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9. [2026杭州模拟]已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点.△EAD为等腰三角形,∠AED=90°,则∠EBC=
45°
.答案
9.45°
解析
【分析】
要求∠EBC的度数，可先判断△EBC的形状。首先梳理已知条件：由AC=2AB、D是AC中点，可推出AB=AD=DC；再结合等腰直角△EAD的性质，可得EA=ED，∠EAD=∠EDA=45°。接下来通过角度计算得∠EAB=∠EDC=135°，即可利用SAS证明△EAB≌△EDC，根据全等性质推导出EB=EC且∠BEC=90°，即可判断△BEC为等腰直角三角形，从而求得∠EBC的度数。
【解析】
解：
∵AC=2AB，D是AC的中点，
∴AB=AD=DC。
∵△EAD是等腰直角三角形，∠AED=90°，
∴EA=ED，∠EAD=∠EDA=45°。
∴∠EAB=∠BAC + ∠EAD = 90°+45°=135°，
∠EDC=180°-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC。
在△EAB和△EDC中：
$\{\begin{array}{l}EA=ED \\∠EAB=∠EDC \\AB=DC\end{array} $
∴△EAB≌△EDC（SAS）。
∴EB=EC，∠AEB=∠DEC。
∴∠BEC=∠BED+∠DEC=∠BED+∠AEB=∠AED=90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴∠EBC=45°。
【答案】
45°
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 线段中点的定义
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是结合已知条件挖掘全等三角形的判定条件，通过全等转化边和角的关系，最终判断出目标三角形的形状求解，需要熟练掌握角度计算和全等三角形的证明方法。
【难度系数】
0.6
要求∠EBC的度数，可先判断△EBC的形状。首先梳理已知条件：由AC=2AB、D是AC中点，可推出AB=AD=DC；再结合等腰直角△EAD的性质，可得EA=ED，∠EAD=∠EDA=45°。接下来通过角度计算得∠EAB=∠EDC=135°，即可利用SAS证明△EAB≌△EDC，根据全等性质推导出EB=EC且∠BEC=90°，即可判断△BEC为等腰直角三角形，从而求得∠EBC的度数。
【解析】
解：
∵AC=2AB，D是AC的中点，
∴AB=AD=DC。
∵△EAD是等腰直角三角形，∠AED=90°，
∴EA=ED，∠EAD=∠EDA=45°。
∴∠EAB=∠BAC + ∠EAD = 90°+45°=135°，
∠EDC=180°-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC。
在△EAB和△EDC中：
$\{\begin{array}{l}EA=ED \\∠EAB=∠EDC \\AB=DC\end{array} $
∴△EAB≌△EDC（SAS）。
∴EB=EC，∠AEB=∠DEC。
∴∠BEC=∠BED+∠DEC=∠BED+∠AEB=∠AED=90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴∠EBC=45°。
【答案】
45°
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 线段中点的定义
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是结合已知条件挖掘全等三角形的判定条件，通过全等转化边和角的关系，最终判断出目标三角形的形状求解，需要熟练掌握角度计算和全等三角形的证明方法。
【难度系数】
0.6
10. 分类讨论思想 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C = 40°$，点$D$在线段$BC$上运动（点$D$不与点$B$，$C$重合），连接$AD$，作$∠ ADE = 40°$，$DE$交线段$AC$于点$E$。在点$D$的运动过程中，当$△ ADE$是等腰三角形时，则$∠ BDA =$
110°或80°
。答案
10.110°或80°
解析
【分析】
首先由△ABC中∠B=∠C=40°，可先求出∠BAC=100°。由于△ADE是等腰三角形且未明确腰和底边，需分三种情况讨论：AD=AE、AD=DE、AE=DE，再结合点D不与B、C重合的限制排除不符合题意的情形，最后利用三角形内角和定理计算对应∠BDA的度数即可。
【解析】
解：在△ABC中，∠B=∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°，
△ADE为等腰三角形，分三类讨论：
1. 若$AD=AE$，则∠AED=∠ADE=40°，
此时∠AED是△DCE的外角，∠AED=∠C+∠EDC，可得∠EDC=0°，即点D与点C重合，不符合题意，舍去；
2. 若$AD=DE$，则∠DAE=∠DEA，
