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【例3】小小的螺帽在日常生活中有着很大的作用，常用的螺帽有六角螺帽和四角螺帽。请比较一下，制作同样厚度和宽度（指平行边间的距离）的这两种螺帽坯（如图），哪种用料少？（圆孔的半径均为r）
答案
六角螺帽坯用料少.
解析
【分析】
要判断哪种螺帽用料少，因两种螺帽厚度相同，用料体积等于横截面积乘厚度，所以只需比较二者横截面积的大小即可。又因为两种螺帽的圆孔半径相同，圆孔面积相等，因此只需比较外框正六边形和正方形的面积大小，面积更小的用料更少。我们可以先设平行边的距离为h，分别用h表示出正六边形和正方形的面积，再比较二者大小即可得出结论。
【解析】
设两种螺帽平行边的距离为$ h $，厚度为$ d $，圆孔半径均为$ r $。
1. 计算正方形外框的面积：
正方形的边长等于平行边的距离$ h $，因此正方形面积$ S_{\mathrm{正}} = h^2 $。
2. 计算正六边形外框的面积：
正六边形对边距离为$ h $，则其边心距为$ \frac{h}{2} $。设正六边形边长为$ a $，正六边形可分割为6个边长为$ a $的等边三角形，等边三角形的高等于边心距，即：
$ \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{h}{2} $，解得$ a = \frac{h}{\sqrt{3}} $。
单个等边三角形的面积为$ \frac{1}{2} × a × \frac{h}{2} = \frac{1}{2} × \frac{h}{\sqrt{3}} × \frac{h}{2} = \frac{h^2}{4\sqrt{3}} $，
因此正六边形的面积$ S_{\mathrm{六}} = 6 × \frac{h^2}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}h^2 \approx 0.866h^2 $。
3. 比较面积大小：
因为$ \frac{\sqrt{3}}{2}h^2 ＜ h^2 $，且两种螺帽的圆孔面积均为$ π r^2 $，厚度$ d $相同，因此六角螺帽的体积$ V_{\mathrm{六}} = (\frac{\sqrt{3}}{2}h^2 - π r^2)d $小于四角螺帽的体积$ V_{\mathrm{四}} = (h^2 - π r^2)d $，即六角螺帽用料更少。
【答案】
六角螺帽坯用料少.
【知识点】
正多边形面积计算；体积与面积关系；实数大小比较
【点评】
本题贴合生活实际，将实际用料问题转化为几何图形的面积、体积比较问题，解题的关键是抓住厚度、圆孔面积相同的条件，将复杂问题简化为正六边形和正方形的面积比较，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断哪种螺帽用料少，因两种螺帽厚度相同，用料体积等于横截面积乘厚度，所以只需比较二者横截面积的大小即可。又因为两种螺帽的圆孔半径相同，圆孔面积相等，因此只需比较外框正六边形和正方形的面积大小，面积更小的用料更少。我们可以先设平行边的距离为h，分别用h表示出正六边形和正方形的面积，再比较二者大小即可得出结论。
【解析】
设两种螺帽平行边的距离为$ h $，厚度为$ d $，圆孔半径均为$ r $。
1. 计算正方形外框的面积：
正方形的边长等于平行边的距离$ h $，因此正方形面积$ S_{\mathrm{正}} = h^2 $。
2. 计算正六边形外框的面积：
正六边形对边距离为$ h $，则其边心距为$ \frac{h}{2} $。设正六边形边长为$ a $，正六边形可分割为6个边长为$ a $的等边三角形，等边三角形的高等于边心距，即：
$ \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{h}{2} $，解得$ a = \frac{h}{\sqrt{3}} $。
单个等边三角形的面积为$ \frac{1}{2} × a × \frac{h}{2} = \frac{1}{2} × \frac{h}{\sqrt{3}} × \frac{h}{2} = \frac{h^2}{4\sqrt{3}} $，
因此正六边形的面积$ S_{\mathrm{六}} = 6 × \frac{h^2}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}h^2 \approx 0.866h^2 $。
3. 比较面积大小：
因为$ \frac{\sqrt{3}}{2}h^2 ＜ h^2 $，且两种螺帽的圆孔面积均为$ π r^2 $，厚度$ d $相同，因此六角螺帽的体积$ V_{\mathrm{六}} = (\frac{\sqrt{3}}{2}h^2 - π r^2)d $小于四角螺帽的体积$ V_{\mathrm{四}} = (h^2 - π r^2)d $，即六角螺帽用料更少。
【答案】
六角螺帽坯用料少.
【知识点】
正多边形面积计算；体积与面积关系；实数大小比较
【点评】
本题贴合生活实际，将实际用料问题转化为几何图形的面积、体积比较问题，解题的关键是抓住厚度、圆孔面积相同的条件，将复杂问题简化为正六边形和正方形的面积比较，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
【例】已知AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，过点C作$\odot O$的切线CP交AB的延长线于点P，D为弧AC上一点，连接AD，DC，BC.
