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10. 下列各图是由若干盆花组成的三角形图案，每条边(包括两个顶点)有$n(n＞1)$盆花，每个图案花盆的总数是$S$。按此规律推断，$S$与$n$的关系式是
$S=3n-3$
。答案
$S=3n-3$
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：1. 数值归纳法：观察已知的n和S的对应值，n每增加1，S就增加3，可知S是n的一次函数，可设函数表达式代入数值求解；2. 图形分析法：三角形每条边有n盆花，三条边初步计算共3n盆，但三个顶点的花盆同时属于两条边，各被重复计算1次，共多算3盆，减去重复部分即可得到总盆数。两种方法都能推导出S与n的关系式。
【解析】
方法一：数值归纳推导
已知对应关系：
当$n=2$时，$S=3$；
当$n=3$时，$S=6$；
当$n=4$时，$S=9$；
观察可得n每增加1，S增加3，因此S是n的一次函数，设$S=kn+b(k≠0)$。
将$n=2,S=3$和$n=3,S=6$代入得：
$\begin{cases}2k+b=3\\3k+b=6\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子，解得$k=3$，代入$2×3+b=3$，得$b=-3$，因此$S=3n-3$。
代入$n=4$验证：$3×4-3=9$，和已知数值一致，关系式成立。
方法二：图形分析推导
三角形有3条边，每条边含顶点共n盆花，若直接计算3条边的花盆总数为$3n$盆；
由于三角形的3个顶点是两条边的公共点，在上述计算中每个顶点被重复计算了1次，共多计算了3盆，因此总花盆数需要减去重复的3盆，即$S=3n-3$。
【答案】
$S=3n-3$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一次函数关系式推导
【点评】
本题考查规律探究能力，既可以通过观察数据结合函数知识求解，也可以通过分析图形的重复部分直接推导，解题时注意避免忽略顶点处花盆重复计算的问题，求出关系式后代入已知数值验证可提高准确率。
【难度系数】
0.8
解题可从两个思路入手：1. 数值归纳法：观察已知的n和S的对应值，n每增加1，S就增加3，可知S是n的一次函数，可设函数表达式代入数值求解；2. 图形分析法：三角形每条边有n盆花，三条边初步计算共3n盆，但三个顶点的花盆同时属于两条边，各被重复计算1次，共多算3盆，减去重复部分即可得到总盆数。两种方法都能推导出S与n的关系式。
【解析】
方法一：数值归纳推导
已知对应关系：
当$n=2$时，$S=3$；
当$n=3$时，$S=6$；
当$n=4$时，$S=9$；
观察可得n每增加1，S增加3，因此S是n的一次函数，设$S=kn+b(k≠0)$。
将$n=2,S=3$和$n=3,S=6$代入得：
$\begin{cases}2k+b=3\\3k+b=6\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子，解得$k=3$，代入$2×3+b=3$，得$b=-3$，因此$S=3n-3$。
代入$n=4$验证：$3×4-3=9$，和已知数值一致，关系式成立。
方法二：图形分析推导
三角形有3条边，每条边含顶点共n盆花，若直接计算3条边的花盆总数为$3n$盆；
由于三角形的3个顶点是两条边的公共点，在上述计算中每个顶点被重复计算了1次，共多计算了3盆，因此总花盆数需要减去重复的3盆，即$S=3n-3$。
【答案】
$S=3n-3$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一次函数关系式推导
【点评】
本题考查规律探究能力，既可以通过观察数据结合函数知识求解，也可以通过分析图形的重复部分直接推导，解题时注意避免忽略顶点处花盆重复计算的问题，求出关系式后代入已知数值验证可提高准确率。
【难度系数】
0.8
11. 两个变量y与x之间的函数图象如图所示，则y的取值范围是
(第11题)
$2≤y≤5$
。 (第11题)答案
$2≤y≤5$
解析
【分析】
