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10. 下列四个命题中,逆命题是真命题的是（
A.如果两个数的差为正数,那么这两个数都为正数
B.如果 $a^2 + b^2 = 0$,那么 $a = 0$
C.如果一个三角形为锐角三角形,那么这个三角形三个内角中必存在大于 $60°$的角
D.互相垂直的两条直线的夹角是 $90°$
D
）A.如果两个数的差为正数,那么这两个数都为正数
B.如果 $a^2 + b^2 = 0$,那么 $a = 0$
C.如果一个三角形为锐角三角形,那么这个三角形三个内角中必存在大于 $60°$的角
D.互相垂直的两条直线的夹角是 $90°$
答案
10. D
解析
【分析】
解题第一步要明确逆命题的定义：把原命题的条件（题设）和结论互换位置，就能得到原命题的逆命题。解题时需先拆分每个选项原命题的题设和结论，写出对应的逆命题，再判断逆命题是否为真命题，判断假命题可通过举反例验证。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 原命题的题设：两个数的差为正数；结论：这两个数都为正数。
逆命题：如果两个数都为正数，那么这两个数的差为正数。
反例：3和5都是正数，3-5=-2是负数，逆命题不成立，是假命题。
B. 原命题的题设：$a^2 + b^2 = 0$；结论：$a=0$。
逆命题：如果$a=0$，那么$a^2 + b^2 = 0$。
反例：$a=0$，$b=1$时，$a^2 + b^2 = 1 ≠ 0$，逆命题不成立，是假命题。
C. 原命题的题设：一个三角形是锐角三角形；结论：三个内角中存在大于$60°$的角。
逆命题：如果一个三角形三个内角中存在大于$60°$的角，那么这个三角形是锐角三角形。
反例：三角形三个角为$100°$、$40°$、$40°$，有大于$60°$的角，但属于钝角三角形，逆命题不成立，是假命题。
D. 原命题的题设：两条直线互相垂直；结论：两条直线的夹角是$90°$。
逆命题：如果两条直线的夹角是$90°$，那么这两条直线互相垂直。
这符合垂直的定义，逆命题成立，是真命题。
【答案】
D
【知识点】
逆命题的概念，真假命题判断，垂直的定义
【点评】
本题核心考查逆命题的改写方法和真假命题的判别能力，解题的关键是准确拆分原命题的条件和结论，判断假命题时举反例是非常简便的方法，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.7
解题第一步要明确逆命题的定义：把原命题的条件（题设）和结论互换位置，就能得到原命题的逆命题。解题时需先拆分每个选项原命题的题设和结论，写出对应的逆命题，再判断逆命题是否为真命题，判断假命题可通过举反例验证。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 原命题的题设：两个数的差为正数；结论：这两个数都为正数。
逆命题：如果两个数都为正数，那么这两个数的差为正数。
反例：3和5都是正数，3-5=-2是负数，逆命题不成立，是假命题。
B. 原命题的题设：$a^2 + b^2 = 0$；结论：$a=0$。
逆命题：如果$a=0$，那么$a^2 + b^2 = 0$。
反例：$a=0$，$b=1$时，$a^2 + b^2 = 1 ≠ 0$，逆命题不成立，是假命题。
C. 原命题的题设：一个三角形是锐角三角形；结论：三个内角中存在大于$60°$的角。
逆命题：如果一个三角形三个内角中存在大于$60°$的角，那么这个三角形是锐角三角形。
反例：三角形三个角为$100°$、$40°$、$40°$，有大于$60°$的角，但属于钝角三角形，逆命题不成立，是假命题。
D. 原命题的题设：两条直线互相垂直；结论：两条直线的夹角是$90°$。
逆命题：如果两条直线的夹角是$90°$，那么这两条直线互相垂直。
这符合垂直的定义，逆命题成立，是真命题。
【答案】
D
【知识点】
逆命题的概念，真假命题判断，垂直的定义
【点评】
本题核心考查逆命题的改写方法和真假命题的判别能力，解题的关键是准确拆分原命题的条件和结论，判断假命题时举反例是非常简便的方法，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.7
11.已知命题:“在$△ ABC$中,如果$AB=AC$,$BD=DC$,$AD$的延长线交$BC$于点$E$,那么$AE ⊥ BC$,$BE=EC$。”该命题是真命题还是假命题?若是真命题,给出证明过程;若是假命题,举出反例。
答案
11. 真命题。证明:$\because AB=AC,\therefore A$ 点在线段 $BC$ 的垂直平分线上。$\because DB=DC,\therefore D$ 点在线段 $BC$ 的垂直平分线上,$\therefore AD$ 是线段 $BC$ 的垂直平分线(两点确定一条直线)。又$\because$点 $E$ 在 $AD$ 上,$\therefore AE⊥ BC,EB=EC$
解析
【分析】
要判断该命题的真假，可围绕结论AE⊥BC、BE=EC思考，该结论等价于证明直线AE是线段BC的垂直平分线。首先从已知条件入手：AB=AC说明点A到B、C的距离相等，符合线段垂直平分线的判定条件，即点A在BC的垂直平分线上；同理BD=DC说明点D也在BC的垂直平分线上。根据两点确定一条直线，即可推出A、D两点所在的直线AD就是BC的垂直平分线，而E在AD上，因此可得出对应的垂直和线段相等的结论，即可判定命题为真。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore A$点在线段$BC$的垂直平分线上。
$\because DB=DC$，
$\therefore D$点在线段$BC$的垂直平分线上。
$\therefore AD$是线段$BC$的垂直平分线（两点确定一条直线）。
又$\because$点$E$在$AD$上，
$\therefore AE⊥ BC$，$EB=EC$。
【答案】
