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15. 李师傅带了徒弟小王。在师父的指导下，小王第一天生产了2件产品，以后每天增加2件。已知师父每天可生产55件，小王想在第1个月就追上师父。
(1)求小王的工作效率v(件/天)与工作时间t(天)之间的函数表达式。
(2)求第6天小王的工作效率。
(3)第几天小王每天可生产38件？
(4)小王的愿望能实现吗？
(1)求小王的工作效率v(件/天)与工作时间t(天)之间的函数表达式。
(2)求第6天小王的工作效率。
(3)第几天小王每天可生产38件？
(4)小王的愿望能实现吗？
答案
(1)$v=2t$ (2)12件 (3)第19天 (4)可以实现
解析
【分析】
解题思路如下：1. 第(1)问，根据“第一天生产2件，以后每天增加2件”的条件，可发现小王每天的工作效率v是工作天数t的2倍，直接推导函数表达式即可；2. 第(2)问，将t=6代入第(1)问得到的函数式，直接计算就能得到第6天的效率；3. 第(3)问，将v=38代入函数式，解一元一次方程即可得到对应的天数；4. 第(4)问，先令v≥师父的日产量55件，解不等式得到对应的最小天数，再和1个月的天数对比，即可判断愿望能否实现。
【解析】
(1) 由题意，小王第1天生产2件，每天产量比前一天多2件，因此第t天的工作效率$v=2t$（t为正整数），即所求函数表达式为$v=2t$。
(2) 把$t=6$代入$v=2t$，得$v=2×6=12$，因此第6天小王的工作效率为12件/天。
(3) 把$v=38$代入$v=2t$，得$2t=38$，解得$t=19$，因此第19天小王每天可生产38件。
(4) 师父每天生产55件，令$v≥55$，代入得$2t≥55$，解得$t≥27.5$。由于t为正整数，因此t最小取28，而1个月最少有28天，即小王第28天日产量就达到56件，超过师父的日产量，因此小王的愿望可以实现。
【答案】
(1)$v=2t$ (2)12件 (3)第19天 (4)可以实现
【知识点】
正比例函数应用；函数代入求值；一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活场景考查函数的基础应用，解题核心是先准确梳理变量间的数量关系得到函数表达式，再根据问题要求代入数值计算或求解，难度不大，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 第(1)问，根据“第一天生产2件，以后每天增加2件”的条件，可发现小王每天的工作效率v是工作天数t的2倍，直接推导函数表达式即可；2. 第(2)问，将t=6代入第(1)问得到的函数式，直接计算就能得到第6天的效率；3. 第(3)问，将v=38代入函数式，解一元一次方程即可得到对应的天数；4. 第(4)问，先令v≥师父的日产量55件，解不等式得到对应的最小天数，再和1个月的天数对比，即可判断愿望能否实现。
【解析】
(1) 由题意，小王第1天生产2件，每天产量比前一天多2件，因此第t天的工作效率$v=2t$（t为正整数），即所求函数表达式为$v=2t$。
(2) 把$t=6$代入$v=2t$，得$v=2×6=12$，因此第6天小王的工作效率为12件/天。
(3) 把$v=38$代入$v=2t$，得$2t=38$，解得$t=19$，因此第19天小王每天可生产38件。
(4) 师父每天生产55件，令$v≥55$，代入得$2t≥55$，解得$t≥27.5$。由于t为正整数，因此t最小取28，而1个月最少有28天，即小王第28天日产量就达到56件，超过师父的日产量，因此小王的愿望可以实现。
【答案】
(1)$v=2t$ (2)12件 (3)第19天 (4)可以实现
【知识点】
正比例函数应用；函数代入求值；一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活场景考查函数的基础应用，解题核心是先准确梳理变量间的数量关系得到函数表达式，再根据问题要求代入数值计算或求解，难度不大，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.8
16. 如图，$△ ABC$为等腰直角三角形，$AB=AC=8\ \mathrm{cm}$，点$E$，$D$同时从点$A$出发分别沿$AB$，$AC$方向运动，速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，连结$DE$，作$EF ⊥ BC$于点$F$，$DG ⊥ BC$于点$G$，得到矩形$DEFG$。若设$D$，$E$运动的时间为$t$，矩形$DEFG$的面积为$S$。
(1)求面积$S$关于$t$的函数表达式。
(2)求出自变量$t$的取值范围。
(3)取一个适当的$t$的值，求出此时$S$的值。
(1)求面积$S$关于$t$的函数表达式。
(2)求出自变量$t$的取值范围。
(3)取一个适当的$t$的值，求出此时$S$的值。
答案
(1)$S=-t^2+8t$ (2)$0＜t＜8$ (3)略
解析
【分析】
解题时先结合动点的运动速度和时间，用含t的代数式表示出AE、AD、EB的长度；再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，分别求出矩形DEFG的两组邻边DE、EF的长度；根据矩形面积公式即可得到S关于t的函数表达式。自变量t的取值范围结合点E、D的运动范围确定，第三问在取值范围内任选t代入计算即可。
