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1.若A,B两城之间有n个集散点(包括A,B城),货车离开时标准包裹箱数量最多的集散点是（
A.第1个
B.第n个
C.中间位置的集散点
D.随机任意一个
C
）A.第1个
B.第n个
C.中间位置的集散点
D.随机任意一个
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道生活中的优化类问题，可转化为二次函数最值问题求解。首先明确货车行驶路径为从第1个集散点（A城）到第n个集散点（B城），离开某一集散点时，车上的包裹均为前面所有点发往该点之后所有点的货物。我们可以设离开第k个集散点时包裹数量为y，推导y与k的函数关系，再利用二次函数最值性质找到y最大时k的位置即可。
【解析】
解：设货车从第1个集散点（A城）出发驶向第n个集散点（B城），离开第k个集散点时车上的标准包裹箱数量为y。
离开第k个集散点时，车上的包裹是前k个集散点发往第k+1到第n个（共$n-k$个）集散点的货物，假设每个发件点到每个收件点的包裹量为1单位，则：
$ y = k(n - k) = -k^2 + nk $
这是关于k的二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，函数图像开口向下，当$k = \frac{n}{2}$时，y取得最大值，即k为中间位置的集散点时，货车离开时的包裹箱数量最多。
故选C。
【答案】C
【知识点】二次函数最值应用，实际问题建模
【点评】本题结合物流配送的实际场景，考查了将实际问题转化为数学函数模型的能力，以及利用二次函数性质求解最值的方法，贴合生活实际，能很好地考查知识的灵活应用能力。
【难度系数】0.6
这是一道生活中的优化类问题，可转化为二次函数最值问题求解。首先明确货车行驶路径为从第1个集散点（A城）到第n个集散点（B城），离开某一集散点时，车上的包裹均为前面所有点发往该点之后所有点的货物。我们可以设离开第k个集散点时包裹数量为y，推导y与k的函数关系，再利用二次函数最值性质找到y最大时k的位置即可。
【解析】
解：设货车从第1个集散点（A城）出发驶向第n个集散点（B城），离开第k个集散点时车上的标准包裹箱数量为y。
离开第k个集散点时，车上的包裹是前k个集散点发往第k+1到第n个（共$n-k$个）集散点的货物，假设每个发件点到每个收件点的包裹量为1单位，则：
$ y = k(n - k) = -k^2 + nk $
这是关于k的二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，函数图像开口向下，当$k = \frac{n}{2}$时，y取得最大值，即k为中间位置的集散点时，货车离开时的包裹箱数量最多。
故选C。
【答案】C
【知识点】二次函数最值应用，实际问题建模
【点评】本题结合物流配送的实际场景，考查了将实际问题转化为数学函数模型的能力，以及利用二次函数性质求解最值的方法，贴合生活实际，能很好地考查知识的灵活应用能力。
【难度系数】0.6
2.当球员带球行进的路线与球门所在直线平行时,下列说法正确的是 （
A.行进路线上存在使射门角度最大的点C
B.行进路线上不存在使射门角度最大的点C
C.仅当球门长度大于10 m时存在使射门角度最大的点C
D.仅当球员距离球门超过12 m时存在使射门角度最大的点C
A
）A.行进路线上存在使射门角度最大的点C
B.行进路线上不存在使射门角度最大的点C
C.仅当球门长度大于10 m时存在使射门角度最大的点C
D.仅当球员距离球门超过12 m时存在使射门角度最大的点C
答案
2.A
解析
【分析】
首先明确射门角度就是球员位置对球门两个端点的张角，我们需要在平行于球门所在直线的行进路线上，找张角最大的点。可以结合圆的相关性质分析：过球门两个端点的所有圆中，若某个圆与行进路线相切，那么切点处的张角是最大的。这是因为行进路线上其余的点都在该圆外，根据圆外角小于同弧所对的圆周角的性质，其余点的张角都小于切点处的张角，因此一定存在这样的最大张角点，和球门长度、球员距离球门的距离无关。
【解析】
设球门的两个端点为A、B，球员的行进路线为直线l，且l平行于AB。
1. 过A、B两点作圆，使该圆与直线l相切，记切点为C。
2. 对于直线l上任意一个异于C的点P，点P都在上述圆的外部。根据圆的性质：圆外角小于它所对弧对应的圆周角，可得∠APB ＜ ∠ACB。
3. 由此可知点C就是行进路线上射门角度最大的点，该点的存在与球门长度、球员距离球门的距离无关。因此选项A正确，B、C、D错误。
【答案】
A
【知识点】
圆周角性质，直线与圆相切，圆外角性质
【点评】
本题结合体育运动场景，考查圆的几何性质在实际最值问题中的应用，解题的核心是将射门张角的最值问题转化为过两定点的圆与直线相切的几何模型，能有效锻炼将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
首先明确射门角度就是球员位置对球门两个端点的张角，我们需要在平行于球门所在直线的行进路线上，找张角最大的点。可以结合圆的相关性质分析：过球门两个端点的所有圆中，若某个圆与行进路线相切，那么切点处的张角是最大的。这是因为行进路线上其余的点都在该圆外，根据圆外角小于同弧所对的圆周角的性质，其余点的张角都小于切点处的张角，因此一定存在这样的最大张角点，和球门长度、球员距离球门的距离无关。