该命题是真命题，证明：$\because AB=AC,\therefore A$ 点在线段 $BC$ 的垂直平分线上。$\because DB=DC,\therefore D$ 点在线段 $BC$ 的垂直平分线上,$\therefore AD$ 是线段 $BC$ 的垂直平分线(两点确定一条直线)。又$\because$点 $E$ 在 $AD$ 上,$\therefore AE⊥ BC,EB=EC$
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础证明题，核心考查线段垂直平分线相关知识的应用，解题关键是利用已知条件判断出两个点都在目标线段的垂直平分线上，结合两点确定一条直线即可快速推导结论，解题逻辑清晰直观。
【难度系数】
0.8
要判断该命题的真假，可围绕结论AE⊥BC、BE=EC思考，该结论等价于证明直线AE是线段BC的垂直平分线。首先从已知条件入手：AB=AC说明点A到B、C的距离相等，符合线段垂直平分线的判定条件，即点A在BC的垂直平分线上；同理BD=DC说明点D也在BC的垂直平分线上。根据两点确定一条直线，即可推出A、D两点所在的直线AD就是BC的垂直平分线，而E在AD上，因此可得出对应的垂直和线段相等的结论，即可判定命题为真。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore A$点在线段$BC$的垂直平分线上。
$\because DB=DC$，
$\therefore D$点在线段$BC$的垂直平分线上。
$\therefore AD$是线段$BC$的垂直平分线（两点确定一条直线）。
又$\because$点$E$在$AD$上，
$\therefore AE⊥ BC$，$EB=EC$。
【答案】
该命题是真命题，证明：$\because AB=AC,\therefore A$ 点在线段 $BC$ 的垂直平分线上。$\because DB=DC,\therefore D$ 点在线段 $BC$ 的垂直平分线上,$\therefore AD$ 是线段 $BC$ 的垂直平分线(两点确定一条直线)。又$\because$点 $E$ 在 $AD$ 上,$\therefore AE⊥ BC,EB=EC$
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础证明题，核心考查线段垂直平分线相关知识的应用，解题关键是利用已知条件判断出两个点都在目标线段的垂直平分线上，结合两点确定一条直线即可快速推导结论，解题逻辑清晰直观。
【难度系数】
0.8
12. 请利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明以下命题。
已知:如图，$AB=AC$，$DB=DC$，点E在AD上。求证:$EB=EC$。
已知:如图，$AB=AC$，$DB=DC$，点E在AD上。求证:$EB=EC$。
答案
12. 证明:连结 $BC$。$\because AB=AC,\therefore A$ 点在线段 $BC$ 的垂直平分线上。$\because DB=DC,\therefore D$ 点在线段 $BC$ 的垂直平分线上,$\therefore AD$ 是线段 $BC$ 的垂直平分线(两点确定一条直线)。又$\because$点 $E$ 在 $AD$ 上,$\therefore EB=EC$
解析
【分析】
要证明$EB=EC$，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此只需证明点$E$在$BC$的垂直平分线上即可。首先根据线段垂直平分线的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，结合已知$AB=AC$、$DB=DC$，可推出点$A$、点$D$都在$BC$的垂直平分线上；再根据两点确定一条直线，即可得到$AD$是$BC$的垂直平分线，最后结合点$E$在$AD$上，即可得证。
【解析】
证明：连结$BC$。
$\because AB=AC$，
$\therefore A$点在线段$BC$的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
$\because DB=DC$，
$\therefore D$点在线段$BC$的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
$\therefore AD$是线段$BC$的垂直平分线（两点确定一条直线）。
又$\because$点$E$在$AD$上，
$\therefore EB=EC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
【答案】
证明:连结 $BC$。$\because AB=AC,\therefore A$ 点在线段 $BC$ 的垂直平分线上。$\because DB=DC,\therefore D$ 点在线段 $BC$ 的垂直平分线上,$\therefore AD$ 是线段 $BC$ 的垂直平分线(两点确定一条直线)。又$\because$点 $E$ 在 $AD$ 上,$\therefore EB=EC$
【知识点】
线段垂直平分线性质定理；线段垂直平分线逆定理；两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段垂直平分线相关定理的应用，解题核心是通过已知条件推导出$AD$是$BC$的垂直平分线，相较于多次证明三角形全等的方法，运用垂直平分线的定理和逆定理解题更简洁高效，需熟练掌握定理的内容及适用场景。
【难度系数】
0.8
要证明$EB=EC$，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此只需证明点$E$在$BC$的垂直平分线上即可。首先根据线段垂直平分线的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，结合已知$AB=AC$、$DB=DC$，可推出点$A$、点$D$都在$BC$的垂直平分线上；再根据两点确定一条直线，即可得到$AD$是$BC$的垂直平分线，最后结合点$E$在$AD$上，即可得证。
【解析】