要确定y的取值范围，只需观察函数图象上所有点的纵坐标的最小值和最大值即可。首先观察纵轴y对应的图象最高点和最低点：图象最高点的纵坐标为5，最低点的纵坐标为2，且图象覆盖了2到5之间的所有y值，因此可以直接得出y的取值范围。
【解析】
观察函数图象可得：
y的最小值为2，最大值为5，且图象上的点的纵坐标在2到5之间（包含端点），因此y的取值范围是$2≤y≤5$。
【答案】
$2≤y≤5$
【知识点】
1.函数图象的识别 2.函数值范围确定
【点评】
本题是基础类题目，主要考查从函数图象中获取信息的能力，解题的关键是准确找到纵坐标的最大值和最小值，难度较低。
【难度系数】
0.8
要确定y的取值范围，只需观察函数图象上所有点的纵坐标的最小值和最大值即可。首先观察纵轴y对应的图象最高点和最低点：图象最高点的纵坐标为5，最低点的纵坐标为2，且图象覆盖了2到5之间的所有y值，因此可以直接得出y的取值范围。
【解析】
观察函数图象可得：
y的最小值为2，最大值为5，且图象上的点的纵坐标在2到5之间（包含端点），因此y的取值范围是$2≤y≤5$。
【答案】
$2≤y≤5$
【知识点】
1.函数图象的识别 2.函数值范围确定
【点评】
本题是基础类题目，主要考查从函数图象中获取信息的能力，解题的关键是准确找到纵坐标的最大值和最小值，难度较低。
【难度系数】
0.8
12. 一个等腰三角形的周长为20 cm，腰长为x cm，底边长为y cm。
(1)求y关于x的函数表达式。
(2)求自变量x的取值范围。
(3)当腰长为8 cm时，求底边y的长。
(1)求y关于x的函数表达式。
(2)求自变量x的取值范围。
(3)当腰长为8 cm时，求底边y的长。
答案
(1)$y=20-2x$ (2)$5＜x＜10$ (3)$y=4(\mathrm{cm})$
解析
【分析】
(1) 求y关于x的函数表达式，可从等腰三角形周长的计算逻辑入手：等腰三角形周长等于2倍腰长加底边长，把已知周长20cm、腰长x、底边长y代入等量关系，整理后就能得到y与x的函数关系式。
(2) 求自变量x的取值范围，需要结合几何图形的实际约束考虑：一方面三角形的边长必须为正数，所以底边长y＞0、腰长x＞0；另一方面要满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，即两腰长度之和大于底边长，联立对应的不等式求解即可得到x的取值范围。
(3) 已知腰长求底边长，直接把x=8代入第(1)问得到的函数表达式计算，就能得到y的数值。
【解析】
(1) 根据等腰三角形周长公式：$\mathrm{周长}=2× \mathrm{腰长}+\mathrm{底边长}$，已知周长为20cm，可得：
$2x + y = 20$
移项整理得：$y = 20 - 2x$
(2) 结合三角形边长的要求和三边关系列不等式：
① 底边长为正数：$y=20-2x＞0$，解得$x＜10$
② 两腰之和大于第三边：$2x＞y$，代入$y=20-2x$得$2x＞20-2x$，移项计算得$4x＞20$，解得$x＞5$
结合腰长本身为正的隐含条件，最终自变量x的取值范围为$5 ＜ x ＜ 10$
(3) 当腰长$x=8\mathrm{cm}$时，将其代入$y=20-2x$得：
$y=20-2× 8=4(\mathrm{cm})$
【答案】
(1)$y=20-2x$
(2)$5＜x＜10$
(3)$y=4\mathrm{cm}$
【知识点】
1.等腰三角形性质
2.三角形三边关系
3.函数解析式求解
【点评】
本题是函数与几何结合的基础应用题，解题核心是结合几何性质推导函数关系，需要注意函数自变量的取值范围不仅要满足代数式有意义，还要符合实际几何图形的约束条件，避免忽略三边关系导致取值范围求解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求y关于x的函数表达式，可从等腰三角形周长的计算逻辑入手：等腰三角形周长等于2倍腰长加底边长，把已知周长20cm、腰长x、底边长y代入等量关系，整理后就能得到y与x的函数关系式。
(2) 求自变量x的取值范围，需要结合几何图形的实际约束考虑：一方面三角形的边长必须为正数，所以底边长y＞0、腰长x＞0；另一方面要满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，即两腰长度之和大于底边长，联立对应的不等式求解即可得到x的取值范围。