【解析】
设球门的两个端点为A、B，球员的行进路线为直线l，且l平行于AB。
1. 过A、B两点作圆，使该圆与直线l相切，记切点为C。
2. 对于直线l上任意一个异于C的点P，点P都在上述圆的外部。根据圆的性质：圆外角小于它所对弧对应的圆周角，可得∠APB ＜ ∠ACB。
3. 由此可知点C就是行进路线上射门角度最大的点，该点的存在与球门长度、球员距离球门的距离无关。因此选项A正确，B、C、D错误。
【答案】
A
【知识点】
圆周角性质，直线与圆相切，圆外角性质
【点评】
本题结合体育运动场景，考查圆的几何性质在实际最值问题中的应用，解题的核心是将射门张角的最值问题转化为过两定点的圆与直线相切的几何模型，能有效锻炼将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
3.底面半径$ r=60 \ \mathrm{mm} $，高$ h=123 \ \mathrm{mm} $的圆柱体产品，12个/箱单层齐排列时，表面积最小的包装箱对应的宽和长分别为 （
A.120 mm，1 440 mm
B.240 mm，720 mm
C.360 mm，480 mm
D.420 mm，540 mm
C
）A.120 mm，1 440 mm
B.240 mm，720 mm
C.360 mm，480 mm
D.420 mm，540 mm
答案
3.C
解析
【分析】首先明确单层齐排列圆柱体时，每个圆柱的直径为2r=120mm，包装箱的高固定等于圆柱的高123mm。长方体表面积公式为$S=2(ab+ah+bh)$，其中12个圆柱齐排列时底面积$ab$是固定值，高$h$也固定，因此要使表面积最小，只需底面长和宽的和最小。接下来列举12的所有正整数因数组合（对应行数×列数），找到和最小的组合，即可算出对应的长和宽，同时注意“齐排列”隐含长、宽为直径整数倍的条件，可直接排除不符合的选项。
【解析】
步骤1：计算圆柱底面直径：$d=2r=2×60=120\ \mathrm{mm}$，包装箱高度固定为圆柱高度$123\ \mathrm{mm}$。
步骤2：先排除不符合“齐排列”要求的选项：D选项的420mm、540mm均不是120mm的整数倍，不可能是齐排列后的边长，直接排除D。
步骤3：长方体表面积$S=2(ab+ah+bh)$，12个圆柱齐排列时底面积$ab=12× d^2=12×120^2=172800\ \mathrm{mm^2}$为固定值，高$h$固定，因此只需$a+b$最小即可让$S$最小。
步骤4：列举12的正整数因数组合（行数×列数），计算对应长、宽及和：
①$1×12$：对应宽$1×120=120\ \mathrm{mm}$，长$12×120=1440\ \mathrm{mm}$，$a+b=1560\ \mathrm{mm}$；
②$2×6$：对应宽$2×120=240\ \mathrm{mm}$，长$6×120=720\ \mathrm{mm}$，$a+b=960\ \mathrm{mm}$；
③$3×4$：对应宽$3×120=360\ \mathrm{mm}$，长$4×120=480\ \mathrm{mm}$，$a+b=840\ \mathrm{mm}$。
步骤5：对比可知$3×4$组合的$a+b$最小，对应表面积最小。
【答案】C
【知识点】长方体表面积计算，最值问题，因数分解
【点评】本题结合生活实际考查优化问题，解题核心是将表面积最小的问题转化为长、宽和最小的问题，解题时要注意挖掘题干中“齐排列”的隐含条件，快速排除错误选项后通过列举法找到最优解。
【难度系数】0.7
【解析】
步骤1：计算圆柱底面直径：$d=2r=2×60=120\ \mathrm{mm}$，包装箱高度固定为圆柱高度$123\ \mathrm{mm}$。
步骤2：先排除不符合“齐排列”要求的选项：D选项的420mm、540mm均不是120mm的整数倍，不可能是齐排列后的边长，直接排除D。
步骤3：长方体表面积$S=2(ab+ah+bh)$，12个圆柱齐排列时底面积$ab=12× d^2=12×120^2=172800\ \mathrm{mm^2}$为固定值，高$h$固定，因此只需$a+b$最小即可让$S$最小。
步骤4：列举12的正整数因数组合（行数×列数），计算对应长、宽及和：
①$1×12$：对应宽$1×120=120\ \mathrm{mm}$，长$12×120=1440\ \mathrm{mm}$，$a+b=1560\ \mathrm{mm}$；
②$2×6$：对应宽$2×120=240\ \mathrm{mm}$，长$6×120=720\ \mathrm{mm}$，$a+b=960\ \mathrm{mm}$；
③$3×4$：对应宽$3×120=360\ \mathrm{mm}$，长$4×120=480\ \mathrm{mm}$，$a+b=840\ \mathrm{mm}$。
步骤5：对比可知$3×4$组合的$a+b$最小，对应表面积最小。
【答案】C
【知识点】长方体表面积计算，最值问题，因数分解
【点评】本题结合生活实际考查优化问题，解题核心是将表面积最小的问题转化为长、宽和最小的问题，解题时要注意挖掘题干中“齐排列”的隐含条件，快速排除错误选项后通过列举法找到最优解。
【难度系数】0.7
