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1.下列图形中的角是圆周角的是 （
B
）答案
1.B
解析
【分析】
要判断角是否为圆周角，需紧扣圆周角的两个核心判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交（即每条边除顶点外，还存在另一个交点在圆上）。我们逐个验证选项：A的顶点在圆内，不满足条件①；C的两条边除顶点外无其他交点在圆上，不满足条件②；D的其中一条边仅顶点与圆相交，不满足条件②；只有B同时满足两个判定条件。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
选项A：角的顶点位于圆内部，不符合“顶点在圆上”的要求，排除；
选项B：顶点在圆上，且两条边均与圆相交，符合圆周角的定义；
选项C：角的两条边除顶点外均不与圆相交，不符合“两边都与圆相交”的要求，排除；
选项D：角的其中一条边仅顶点与圆相交，不符合“两边都与圆相交”的要求，排除。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念类题型，解题关键是准确掌握圆周角的判定特征，逐一比对选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断角是否为圆周角，需紧扣圆周角的两个核心判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交（即每条边除顶点外，还存在另一个交点在圆上）。我们逐个验证选项：A的顶点在圆内，不满足条件①；C的两条边除顶点外无其他交点在圆上，不满足条件②；D的其中一条边仅顶点与圆相交，不满足条件②；只有B同时满足两个判定条件。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
选项A：角的顶点位于圆内部，不符合“顶点在圆上”的要求，排除；
选项B：顶点在圆上，且两条边均与圆相交，符合圆周角的定义；
选项C：角的两条边除顶点外均不与圆相交，不符合“两边都与圆相交”的要求，排除；
选项D：角的其中一条边仅顶点与圆相交，不符合“两边都与圆相交”的要求，排除。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念类题型，解题关键是准确掌握圆周角的判定特征，逐一比对选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.如图,点A,B,C均在$\odot O$上,若$∠ BOC=100°$,则$∠ BAC$的度数为 (
A.$80°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
C
)A.$80°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先观察两个角的类型和所对的弧：∠BOC是顶点在圆心的角，为圆心角，所对的弧是弧BC；∠BAC是顶点在圆周上的角，为圆周角，所对的弧同样是弧BC。结合圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此直接用圆心角的度数除以2即可得到∠BAC的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。
本题中∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，因此可得：
$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$
将$∠ BOC=100°$代入计算：
$∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确判断两个角对应的弧，明确圆周角和圆心角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察两个角的类型和所对的弧：∠BOC是顶点在圆心的角，为圆心角，所对的弧是弧BC；∠BAC是顶点在圆周上的角，为圆周角，所对的弧同样是弧BC。结合圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此直接用圆心角的度数除以2即可得到∠BAC的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。
本题中∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，因此可得：
$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$
将$∠ BOC=100°$代入计算：
$∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确判断两个角对应的弧，明确圆周角和圆心角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,若$∠D=50°$,则$∠B$的度数是 （
A.$115°$
B.$120°$
C.$125°$
D.$130°$
D
）A.$115°$
B.$120°$
C.$125°$
D.$130°$
答案
3.D
解析
【分析】
看到题干中四边形内接于圆的条件，首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。观察图形可知∠B与∠D是该圆内接四边形的一组对角，因此二者之和为180°，已知∠D的度数，代入计算即可求出∠B的度数。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
根据圆内接四边形的性质，对角互补，可得：$∠ B + ∠ D = 180°$，
又已知$∠ D=50°$，
∴$∠ B = 180° - ∠ D = 180° - 50° = 130°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础题，直接考查圆内接四边形对角互补的性质，熟练掌握该性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
看到题干中四边形内接于圆的条件，首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。观察图形可知∠B与∠D是该圆内接四边形的一组对角，因此二者之和为180°，已知∠D的度数，代入计算即可求出∠B的度数。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
根据圆内接四边形的性质，对角互补，可得：$∠ B + ∠ D = 180°$，
又已知$∠ D=50°$，