∵∠ADE=40°，
∴∠DAE=$\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°，
在△ABD中，∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°；
3. 若$AE=DE$，则∠DAE=∠ADE=40°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°，
在△ABD中，∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-60°=80°；
综上，∠BDA的度数为110°或80°。
【答案】
110°或80°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质的应用，解题的核心是对等腰三角形的腰的情况进行分类讨论，同时要注意结合题目的限制条件排除不符合的情况，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.6
首先由△ABC中∠B=∠C=40°，可先求出∠BAC=100°。由于△ADE是等腰三角形且未明确腰和底边，需分三种情况讨论：AD=AE、AD=DE、AE=DE，再结合点D不与B、C重合的限制排除不符合题意的情形，最后利用三角形内角和定理计算对应∠BDA的度数即可。
【解析】
解：在△ABC中，∠B=∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°，
△ADE为等腰三角形，分三类讨论：
1. 若$AD=AE$，则∠AED=∠ADE=40°，
此时∠AED是△DCE的外角，∠AED=∠C+∠EDC，可得∠EDC=0°，即点D与点C重合，不符合题意，舍去；
2. 若$AD=DE$，则∠DAE=∠DEA，
∵∠ADE=40°，
∴∠DAE=$\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°，
在△ABD中，∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°；
3. 若$AE=DE$，则∠DAE=∠ADE=40°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°，
在△ABD中，∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-60°=80°；
综上，∠BDA的度数为110°或80°。
【答案】
110°或80°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质的应用，解题的核心是对等腰三角形的腰的情况进行分类讨论，同时要注意结合题目的限制条件排除不符合的情况，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.6
11. 几何直观 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为BC的延长线上一点,∠ADB=∠BAC,BE⊥AD,BE与AC交于点F.
(1)求证:△ABD为等腰三角形;
(2)当FC=BC时,求∠BAC的度数.
(1)求证:△ABD为等腰三角形;
(2)当FC=BC时,求∠BAC的度数.
答案
11.(1)证明：略. (2)解：$∠ BAC=36°$.
解析
【分析】
(1)要证明△ABD为等腰三角形，只需证明其有两个内角相等即可。结合已知∠ADB=∠BAC，以及等腰△ABC中∠ABC=∠ACB的性质，利用三角形内角和定理推导∠BAD与∠ABD相等，即可完成证明。
(2)求∠BAC的度数可采用设未知数列方程的思路：设∠BAC为x，先结合等腰三角形性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，用含x的式子表示出相关角的度数，再根据FC=BC得到的等角关系，结合三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB。
在△ABC中：$∠ ABC + ∠ ACB + ∠ BAC = 180°$，
在△ABD中：$∠ ABD + ∠ ADB + ∠ BAD = 180°$，
又
∵ $∠ ABD=∠ ABC$，$∠ ADB=∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=∠ ACB$，
∴ $∠ BAD=∠ ABC=∠ ABD$，
∴ AD=BD，即△ABD为等腰三角形。
(2)解：
设$∠ BAC=x$，则$∠ ADB=x$。
∵ AB=AC，
∴ $∠ ABC=∠ ACB=\frac{180° - x}{2}$。
由(1)知$∠ BAD=∠ ACB=\frac{180° - x}{2}$，
∴ $∠ CAD=∠ BAD - ∠ BAC=\frac{180° - x}{2} - x=\frac{180° - 3x}{2}$。
∵ BE⊥AD，
∴ $∠ AEF=90°$，
∴ $∠ AFE + ∠ CAD=90°$，
又
∵ $∠ AFE=∠ BFC$（对顶角相等），
