14. 已知:如图,在$△ ABC$中,$∠ C = 90°,∠ A = 30°,BD$平分$∠ ABC$交AC于点D。求证:线段AB的垂直平分线经过点D。

14. 证明:$∠ C=90°,∠ A=30°$,可得$∠ CBA=60°$。$\because BD$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ DBA=∠ A=30°$,$\therefore AD=BD$,即线段 $AB$ 的垂直平分线经过点 $D$

【分析】
要证明线段AB的垂直平分线经过点D，本质是证明点D在AB的垂直平分线上。根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需证明AD=BD即可。首先结合直角三角形的内角性质求出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义得到∠DBA的度数，通过角的等量关系证明△ABD是等腰三角形，即可得到AD=BD，完成证明。
【解析】
证明：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=180°-∠C-∠A=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴AD=BD（等角对等边），
根据线段垂直平分线的判定定理，可知点D在AB的垂直平分线上，即线段AB的垂直平分线经过点D。
【答案】
证明:$∠ C=90°,∠ A=30°$,可得$∠ CBA=60°$。$\because BD$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ DBA=∠ A=30°$,$\therefore AD=BD$,即线段 $AB$ 的垂直平分线经过点$D$
【知识点】
角平分线的定义，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础证明题，解题的关键是将证明点在垂直平分线上的问题转化为证明线段相等的问题，需要熟练掌握相关几何定理，考查了基础的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

15.如图,已知在$△ ABC$中,$∠ 1=∠ 2$。
(1)请你添加一个与直线AC有关的条件,由此可得出BE是$△ ABC$的外角平分线。
(2)请你添加一个与$∠ 1$有关的条件,由此可得出BE是$△ ABC$的外角平分线。
(3)如果“已知在$△ ABC$中,$∠ 1=∠ 2$不变”,请你把(1)中添加的条件与所得结论互换,所得的命题是不是真命题,请说明理由。

解：
(1) 添加条件：$AC// BE$（答案不唯一）。
(2) 添加条件：$∠ 1=∠ ABE$（答案不唯一）。
(3) 所得命题是真命题，理由如下：
∵ $BE$是$△ ABC$的外角平分线，
∴ $∠ DBE=∠ ABE$。
∵ $∠ ABD$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ ABD=∠ 1+∠ 2$，即$∠ DBE+∠ ABE=∠ 1+∠ 2$。
又∵ $∠ 1=∠ 2$，$∠ DBE=∠ ABE$，
∴ $2∠ DBE=2∠ 2$，即$∠ DBE=∠ 2$。
∴ $AC// BE$（同位角相等，两直线平行）。

【分析】
(1) 要得出BE是△ABC的外角平分线，需证∠ABE=∠DBE。已知△ABC的外角∠ABD=∠1+∠2，且∠1=∠2，因此∠ABD=2∠2。若添加AC//BE，可通过平行线的性质得到∠DBE=∠2、∠ABE=∠1，结合∠1=∠2即可推出∠ABE=∠DBE，满足角平分线的要求。
(2) 要求添加与∠1有关的条件，结合BE平分外角的结论，可得∠ABE=∠DBE，而∠ABD=2∠1，因此可推出∠ABE=∠1，添加该条件即可推导得出BE是外角平分线。
(3) 互换(1)的条件和结论后，命题变为：若BE是△ABC的外角平分线，且∠1=∠2，求证AC//BE。证明时可先利用角平分线定义得到∠ABD=2∠DBE，再结合三角形外角性质得到∠ABD=2∠2，进而推出∠DBE=∠2，根据同位角相等即可判定两直线平行，可判断该命题为真命题。
【解析】
(1) 添加条件：$\boldsymbol{AC// BE}$（答案不唯一）。
(2) 添加条件：$\boldsymbol{∠1=∠ABE}$（答案不唯一）。
(3) 所得命题是真命题，理由如下：
∵ BE是△ABC的外角平分线，
∴ $∠DBE=∠ABE$。
∵ $∠ABD$是△ABC的外角，
∴ $∠ABD=∠1+∠2$，即$∠DBE+∠ABE=∠1+∠2$。
又
∵ $∠1=∠2$，$∠DBE=∠ABE$，
∴ $2∠DBE=2∠2$，即$∠DBE=∠2$。
∴ $AC// BE$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $AC// BE$（答案不唯一）；
(2) $∠1=∠ABE$（答案不唯一）；
(3) 是真命题，理由见解析。
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于开放性几何题，结合角平分线、平行线、三角形外角的相关知识命题，既考查了基础性质的正向应用，也考查了逆向思维能力，需要熟练掌握各知识点之间的关联。
【难度系数】
0.7

16. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,将$△ ABC$沿着一条直线折叠后,使点A与点C重合(图2)。

(1)在图1中画出折痕所在的直线$l$。设直线$l$与$AB,AC$分别相交于点$D,E$,连结$CD$。(画图工具不限,不要求写画法)
(2)请你完成问题(1)后,找出所得到的图形中的等腰三角形,并说明理由。

16. (1)略
(2) $△ DAC,△ DBC$ 为等腰三角形。$\because DE$ 是 $AC$ 的垂直平分线，$\therefore DA=DC$，$\therefore ∠ A=∠ DCA$。$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ A+∠ B=90°,∠ DCA+∠ DCB=90°,\therefore ∠ DCB=∠ DBC$,即$△ DBC$ 为等腰三角形

【分析】
(1) 折叠后点A与点C重合，根据折叠的性质，折痕是线段AC的垂直平分线，因此只需作出AC的垂直平分线即为所求直线l，再按要求标注交点D、E，连接CD即可。
(2) 找等腰三角形可依据“两边相等的三角形是等腰三角形”或“等角对等边”判定：首先根据垂直平分线的性质可得DA=DC，直接判定△DAC为等腰三角形；再结合直角三角形两锐角互余的性质，通过等角的余角相等推出∠DCB=∠B，即可判定△DBC也为等腰三角形。
【解析】
(1) 作线段AC的垂直平分线，即为折痕所在直线l，直线l与AB交于点D，与AC交于点E，连接CD，作图即可（画法略）。
(2) 等腰三角形为$△ DAC$和$△ DBC$，理由如下：
由折叠性质可知，DE是AC的垂直平分线，
∵ 点D在DE上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴ $DA=DC$，
∴ $△ DAC$是等腰三角形，且$∠ A=∠ DCA$。
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ A+∠ B=90°$，$∠ DCA+∠ DCB=90°$，
根据等角的余角相等，可得$∠ B=∠ DCB$，
∴ $DC=DB$，
∴ $△ DBC$是等腰三角形。
【答案】
(1) 略
(2) $△ DAC$、$△ DBC$是等腰三角形，理由：$\because DE$是$AC$的垂直平分线，$\therefore DA=DC$，$\therefore ∠ A=∠ DCA$。$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ A+∠ B=90°,∠ DCA+∠ DCB=90°,\therefore ∠ DCB=∠ DBC$,即$△ DBC$为等腰三角形。
【知识点】
折叠的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题将折叠变换与等腰三角形的判定结合考查，解题的关键是抓住折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分这一核心性质，再结合直角三角形的角度关系推导等角，从而判定等腰三角形，属于基础几何常考题，能有效考查对几何变换和等腰三角形相关知识的运用能力。
【难度系数】
0.7