2.如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E，点M在$\odot O$上，MD经过圆心O，连接MB，交CD于点F.
(1)若$CD=16$，$BE=4$，求$\odot O$的半径；
(2)若$FM=FD$，求$∠ D$的度数.

解:(1)$\odot O$的半径为10.
(2)$∠D=30°$.

【分析】
(1) 求圆的半径时，先利用垂径定理得到弦CD一半的长度，再设半径为r，用r表示出直角三角形ODE的直角边OE，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程即可求解。
(2) 求∠D的度数时，先由FM=FD的等腰三角形性质推出∠FMD=∠D，再根据圆周角定理得到圆心角∠BOD和圆周角∠BMD的数量关系，最后结合CD⊥AB得到的直角三角形两锐角互余的关系，代入计算即可求出∠D。
【解析】
(1)
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥AB$于点E，$CD=16$
∴由垂径定理得$DE=\frac{1}{2}CD=8$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OB=r$
∵$BE=4$，
∴$OE=OB-BE=r-4$
在$Rt△ ODE$中，根据勾股定理有$OE^2+DE^2=OD^2$
代入得：$(r-4)^2+8^2=r^2$
展开整理得：$r^2-8r+80=r^2$，解得$r=10$
(2)
∵∠BMD是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角
∴由圆周角定理得$∠BMD=\frac{1}{2}∠BOD$
∵$FM=FD$，
∴$△ FMD$为等腰三角形，$∠FMD=∠D$
∴$∠D=\frac{1}{2}∠BOD$，即$∠BOD=2∠D$
∵$CD⊥AB$，
∴$∠OED=90°$
在$Rt△ OED$中，$∠BOD+∠D=90°$
将$∠BOD=2∠D$代入得：$2∠D+∠D=90°$
解得$∠D=30°$
【答案】
(1) $\odot O$的半径为10；
(2) $∠ D=30°$
【知识点】
1. 垂径定理
2. 勾股定理
3. 圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，结合了三角形的相关性质进行考查，解题的核心是熟练运用圆的基本性质构造直角三角形、寻找角的数量关系，适合巩固圆的基础知识点。
【难度系数】
0.7

【例2】如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，连接AC。若$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，$∠ ACB=40°$，则$∠ D$的度数是（）


A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$

C

【分析】
解题时先根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等，结合已知∠ACB=40°得到∠BAC的度数；再利用三角形内角和定理计算出∠ABC的度数；最后根据圆内接四边形的对角互补，即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ BAC=∠ ACB=40°$（同圆中，等弧所对的圆周角相等），
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ ACB=180°-40°-40°=100°$，
∵四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴$∠ D+∠ ABC=180°$（圆内接四边形的对角互补），
∴$∠ D=180°-100°=80°$。
故本题选C。
【答案】
C
【知识点】
等弧对等圆周角；三角形内角和定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握圆周角相关性质和圆内接四边形的性质，通过角的等量关系逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.8

|思路分析|
思考1:由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,可知$∠ ACB=∠$.
思考2:由四边形ABCD内接于$\odot O$,可知$∠ B+∠ D=$.
【规律方法】
圆内接四边形的性质揭示了角的互补关系,进一步可转化为圆内接四边形的外角和它的内对角相等的关系,进而可证明角度相等或计算角的度数.

思考1:$BAC$
思考2:$180°$

【分析】
思考1：首先回忆圆周角定理的推论：同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。先确定$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{BC}$各自所对的圆周角，$\overset{\frown}{AB}$对的圆周角为∠ACB，$\overset{\frown}{BC}$对的圆周角为∠BAC，结合等弧条件即可得出相等的角。
思考2：回忆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。∠B和∠D是圆内接四边形ABCD的一组对角，据此可直接得出两个角的和。
【解析】
思考1：在⊙O中，根据同圆中等弧所对的圆周角相等的推论，已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角是∠ACB，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角是∠BAC，因此$∠ ACB=∠ BAC$。
思考2：因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质，∠B与∠D是一组对角，因此$∠ B+∠ D=180°$。
【答案】
思考1：$BAC$；思考2：$180°$
【知识点】
圆周角定理推论；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础考查题，侧重对基础定理的识别与直接应用，熟练掌握对应的定理内容即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3. 如图, 在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中, $∠ ADE$是四边形$ABCD$的一个外角, 且$DA$平分$∠ BDE$.
(1)求证:$AB=AC$.
(2)若点$F$在$\overset{\frown}{BC}$上, 且$∠ F = 118°$, 求$∠ ADC$的度数.

(1)证明:因为 DA 平分$∠BDE$,
所以$∠ADE=∠ADB$.
由圆周角定理的推论,得$∠ADB=∠ACB$,
所以$∠ADE=∠ACB$.
因为四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,
所以$∠ABC+∠ADC=180°$.
因为$∠ADC+∠ADE=180°$,
所以$∠ABC=∠ADE=∠ACB$,
所以$AB=AC$.
(2)解:$∠ADC=121°$.

【分析】
(1)要证明AB=AC，可通过证明∠ABC=∠ACB，利用等角对等边得到结论。已知DA平分∠BDE，可得∠ADE=∠ADB，结合圆周角定理的推论可知同弧所对的∠ADB=∠ACB，再利用圆内接四边形的性质，结合∠ADE与∠ADC互补、∠ABC与∠ADC互补，可推出∠ABC=∠ADE，进而得到∠ABC=∠ACB，完成证明。
(2)要求∠ADC的度数，先利用圆内接四边形对角互补的性质，由∠F的度数求出∠BAC的度数，再结合(1)中AB=AC的结论，计算出等腰△ABC中∠ABC的度数，最后根据圆内接四边形对角互补即可求出∠ADC的度数。
【解析】
(1)证明：
∵ DA平分∠BDE，
∴ ∠ADE=∠ADB。
根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=∠ACB，
∴ ∠ADE=∠ACB。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC+∠ADC=180°。
又
∵ ∠ADC+∠ADE=180°（平角的定义），
∴ ∠ABC=∠ADE，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∴ AB=AC（等角对等边）。
(2)解：
∵ 四边形ABFC是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAC+∠F=180°，
∵ ∠F=118°，
∴ ∠BAC=180°-118°=62°。
由(1)知AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-62°)÷2=59°。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC+∠ADC=180°，
∴ ∠ADC=180°-59°=121°。
【答案】
(1)证明成立；(2)$∠ ADC=121°$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是灵活运用圆周角定理和圆内接四边形的性质完成角的等量代换，同时结合等腰三角形的性质进行角度计算，考查了逻辑推理能力和基础计算能力，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7