∴ $∠ BFC=90° - \frac{180° - 3x}{2}=\frac{3x}{2}$。
∵ FC=BC，
∴ $∠ FBC=∠ BFC=\frac{3x}{2}$。
在Rt△ABE中，$∠ ABF + ∠ BAD=90°$，
∴ $∠ ABF=90° - \frac{180° - x}{2}=\frac{x}{2}$。
又
∵ $∠ ABC=∠ ABF + ∠ FBC$，
∴ $\frac{180° - x}{2}=\frac{x}{2} + \frac{3x}{2}$，
两边同乘2得：$180° - x=4x$，
解得$x=36°$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$∠ BAC=36°$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的综合题，核心解题思路是利用角的等量关系进行导角，第二问设未知数列方程求角度是几何中求角度的常用方法，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1)要证明△ABD为等腰三角形，只需证明其有两个内角相等即可。结合已知∠ADB=∠BAC，以及等腰△ABC中∠ABC=∠ACB的性质，利用三角形内角和定理推导∠BAD与∠ABD相等，即可完成证明。
(2)求∠BAC的度数可采用设未知数列方程的思路：设∠BAC为x，先结合等腰三角形性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，用含x的式子表示出相关角的度数，再根据FC=BC得到的等角关系，结合三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB。
在△ABC中：$∠ ABC + ∠ ACB + ∠ BAC = 180°$，
在△ABD中：$∠ ABD + ∠ ADB + ∠ BAD = 180°$，
又
∵ $∠ ABD=∠ ABC$，$∠ ADB=∠ BAC$，
∴ $∠ BAD=∠ ACB$，
∴ $∠ BAD=∠ ABC=∠ ABD$，
∴ AD=BD，即△ABD为等腰三角形。
(2)解：
设$∠ BAC=x$，则$∠ ADB=x$。
∵ AB=AC，
∴ $∠ ABC=∠ ACB=\frac{180° - x}{2}$。
由(1)知$∠ BAD=∠ ACB=\frac{180° - x}{2}$，
∴ $∠ CAD=∠ BAD - ∠ BAC=\frac{180° - x}{2} - x=\frac{180° - 3x}{2}$。
∵ BE⊥AD，
∴ $∠ AEF=90°$，
∴ $∠ AFE + ∠ CAD=90°$，
又
∵ $∠ AFE=∠ BFC$（对顶角相等），
∴ $∠ BFC=90° - \frac{180° - 3x}{2}=\frac{3x}{2}$。
∵ FC=BC，
∴ $∠ FBC=∠ BFC=\frac{3x}{2}$。
在Rt△ABE中，$∠ ABF + ∠ BAD=90°$，
∴ $∠ ABF=90° - \frac{180° - x}{2}=\frac{x}{2}$。
又
∵ $∠ ABC=∠ ABF + ∠ FBC$，
∴ $\frac{180° - x}{2}=\frac{x}{2} + \frac{3x}{2}$，
两边同乘2得：$180° - x=4x$，
解得$x=36°$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$∠ BAC=36°$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的综合题，核心解题思路是利用角的等量关系进行导角，第二问设未知数列方程求角度是几何中求角度的常用方法，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
微点突破2 /角平分线+平行线→等腰三角形 /
一题练透 如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF//BC,EF分别交AB,AC于点E,F.
(1)【识别等腰】如图①,若AB=AC,图中有
(2)【探索建模】如图②,若AB≠AC,其他条件不变,(1)中EF与BE,CF间的关系还成立吗?请说明理由.
(3)【模型应用】在(2)的条件下,若AB=10,AC=15,则△AEF的周长为
(4)【变式探究】如图③,在△ABC中,若AB≠AC,∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线CO交于点O,过点O作OE//BC,OE交AB于点E,交AC于点F,则EF与BE,CF间的数量关系为
一题练透 如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF//BC,EF分别交AB,AC于点E,F.
(1)【识别等腰】如图①,若AB=AC,图中有
5
个等腰三角形,且EF与BE,CF的数量关系是$EF=BE+CF=2BE=2CF$
.(2)【探索建模】如图②,若AB≠AC,其他条件不变,(1)中EF与BE,CF间的关系还成立吗?请说明理由.