(3) 已知腰长求底边长，直接把x=8代入第(1)问得到的函数表达式计算，就能得到y的数值。
【解析】
(1) 根据等腰三角形周长公式：$\mathrm{周长}=2× \mathrm{腰长}+\mathrm{底边长}$，已知周长为20cm，可得：
$2x + y = 20$
移项整理得：$y = 20 - 2x$
(2) 结合三角形边长的要求和三边关系列不等式：
① 底边长为正数：$y=20-2x＞0$，解得$x＜10$
② 两腰之和大于第三边：$2x＞y$，代入$y=20-2x$得$2x＞20-2x$，移项计算得$4x＞20$，解得$x＞5$
结合腰长本身为正的隐含条件，最终自变量x的取值范围为$5 ＜ x ＜ 10$
(3) 当腰长$x=8\mathrm{cm}$时，将其代入$y=20-2x$得：
$y=20-2× 8=4(\mathrm{cm})$
【答案】
(1)$y=20-2x$
(2)$5＜x＜10$
(3)$y=4\mathrm{cm}$
【知识点】
1.等腰三角形性质
2.三角形三边关系
3.函数解析式求解
【点评】
本题是函数与几何结合的基础应用题，解题核心是结合几何性质推导函数关系，需要注意函数自变量的取值范围不仅要满足代数式有意义，还要符合实际几何图形的约束条件，避免忽略三边关系导致取值范围求解错误。
【难度系数】
0.7
13. 有一个水箱，它的容积为500升，水箱内原有水200升。现需将水箱注满，已知每分钟注入水10升。
(1)写出水箱内的水量Q(升)与时间t(分钟)的函数表达式。
(2)求自变量t的取值范围。
(1)写出水箱内的水量Q(升)与时间t(分钟)的函数表达式。
(2)求自变量t的取值范围。
答案
(1)$Q=200+10t$ (2)$0≤t≤30$
解析
【分析】
解决第(1)问时，先明确水箱总水量由两部分组成：原有固定水量和t分钟新注入的水量，将两部分水量相加即可得到Q与t的函数关系；解决第(2)问时，自变量t代表注水时间，首先时间不能为负数，其次水箱有固定容积，注满后无法再进水，因此需结合总水量不超过水箱容积列不等式求解，综合两个限制条件即可得到t的取值范围。
【解析】
(1) 水箱原有水量为200升，每分钟注入10升水，因此t分钟注入的水量为10t升，总水量等于原有水量加注入水量，可得函数表达式：
$Q=200+10t$
(2) 首先，注水时间不能为负，即$t≥0$；其次水箱总容积为500升，总水量不能超过容积，即$Q≤500$，代入函数式得：
$200+10t≤500$
解不等式：$10t≤300$，即$t≤30$
综合可得自变量t的取值范围为$0≤ t≤30$
【答案】
(1)$Q=200+10t$ (2)$0≤t≤30$
【知识点】
列一次函数解析式；求自变量取值范围
【点评】
本题是一次函数结合实际场景的基础考题，解题关键是理清数量关系列写函数式，同时要注意实际问题中自变量的取值不仅要满足代数式有意义，还要符合现实逻辑。
【难度系数】
0.85
解决第(1)问时，先明确水箱总水量由两部分组成：原有固定水量和t分钟新注入的水量，将两部分水量相加即可得到Q与t的函数关系；解决第(2)问时，自变量t代表注水时间，首先时间不能为负数，其次水箱有固定容积，注满后无法再进水，因此需结合总水量不超过水箱容积列不等式求解，综合两个限制条件即可得到t的取值范围。
【解析】
(1) 水箱原有水量为200升，每分钟注入10升水，因此t分钟注入的水量为10t升，总水量等于原有水量加注入水量，可得函数表达式：
$Q=200+10t$
(2) 首先，注水时间不能为负，即$t≥0$；其次水箱总容积为500升，总水量不能超过容积，即$Q≤500$，代入函数式得：
$200+10t≤500$
解不等式：$10t≤300$，即$t≤30$
综合可得自变量t的取值范围为$0≤ t≤30$
【答案】
(1)$Q=200+10t$ (2)$0≤t≤30$
【知识点】
列一次函数解析式；求自变量取值范围
【点评】
本题是一次函数结合实际场景的基础考题，解题关键是理清数量关系列写函数式，同时要注意实际问题中自变量的取值不仅要满足代数式有意义，还要符合现实逻辑。