∴$∠ B = 180° - ∠ D = 180° - 50° = 130°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础题，直接考查圆内接四边形对角互补的性质，熟练掌握该性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4.如图，A，B，P是半径为2的$\odot O$上的三点，$∠ APB=45°$，则弦$AB$的长为 （
A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$
D
）A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
4.D
解析
【分析】
要求弦AB的长，首先观察已知条件给出了弧AB所对的圆周角∠APB=45°，我们可以利用圆周角定理，连接OA、OB得到弧AB所对的圆心角，将圆周角的关系转化为圆心角的关系，确定△AOB的形状后，结合已知的半径长度，用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
连接OA、OB，
∵∠APB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ APB=2×45°=90°$。
已知$\odot O$的半径为2，故$OA=OB=2$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求弦长的基础题型，解题关键是通过作辅助线构造同弧对应的圆心角，将已知圆周角的条件转化为圆心角的角度，再结合勾股定理计算弦长，解题思路具有通用性。
【难度系数】
0.7
要求弦AB的长，首先观察已知条件给出了弧AB所对的圆周角∠APB=45°，我们可以利用圆周角定理，连接OA、OB得到弧AB所对的圆心角，将圆周角的关系转化为圆心角的关系，确定△AOB的形状后，结合已知的半径长度，用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
连接OA、OB，
∵∠APB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ APB=2×45°=90°$。
已知$\odot O$的半径为2，故$OA=OB=2$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求弦长的基础题型，解题关键是通过作辅助线构造同弧对应的圆心角，将已知圆周角的条件转化为圆心角的角度，再结合勾股定理计算弦长，解题思路具有通用性。
【难度系数】
0.7
5.如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，E是AB延长线上一点.若$∠ ADC=70°$，则$∠ CBE$的度数为（
A.$50°$
B.$70°$
C.$90°$
D.$110°$
B
）A.$50°$
B.$70°$
C.$90°$
D.$110°$
答案
5.B
解析
【分析】
首先观察图形，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，要求∠CBE的度数，可结合圆内接四边形的性质和邻补角的性质推导。首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即一组对角的和为180°；同时∠CBE与∠ABC是邻补角，二者和也为180°，通过等量代换即可得到∠CBE与已知角∠ADC的关系。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补）
又
∵∠ABC + ∠CBE = 180°（邻补角的定义）
∴∠CBE = ∠ADC（同角的补角相等）
∵∠ADC=70°
∴∠CBE=70°
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；补角的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握“圆内接四边形的外角等于它的内对角”这一结论可直接快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，要求∠CBE的度数，可结合圆内接四边形的性质和邻补角的性质推导。首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即一组对角的和为180°；同时∠CBE与∠ABC是邻补角，二者和也为180°，通过等量代换即可得到∠CBE与已知角∠ADC的关系。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补）
又
∵∠ABC + ∠CBE = 180°（邻补角的定义）
∴∠CBE = ∠ADC（同角的补角相等）
∵∠ADC=70°
∴∠CBE=70°
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；补角的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握“圆内接四边形的外角等于它的内对角”这一结论可直接快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,过点B作$BE// CD$交AD于点E.若$∠ AEB=75°$,则$∠ ABC$的度数为（
A.$95°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$110°$
C
）A.$95°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$110°$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，出现平行线可先利用平行线的性质转化角，将已知的∠AEB转化为圆内接四边形的内角∠D；再结合圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵BE//CD，
∴∠D = ∠AEB = 75°（两直线平行，同位角相等）。
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC + ∠D = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠ABC = 180° - 75° = 105°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础题，重点考查几何基础性质的综合运用，解题的核心是通过平行线完成已知角到圆内接四边形内角的转化，再结合圆内接四边形性质计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，出现平行线可先利用平行线的性质转化角，将已知的∠AEB转化为圆内接四边形的内角∠D；再结合圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵BE//CD，
∴∠D = ∠AEB = 75°（两直线平行，同位角相等）。
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC + ∠D = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠ABC = 180° - 75° = 105°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础题，重点考查几何基础性质的综合运用，解题的核心是通过平行线完成已知角到圆内接四边形内角的转化，再结合圆内接四边形性质计算即可。
【难度系数】
0.8
7.如图，CD是$\odot O$的直径，点A，B在$\odot O$上。若$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，$∠ AOC=32°$，则$∠ D=$
16
°。答案
7.16
解析
【分析】
解题时先利用弧相等的性质推导对应的圆心角相等，得到∠BOC的度数，再结合圆周角定理，求出同弧所对的圆周角∠D的度数即可。具体思路：1. 已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，根据同圆中等弧对应等圆心角，可得∠BOC=∠AOC；2. ∠D是$\overset{\frown}{BC}$对应的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角，根据圆周角定理，圆周角等于对应圆心角的一半，即可计算出∠D的数值。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，
∴$∠ BOC = ∠ AOC = 32°$，
又
∵$∠ D$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴$∠ D = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 32° = 16°$。
【答案】
16
【知识点】
等弧与圆心角的关系；圆周角定理
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握弧、圆心角、圆周角之间的对应关系，牢记圆周角定理的内容即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先利用弧相等的性质推导对应的圆心角相等，得到∠BOC的度数，再结合圆周角定理，求出同弧所对的圆周角∠D的度数即可。具体思路：1. 已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，根据同圆中等弧对应等圆心角，可得∠BOC=∠AOC；2. ∠D是$\overset{\frown}{BC}$对应的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角，根据圆周角定理，圆周角等于对应圆心角的一半，即可计算出∠D的数值。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，
∴$∠ BOC = ∠ AOC = 32°$，
又
∵$∠ D$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴$∠ D = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 32° = 16°$。
【答案】
16
【知识点】
等弧与圆心角的关系；圆周角定理
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握弧、圆心角、圆周角之间的对应关系，牢记圆周角定理的内容即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8.如图，∠DAE是$\odot O$的内接四边形ABCD的一个外角，$∠ BOD = 118°$，求$∠ DAE$的度数.
答案
解:$∠DAE=59°$.
解析
【分析】
解题时先结合已知的圆心角∠BOD，利用圆周角定理求出同弧所对的圆周角∠BCD的度数，再根据圆内接四边形的外角等于其内对角的性质，即可推出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠BCD是弧BD所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×118°=59°$。
又
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAE是其外角，
根据圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角，
∴$∠ DAE=∠ BCD=59°$。
【答案】
$∠ DAE=59°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆周角定理与圆内接四边形的外角性质，熟练掌握相关定理性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知的圆心角∠BOD，利用圆周角定理求出同弧所对的圆周角∠BCD的度数，再根据圆内接四边形的外角等于其内对角的性质，即可推出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠BCD是弧BD所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×118°=59°$。
又
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAE是其外角，
根据圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角，
∴$∠ DAE=∠ BCD=59°$。
【答案】
$∠ DAE=59°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆周角定理与圆内接四边形的外角性质，熟练掌握相关定理性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.如图，AB是$\odot O$的直径，D是弦AC的延长线上一点，DB的延长线交$\odot O$于点E，且$CD=CE$.
(1)求证:$AC=CD$.
(2)连接AE，若$∠ D=25°$，求$∠ BAE$的度数.
(1)求证:$AC=CD$.
(2)连接AE，若$∠ D=25°$，求$∠ BAE$的度数.
答案
(1)证明:如图,连接 BC.
因为$CD=CE$,所以$∠D=∠CED$.
因为$∠CED=∠CAB$,
所以$∠D=∠CAB$,所以$DB=AB$.
因为 AB 是$\odot O$的直径,
所以$∠ACB=90°$.
因为$DB=AB$,$BC⊥AD$,
所以$AC=CD$.