(3)【模型应用】在(2)的条件下,若AB=10,AC=15,则△AEF的周长为
25
.(4)【变式探究】如图③,在△ABC中,若AB≠AC,∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线CO交于点O,过点O作OE//BC,OE交AB于点E,交AC于点F,则EF与BE,CF间的数量关系为
$EF=BE-CF$
.答案
解：(1)$5;EF=BE+CF=2BE=2CF$ (2)$EF$与$BE,CF$间的数量关系$EF=BE+CF$成立，$EF=2BE=2CF$不成立.理由：略. (3)$25$ (4)$EF=BE-CF$
解析
【分析】
(1) 依据“等角对等边”判定等腰三角形：AB=AC则△ABC为等腰三角形；OB、OC是角平分线，结合EF//BC，可得∠EOB=∠EBO、∠FOC=∠FCO，推出△EBO、△FCO为等腰三角形；EF//BC可得∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFE，推出△AEF为等腰三角形；∠OBC=∠OCB，推出△OBC为等腰三角形，共5个。由OE=BE、OF=CF，且AB=AC时BE=CF，可得EF的数量关系。
(2) AB≠AC时，角平分线和平行线的条件不变，仍可证△EBO、△FCO为等腰三角形，故EF=BE+CF依然成立，但BE≠CF，故EF=2BE=2CF不成立。
(3) 将△AEF的周长转化为AE+BE+CF+AF，即可得到周长等于AB与AC的和，代入数值计算即可。
(4) 同理利用角平分线和平行线性质，可证BE=OE、CF=OF，此时EF为OE与OF的差，即可得到数量关系。
【解析】
(1) 当AB=AC时，等腰三角形有△ABC、△AEF、△OBC、△EBO、△FCO，共5个。
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EBO=∠EOB，
∴BE=OE，同理CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，可得BE=CF，
∴EF=BE+CF=2BE=2CF。
(2) $EF=BE+CF$成立，$EF=2BE=2CF$不成立，理由：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EBO=∠EOB，
∴BE=OE，同理可得CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
∵AB≠AC，
∴∠ABC≠∠ACB，
∴BE≠CF，故$EF=2BE=2CF$不成立。
(3) △AEF的周长为$AE+EF+AF$，
由(2)知$EF=BE+CF$，
∴周长$=AE+BE+CF+AF=(AE+BE)+(AF+CF)=AB+AC=10+15=25$。
(4)
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∵OE//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EBO=∠EOB，
∴BE=OE，
∵CO平分∠ACD，
∴∠FCO=∠OCD，
∵OE//BC，
∴∠FOC=∠OCD，
∴∠FCO=∠FOC，
∴CF=OF，
∴$EF=OE-OF=BE-CF$。
【答案】
(1) $5$；$EF=BE+CF=2BE=2CF$
(2) $EF=BE+CF$成立，$EF=2BE=2CF$不成立
(3) $25$
(4) $EF=BE-CF$
【知识点】
等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题围绕“角平分线+平行线推出等腰三角形”的经典几何模型设置问题，从特殊到一般逐层探究线段数量关系，能帮助学生熟练掌握模型应用方法，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 依据“等角对等边”判定等腰三角形：AB=AC则△ABC为等腰三角形；OB、OC是角平分线，结合EF//BC，可得∠EOB=∠EBO、∠FOC=∠FCO，推出△EBO、△FCO为等腰三角形；EF//BC可得∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFE，推出△AEF为等腰三角形；∠OBC=∠OCB，推出△OBC为等腰三角形，共5个。由OE=BE、OF=CF，且AB=AC时BE=CF，可得EF的数量关系。
(2) AB≠AC时，角平分线和平行线的条件不变，仍可证△EBO、△FCO为等腰三角形，故EF=BE+CF依然成立，但BE≠CF，故EF=2BE=2CF不成立。
(3) 将△AEF的周长转化为AE+BE+CF+AF，即可得到周长等于AB与AC的和，代入数值计算即可。
(4) 同理利用角平分线和平行线性质，可证BE=OE、CF=OF，此时EF为OE与OF的差，即可得到数量关系。
【解析】
(1) 当AB=AC时，等腰三角形有△ABC、△AEF、△OBC、△EBO、△FCO，共5个。
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EBO=∠EOB，
∴BE=OE，同理CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，可得BE=CF，
∴EF=BE+CF=2BE=2CF。
(2) $EF=BE+CF$成立，$EF=2BE=2CF$不成立，理由：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EBO=∠EOB，
∴BE=OE，同理可得CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
∵AB≠AC，
∴∠ABC≠∠ACB，
∴BE≠CF，故$EF=2BE=2CF$不成立。
(3) △AEF的周长为$AE+EF+AF$，
由(2)知$EF=BE+CF$，
∴周长$=AE+BE+CF+AF=(AE+BE)+(AF+CF)=AB+AC=10+15=25$。
(4)
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∵OE//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EBO=∠EOB，
∴BE=OE，
∵CO平分∠ACD，
∴∠FCO=∠OCD，
∵OE//BC，
∴∠FOC=∠OCD，
∴∠FCO=∠FOC，
∴CF=OF，
∴$EF=OE-OF=BE-CF$。
【答案】
(1) $5$；$EF=BE+CF=2BE=2CF$
(2) $EF=BE+CF$成立，$EF=2BE=2CF$不成立
(3) $25$
(4) $EF=BE-CF$
【知识点】
等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题围绕“角平分线+平行线推出等腰三角形”的经典几何模型设置问题，从特殊到一般逐层探究线段数量关系，能帮助学生熟练掌握模型应用方法，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