【难度系数】
0.85
14. 在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，点P在AB上运动，设PB=x，图中阴影部分的面积为y。
(1)写出阴影部分的面积y与x之间的函数表达式和自变量x的取值范围。
(2)点P在什么位置时，阴影部分的面积等于36？
(1)写出阴影部分的面积y与x之间的函数表达式和自变量x的取值范围。
(2)点P在什么位置时，阴影部分的面积等于36？
答案
(1)$y=48-4x(0≤x≤6)$ (2)$PB=3(P$ 在 $AB$ 的中点)
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以用“割补法”计算阴影面积：阴影部分面积等于长方形ABCD的面积减去空白直角三角形PBC的面积。第一问先分别算出长方形和空白三角形的面积，作差就能得到y和x的函数关系，再结合点P的运动范围确定x的取值范围；第二问直接把y=36代入第一问得到的函数表达式，解方程即可求出x的值，进而确定点P的位置。
【解析】
(1) 首先计算长方形ABCD的面积：
$S_{长方形ABCD}=AB× BC=6×8=48$
空白部分是$△ PBC$，它是直角三角形，两条直角边分别为$PB=x$和$BC=8$，因此它的面积：
$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}× PB× BC=\frac{1}{2}× x×8=4x$
阴影部分面积$y=S_{长方形ABCD}-S_{△ PBC}$，代入得：
$y=48-4x$
因为点P在AB上运动，PB的长度最小为0（P与A重合），最大为6（P与B重合），所以自变量x的取值范围是$0≤ x≤6$。
(2) 当阴影部分面积$y=36$时，代入$y=48-4x$得：
$36=48-4x$
移项计算：$4x=48-36=12$，解得$x=3$
即$PB=3$，因为AB长为6，所以此时P是AB的中点。
【答案】
(1)$y=48-4x(0≤x≤6)$ (2)$PB=3(P$ 在 $AB$ 的中点)
【知识点】
图形面积计算，一次函数解析式，函数求值
【点评】
本题属于几何与函数结合的基础题，解题核心是利用割补法建立面积的等量关系，再结合函数性质求解，计算量小，思路清晰，是函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以用“割补法”计算阴影面积：阴影部分面积等于长方形ABCD的面积减去空白直角三角形PBC的面积。第一问先分别算出长方形和空白三角形的面积，作差就能得到y和x的函数关系，再结合点P的运动范围确定x的取值范围；第二问直接把y=36代入第一问得到的函数表达式，解方程即可求出x的值，进而确定点P的位置。
【解析】
(1) 首先计算长方形ABCD的面积：
$S_{长方形ABCD}=AB× BC=6×8=48$
空白部分是$△ PBC$，它是直角三角形，两条直角边分别为$PB=x$和$BC=8$，因此它的面积：
$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}× PB× BC=\frac{1}{2}× x×8=4x$
阴影部分面积$y=S_{长方形ABCD}-S_{△ PBC}$，代入得：
$y=48-4x$
因为点P在AB上运动，PB的长度最小为0（P与A重合），最大为6（P与B重合），所以自变量x的取值范围是$0≤ x≤6$。
(2) 当阴影部分面积$y=36$时，代入$y=48-4x$得：
$36=48-4x$
移项计算：$4x=48-36=12$，解得$x=3$
即$PB=3$，因为AB长为6，所以此时P是AB的中点。
【答案】
(1)$y=48-4x(0≤x≤6)$ (2)$PB=3(P$ 在 $AB$ 的中点)
【知识点】
图形面积计算，一次函数解析式，函数求值
【点评】
本题属于几何与函数结合的基础题，解题核心是利用割补法建立面积的等量关系，再结合函数性质求解，计算量小，思路清晰，是函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