(2)解:$∠BAE$的度数是$40°$.
解析
【分析】
(1) 要证明AC=CD，可通过证明BC垂直平分AD推导：首先AB是⊙O的直径，连接BC后，由直径所对圆周角为直角可得BC⊥AD，接下来只需证明AB=BD，即可利用等腰三角形三线合一的性质得到结论。要证AB=BD，需证∠D=∠CAB：已知CD=CE可得∠D=∠CED，再结合同弧所对的圆周角相等，可知∠CED=∠CAB，即可推出∠D=∠CAB，进而得AB=BD。
(2) 已知∠D=25°，先由(1)的结论得∠D=∠CED=∠CAB=25°，利用三角形外角性质求出∠ACE=50°，再根据同弧所对圆周角相等得∠ABE=∠ACE=50°，最后结合直径所对圆周角为直角，在Rt△ABE中即可求出∠BAE的度数。
【解析】
(1)证明:如图,连接 BC.
因为$CD=CE$,所以$∠D=∠CED$.
因为$∠CED$和$∠CAB$都是弧BC所对的圆周角，所以$∠CED=∠CAB$,
所以$∠D=∠CAB$,所以$DB=AB$.
因为 AB 是$\odot O$的直径,
所以$∠ACB=90°$,即$BC⊥AD$.
因为$DB=AB$,$BC⊥AD$,
根据等腰三角形三线合一的性质，所以$AC=CD$.
(2)解:
∵$∠D=25°$，$CD=CE$，
∴$∠CED=∠D=25°$，
∴$∠ACE=∠D+∠CED=25°+25°=50°$。
∵$∠ABE$和$∠ACE$都是弧AE所对的圆周角，
∴$∠ABE=∠ACE=50°$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠AEB=90°$，
在$Rt△ ABE$中，$∠BAE=90°-∠ABE=90°-50°=40°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boxed{40°}$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是正确添加辅助线BC，结合圆周角相关性质、等腰三角形和直角三角形的性质求解，注重考查基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AC=CD，可通过证明BC垂直平分AD推导：首先AB是⊙O的直径，连接BC后，由直径所对圆周角为直角可得BC⊥AD，接下来只需证明AB=BD，即可利用等腰三角形三线合一的性质得到结论。要证AB=BD，需证∠D=∠CAB：已知CD=CE可得∠D=∠CED，再结合同弧所对的圆周角相等，可知∠CED=∠CAB，即可推出∠D=∠CAB，进而得AB=BD。
(2) 已知∠D=25°，先由(1)的结论得∠D=∠CED=∠CAB=25°，利用三角形外角性质求出∠ACE=50°，再根据同弧所对圆周角相等得∠ABE=∠ACE=50°，最后结合直径所对圆周角为直角，在Rt△ABE中即可求出∠BAE的度数。
【解析】
(1)证明:如图,连接 BC.
因为$CD=CE$,所以$∠D=∠CED$.
因为$∠CED$和$∠CAB$都是弧BC所对的圆周角，所以$∠CED=∠CAB$,
所以$∠D=∠CAB$,所以$DB=AB$.
因为 AB 是$\odot O$的直径,
所以$∠ACB=90°$,即$BC⊥AD$.
因为$DB=AB$,$BC⊥AD$,
根据等腰三角形三线合一的性质，所以$AC=CD$.
(2)解:
∵$∠D=25°$，$CD=CE$，
∴$∠CED=∠D=25°$，
∴$∠ACE=∠D+∠CED=25°+25°=50°$。
∵$∠ABE$和$∠ACE$都是弧AE所对的圆周角，
∴$∠ABE=∠ACE=50°$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠AEB=90°$，
在$Rt△ ABE$中，$∠BAE=90°-∠ABE=90°-50°=40°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boxed{40°}$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是正确添加辅助线BC，结合圆周角相关性质、等腰三角形和直角三角形的性质求解，注重考查基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
