，示例：对应图形，搭a个正六边形所需火柴棒的根数为$\boxed{5a+1}$根。
【知识点】
图形规律探究，列代数式，整式化简
【点评】
本题考查归纳推理的数学思维，通过从特殊图形到一般规律的推导，体会从具体到抽象的研究方法，解题时可从多个角度切入分析，既能加深对规律的理解，也能锻炼发散思维，同类拼接图形的规律均可类比本题方法推导。
【难度系数】
0.7