(1)如图①，若$∠ P=42°$，求$∠ ADC$的大小.
(2)如图②，连接BD，若$BC=DC=2\sqrt{5}$，$BD=8$，求$\odot O$的半径.
(1)如图①，若$∠ P=42°$，求$∠ ADC$的大小.
(2)如图②，连接BD，若$BC=DC=2\sqrt{5}$，$BD=8$，求$\odot O$的半径.
答案
(1)$∠ADC=114°$.
(2)$\odot O$的半径为5.
(2)$\odot O$的半径为5.
解析
【分析】
(1) 求解∠ADC时，先连接OC，利用切线的性质得到直角，先求出∠COP的度数，再结合等腰三角形性质得到∠ABC的度数，最后根据圆内接四边形对角互补的性质计算∠ADC即可。
(2) 已知DC=BC，可得两段对应的弧相等，进而推出对应圆周角相等。过C作BD的垂线，利用等腰三角形三线合一得到BE的长度，用勾股定理求出CE的长度，得到∠DBC的正切值，转化为∠BAC的正切值求出AC的长度，最后在直角三角形ACB中用勾股定理求出直径，即可得到半径。
【解析】
(1) 连接OC，
∵ CP是⊙O的切线，
∴ OC⊥CP，即∠OCP=90°，
∵ ∠P=42°，
∴ ∠COP=90°-∠P=90°-42°=48°，
∵ OC=OB，
∴ ∠OBC=∠OCB=(180°-∠COP)÷2=(180°-48°)÷2=66°，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
又
∵ ∠ABC=∠OBC=66°，
∴ ∠ADC=180°-66°=114°。
(2) 过点C作CE⊥BD于点E，
∵ DC=BC=2√5，
∴ △BCD为等腰三角形，CE为BD边上的中线，
∴ BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×8=4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE=$\sqrt{BC^2 - BE^2}$=$\sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 4^2}$=$\sqrt{20-16}$=2，
∴ tan∠DBC=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∵ DC=BC，
∴ 弧DC=弧BC，
∴ ∠DBC=∠BAC，
∴ tan∠BAC=tan∠DBC=$\frac{1}{2}$，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，已知BC=2√5，
∴ AC=2BC=4√5，
由勾股定理得AB=$\sqrt{AC^2 + BC^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2}$=$\sqrt{80+20}$=10，
∴ ⊙O的半径为$\frac{1}{2}$AB=5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ADC=114°}$；(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
切线的性质；圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的关键是结合已知条件合理构造辅助线，利用圆的相关性质实现角和边的关系转化，再结合勾股定理、三角函数等知识求解。
【难度系数】
0.65
(1) 求解∠ADC时，先连接OC，利用切线的性质得到直角，先求出∠COP的度数，再结合等腰三角形性质得到∠ABC的度数，最后根据圆内接四边形对角互补的性质计算∠ADC即可。
(2) 已知DC=BC，可得两段对应的弧相等，进而推出对应圆周角相等。过C作BD的垂线，利用等腰三角形三线合一得到BE的长度，用勾股定理求出CE的长度，得到∠DBC的正切值，转化为∠BAC的正切值求出AC的长度，最后在直角三角形ACB中用勾股定理求出直径，即可得到半径。
【解析】
(1) 连接OC，
∵ CP是⊙O的切线，
∴ OC⊥CP，即∠OCP=90°，
∵ ∠P=42°，
∴ ∠COP=90°-∠P=90°-42°=48°，
∵ OC=OB，
∴ ∠OBC=∠OCB=(180°-∠COP)÷2=(180°-48°)÷2=66°，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
又
∵ ∠ABC=∠OBC=66°，
∴ ∠ADC=180°-66°=114°。
(2) 过点C作CE⊥BD于点E，
∵ DC=BC=2√5，
∴ △BCD为等腰三角形，CE为BD边上的中线，
∴ BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×8=4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE=$\sqrt{BC^2 - BE^2}$=$\sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 4^2}$=$\sqrt{20-16}$=2，
∴ tan∠DBC=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∵ DC=BC，
∴ 弧DC=弧BC，
∴ ∠DBC=∠BAC，
∴ tan∠BAC=tan∠DBC=$\frac{1}{2}$，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，已知BC=2√5，
∴ AC=2BC=4√5，
由勾股定理得AB=$\sqrt{AC^2 + BC^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2}$=$\sqrt{80+20}$=10，
∴ ⊙O的半径为$\frac{1}{2}$AB=5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ADC=114°}$；(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
切线的性质；圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的关键是结合已知条件合理构造辅助线，利用圆的相关性质实现角和边的关系转化，再结合勾股定理、三角函数等知识求解。
【难度系数】
0.65