证明：连结$BC$。
$\because AB=AC$，
$\therefore A$点在线段$BC$的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
$\because DB=DC$，
$\therefore D$点在线段$BC$的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
$\therefore AD$是线段$BC$的垂直平分线（两点确定一条直线）。
又$\because$点$E$在$AD$上，
$\therefore EB=EC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
【答案】
证明:连结 $BC$。$\because AB=AC,\therefore A$ 点在线段 $BC$ 的垂直平分线上。$\because DB=DC,\therefore D$ 点在线段 $BC$ 的垂直平分线上,$\therefore AD$ 是线段 $BC$ 的垂直平分线(两点确定一条直线)。又$\because$点 $E$ 在 $AD$ 上,$\therefore EB=EC$
【知识点】
线段垂直平分线性质定理；线段垂直平分线逆定理；两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段垂直平分线相关定理的应用，解题核心是通过已知条件推导出$AD$是$BC$的垂直平分线，相较于多次证明三角形全等的方法，运用垂直平分线的定理和逆定理解题更简洁高效，需熟练掌握定理的内容及适用场景。
【难度系数】
0.8
13.已知命题：“等腰三角形底边上的高线与顶角的平分线重合。”请写出它的逆命题。逆命题成立吗？如果成立，那么证明这个命题。
答案
13. 逆命题:一边上的高线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形。是真命题。已知：如图,在$△ ABC$ 中,$AD⊥ CB$ 于点 $D$,$AD$ 平分$∠ BAC$。求证:$AB=AC$。利用全等即可证出
解析
【分析】
首先明确逆命题的改写方法：将原命题的条件和结论互换，调整语句通顺即可。原命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“该三角形底边上的高线与顶角的平分线重合”，互换后得到逆命题。要判断逆命题是否成立，可结合图形推导：先根据题意写出已知、求证，再利用角平分线的性质、高线的定义找到全等条件，证明两个三角形全等，由全等对应边相等即可证明三角形为等腰三角形。
【解析】
1. 逆命题：一边上的高线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形，该逆命题成立。
2. 证明过程：
已知：如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$于点$D$，$AD$平分$∠ BAC$。
求证：$AB=AC$。
证明：
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAD \\AD=AD \\∠ ADB=∠ ADC\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{ASA})$
$\therefore AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，故逆命题成立。
【答案】
逆命题：一边上的高线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形；逆命题成立，证明如上。
【知识点】
逆命题的改写；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题同时考查命题相关概念和基础几何证明，改写逆命题的核心是准确拆分原命题的条件和结论，证明线段相等的常用方法是证明线段所在的两个三角形全等，属于基础类几何题，对学生的逻辑推导能力有基础要求。
【难度系数】
0.7
首先明确逆命题的改写方法：将原命题的条件和结论互换，调整语句通顺即可。原命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“该三角形底边上的高线与顶角的平分线重合”，互换后得到逆命题。要判断逆命题是否成立，可结合图形推导：先根据题意写出已知、求证，再利用角平分线的性质、高线的定义找到全等条件，证明两个三角形全等，由全等对应边相等即可证明三角形为等腰三角形。
【解析】
1. 逆命题：一边上的高线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形，该逆命题成立。
2. 证明过程：
已知：如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$于点$D$，$AD$平分$∠ BAC$。
求证：$AB=AC$。
证明：
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAD \\AD=AD \\∠ ADB=∠ ADC\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{ASA})$
$\therefore AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，故逆命题成立。
【答案】
逆命题：一边上的高线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形；逆命题成立，证明如上。
【知识点】
逆命题的改写；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题同时考查命题相关概念和基础几何证明，改写逆命题的核心是准确拆分原命题的条件和结论，证明线段相等的常用方法是证明线段所在的两个三角形全等，属于基础类几何题，对学生的逻辑推导能力有基础要求。
【难度系数】
0.7