【解析】
(1) 由题意可知，点E、D的运动速度均为1 cm/s，运动时间为t，因此AE=AD=t cm。
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC，
∴∠AED=∠ADE=45°，△AED为等腰直角三角形，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{t^2+t^2}=\sqrt{2}t$ cm。
∵AB=8 cm，
∴$EB=AB-AE=(8-t)$ cm。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
又
∵EF⊥BC，
∴△BEF为等腰直角三角形，EF=BF，
由勾股定理得$EB^2=EF^2+BF^2=2EF^2$，
∴$EF=\frac{EB}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(8-t)}{2}$ cm。
∵四边形DEFG是矩形，矩形面积=长×宽，
∴$S=DE· EF=\sqrt{2}t × \frac{\sqrt{2}(8-t)}{2}$
化简得：$S=\frac{2t(8-t)}{2}=-t^2+8t$。
(2)
∵点E在线段AB上运动，点D在线段AC上运动，
∴运动时间t需满足$t＞0$，且$8-t＞0$，
解得$0＜t＜8$，即自变量t的取值范围是$0＜t＜8$。
(3) 选取$t=3$（只要满足$0＜t＜8$均可），将$t=3$代入$S=-t^2+8t$，
得$S=-3^2+8×3=-9+24=15$（cm²），即此时S的值为15 cm²。（答案不唯一）
【答案】
(1) $\boldsymbol{S=-t^2+8t}$
(2) $\boldsymbol{0＜t＜8}$
(3) 示例：当$t=3$时，$S=15$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
等腰直角三角形性质、勾股定理、列函数关系式
【点评】
本题是动点与几何图形结合的基础题，将动点运动的时间作为变量，结合几何图形的性质推导变量间的函数关系，能有效考查对基础几何知识和函数概念的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合动点的运动速度和时间，用含t的代数式表示出AE、AD、EB的长度；再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，分别求出矩形DEFG的两组邻边DE、EF的长度；根据矩形面积公式即可得到S关于t的函数表达式。自变量t的取值范围结合点E、D的运动范围确定，第三问在取值范围内任选t代入计算即可。
【解析】
(1) 由题意可知，点E、D的运动速度均为1 cm/s，运动时间为t，因此AE=AD=t cm。
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC，
∴∠AED=∠ADE=45°，△AED为等腰直角三角形，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{t^2+t^2}=\sqrt{2}t$ cm。
∵AB=8 cm，
∴$EB=AB-AE=(8-t)$ cm。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
又
∵EF⊥BC，
∴△BEF为等腰直角三角形，EF=BF，
由勾股定理得$EB^2=EF^2+BF^2=2EF^2$，
∴$EF=\frac{EB}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(8-t)}{2}$ cm。
∵四边形DEFG是矩形，矩形面积=长×宽，
∴$S=DE· EF=\sqrt{2}t × \frac{\sqrt{2}(8-t)}{2}$
化简得：$S=\frac{2t(8-t)}{2}=-t^2+8t$。
(2)
∵点E在线段AB上运动，点D在线段AC上运动，
∴运动时间t需满足$t＞0$，且$8-t＞0$，
解得$0＜t＜8$，即自变量t的取值范围是$0＜t＜8$。
(3) 选取$t=3$（只要满足$0＜t＜8$均可），将$t=3$代入$S=-t^2+8t$，
得$S=-3^2+8×3=-9+24=15$（cm²），即此时S的值为15 cm²。（答案不唯一）
【答案】
(1) $\boldsymbol{S=-t^2+8t}$
(2) $\boldsymbol{0＜t＜8}$
(3) 示例：当$t=3$时，$S=15$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
等腰直角三角形性质、勾股定理、列函数关系式
【点评】
本题是动点与几何图形结合的基础题，将动点运动的时间作为变量，结合几何图形的性质推导变量间的函数关系，能有效考查对基础几何知识和函数概念的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
